2016年高考真题——数学理（新课标Ⅰ）解析版

2016年高考真题——数学理（新课标Ⅰ）解析版

绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 , ,则 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运 算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴 进行运算. （2）设 ,其中 , 实数,则 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 【解析】 试题分析：因为 所以 故选 B. 考点：复数运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的  2 4 3 0A x x x     2 3 0x x   A B  33, 2      33, 2     31, 2      3 ,32      (1 i) 1 ix y   x y i =x y 2 3 (1 )=1+ ,x i yi =1+ , =1, 1,| | =|1+ | 2,x xi yi x y x x yi i     内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出 现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. （3）已知等差数列 前 9 项的和为 27, ,则 （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知, 所以 故选 C. 考点： 等差数列及其运算 【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用 这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分 运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. （4）某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时 刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （A）1 3 （B）1 2 （C）2 3 （D）3 4 【答案】B 考点：几何概型 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、 面积、体积等. （5）已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 2i 1   na 10 8a  100a  1 1 9 36 27,9 8 a d a d      1 100 11, 1, 99 1 99 98,a d a a d         2 2 2 2 13 x y m n m n   （A） （B） （C） （D） 【答案】A 考点：双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦 距是 2c 不是 c,这一点易出错. （6）如图,某几 何体的三视图是三个半径相等的圆及每 个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 试题分析： 该几何体直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 ,设球的半径为 ,则 ,解得 ,所以它的表面积是 的 球面面积和三个扇形面积之和  1,3  1, 3  0,3  0, 3 28 3  17 18 20 28 1 8 R 37 4 28V R8 3 3    R 2 7 8 故选 A． 考点：三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高 考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图 还原出原几何体,是解决 此类问题的关键. （7）函数 在 的图像大致为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 考点：函数图像与性质 【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活, 对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符 合条件的选项. （8）若 ,则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 2 27 1= 4 2 +3 2 =178 4S       22 xy x e   2,2 1 0 1a b c   ， c ca b c cab ba log logb aa c b c log loga bc c 试题分析：用特殊值法,令 , , 得 ,选项 A 错误, ,选项 B 错误, ,选项 C 正确, ,选项 D 错误,故选 C． 考点：指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调 性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. （9）执行右面的程序框图,如果输入的 ,则输出 x,y 的值满足 （A） （B） （C ） （D） 【答案】C 考点：程序框图与算法案例 【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是 把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果. (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知|AB|= ,|DE|= , 则 C 的焦点到准线的距离为 3a  2b  1 2c  1 1 2 23 2 1 1 2 23 2 2 3   2 3 13log 2log 22  3 2 1 1log log2 2 0 1 1x y n  ， ， 2y x 3y x 4y x 5y x n=n+1 结束 输出x,y x2+y2≥36？ x=x+ n-1 2 ，y=ny 输入x,y,n 开始 4 2 2 5 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 考点：抛物线的性质. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定 要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. (11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, //平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 试题分析：如图,设平面 平面 = ,平面 平面 = ,因为 平面 ,所 以 ,则 所成的角等于 所成的角.延长 ,过 作 ,连接 ,则 为 ,同理 为 ,而 ,则 所成的角即为 所成的角,即为 ,故    I  I 3 2 2 2 3 3 1 3 1 1CB D  ABCD 'm 1 1CB D  1 1ABB A 'n / / 1 1CB D / / ', / / 'm m n n ,m n ', 'm n AD 1D 1 1/ /D E B C 1 1,CE B D CE 'm 1 1B F 'n 1 1 1/ / , / /BD CE B F A B ', 'm n 1 ,A B BD 60 所成角的正弦值为 ,选 A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解 形求角、得钝求补. （12）.已知函数 为 的零点, 为 图像的对 称轴,且 在 单调,则 的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B 考点：三角函数的性质 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题. 注意本题解法中用到的两个结论:① 的单调区间长度是半个周期;②若 的图像关于直线 对称,则 或 . ,m n 3 2 ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x        ， ( )f x 4x  ( )y f x ( )f x 5 18 36       ，      sin 0, 0f x A x A          sin 0, 0f x A x A      0x x  0f x A  0f x A  第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题 为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m= . 【答案】 【解析 】 试题分析：由 ,得 ,所以 ,解得 . 考点：向量的数量积及坐标运算 【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆 公式,又要注意 运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若 ,则 . (14) 的展开式中,x3 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】 考点:二项式定理 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项 ,再确定 r 的值,从而确定指定项系数. （15）设等比数列 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 …an 的最大值为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：设等比数列的公比为 ,由 得, ,解得 .所以 2 2 2 2| | | | | |  a b a b a b 1 1 2 0m    2m      1 1 2 2, , ,x y x y a b 1 1 2 2x y x y  a b 5(2 )x x 10 1rT   na 64 q 1 3 2 4 10 5 a a a a      2 1 2 1 (1 ) 10 (1 ) 5 a q a q q      1 8 1 2 a q   ,于是当 或 时, 取得最大值 . 考点：等比数列及其应用 高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小 题大做. [来源:Z*xx*k.Com] （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙 材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润 为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时 的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域. 2( 1) 1 7 1 2 ( 1) 2 2 2 1 2 1 18 ( ) 22 n n n nn n n na a a a q          3n  4 1 2 na a a 62 64 216000 考点：线性规划的应用 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函 数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结 合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误. 三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分为 12 分） 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 （I）求 C； （II）若 的面积为 ,求 的周长． 【答案】（I） （II） 【解析】 试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得 ,故 ；（II）根据 ABC 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c 7,c ABC  3 3 2 ABC C 3  5 7 1cosC 2 C 3  ．及 得 ．再利用余弦定理得 ．再根据 可得 的 周长为 ． 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考 虑对其实施“边化角”或“角化边.” （18）（本小题满分为 12 分）如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ． （I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值． 1 3 3sin C2 2ab  C 3  6ab   2 25a b  7c  CA 5 7    sin sin ,cos cos ,A B C A B C      tan tanA B C   90AFD   60  C A  D  F 【答案】（I）见解析（II） 试题解析：（I）由已知可得 , ,所以 平面 ． 又 平面 ,故平面 平面 ． （II）过 作 ,垂足为 ,由（I）知 平面 ． 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 ． 由（I）知 为二面角 的平面角,故 ,则 , ,可得 , , , ． 由已知, ,所以 平面 ． 又平面 平面 ,故 , ． 由 ,可得 平面 ,所以 为二面角 的平面角, ．从而可得 ． 所以 , , , ． 设 是平面 的法向量,则 ,即 , 所以可取 ． 设 是平面 的法向量,则 , 同理可取 ．则 ． 2 19 19 F DFA  F FA   FA  FDC FA  FA FA  FDC D DG F  G DG  FA G GF x GF G xyz DF  D F A   DF 60    DF 2 DG 3  1,4,0A  3,4,0   3,0,0   D 0,0, 3 // FA  //A FDC CDA  FDC DC  //CDA CD// F // F A   FDC C F  C F   C F 60     C 2,0, 3  C 1,0, 3   0,4,0   C 3, 4, 3A     4,0,0A    , ,n x y z C  C 0 0 n n        3 0 4 0 x z y      3,0, 3n   m CDA C 0 0 m m  A  A     0, 3,4m  2 19cos , 19 n mn m n m         故二面角 的余弦值为 ． 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线 线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完 整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决. （19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在 购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更 换的易损零件数,得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数, 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求 的分布列； （II）若要求 ,确定 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 与 之中选其一,应选用哪个？ 【答案】（I）见解析（II）19（III） 【解析】 试题分析：（I）先确定 X 的取值分别为 16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出 C    A 2 19 19 X n X ( ) 0.5P X n  n 19n  20n  19n  分布列；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出 n=9,n=20 的期望,根据 时所需费用的期望值 小于 时所需费用的期望值,应选 . 所以 的分布列为 [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 , ,故 的最小值为 19. （Ⅲ）记 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当 时, . 当 时, . 可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值,故应选 . 考点：概率与统计、随机变量的分布列 【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大, 求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. （20）. （本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 19n 20n 19n X X P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0 44.0)18( XP 68.0)19( XP n Y 19n 08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019 EY 404004.0)500320019(  20n 04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020 EY 4080 19n 20n 19n 2 2 2 15 0x y x    交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 为定值,并写出点 E 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边 形 MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ） （ ）（II） 试题解析：（Ⅰ）因为 , ,故 , 所以 ,故 . 又圆 的标准方程为 ,从而 ,所以 . 由题设得 , , ,由椭圆定义可得点 的轨迹方程为： （ ）. （Ⅱ）当 与 轴不垂直时,设 的方程为 , , . 由 得 . 则 , . 所以 .[来源:ZXXK] 过点 且与 垂直的直线 ： , 到 的距离为 ,所以 EA EB 134 22  yx 0y )38,12[ |||| ACAD  ACEB// ADCACDEBD  |||| EDEB  |||||||||| ADEDEAEBEA  A 16)1( 22  yx 4|| AD 4||||  EBEA )0,1(A )0,1(B 2|| AB E 134 22  yx 0y l x l )0)(1(  kxky ),( 11 yxM ),( 22 yxN      134 )1( 22 yx xky 01248)34( 2222  kxkxk 34 8 2 2 21  k kxx 34 124 2 2 21   k kxx 34 )1(12||1|| 2 2 21 2   k kxxkMN )0,1(B l m )1(1  xky A m 1 2 2 k .故四边形 的面积 . 可得当 与 轴不垂直时,四边形 面积的取值范围为 . 当 与 轴垂直时,其方程为 , , ,四边形 的面积为 12. 综上,四边形 面积的取值范围为 . 考点：圆锥曲线综合问题 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个 很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的 圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. （21）（本小题满分 12 分）已知函数 有两个零点. (I)求 a 的取值范围； (II)设 x1,x2 是 的两个零点,证明： . 【答案】 试题解析;（Ⅰ） ． （i）设 ,则 , 只有一个零点． （ii）设 ,则当 时, ；当 时, ．所以 在 上单调递 减,在 上单调递增． 1 344) 1 2(42|| 2 2 2 2 2     k k k PQ MPNQ 34 1112||||2 1 2  kPQMNS l x MPNQ )38,12[ l x 1x 3|| MN 8|| PQ MPNQ MPNQ )38,12[      22 1xf x x e a x     f x 1 2 2x x  (0, ) '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a       0a  ( ) ( 2) xf x x e  ( )f x 0a  ( ,1)x  '( ) 0f x  (1, )x  '( ) 0f x  ( )f x ( ,1) (1, ) 又 , ,取 满足 且 ,则 , 故 存在两个零点． （iii）设 ,由 得 或 ． 若 ,则 ,故当 时, ,因此 在 上单调递增．又当 时, ,所以 不存在两个零点． 若 ,则 ,故当 时, ；当 时, ．因此 在 单调递减,在 单调递增．又当 时, ,所以 不存在两个零 点． 综上, 的取值范围为 ． 考点：导数及其应用 【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分 类讨论,要注意分类讨论 的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单 调性或极值破解. 请考生在 22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 (1)f e  (2)f a b 0b  ln 2 ab  2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2 af b b a b a b b       ( )f x 0a  '( ) 0f x  1x  ln( 2 )x a  2 ea   ln( 2 ) 1a  (1, )x  '( ) 0f x  ( )f x (1, ) 1x  ( ) 0f x  ( )f x 2 ea   ln( 2 ) 1a  (1,ln( 2 ))x a  '( ) 0f x  (ln( 2 ), )x a   '( ) 0f x  ( )f x (1,ln( 2 ))a (ln( 2 ), )a  1x  ( ) 0f x  ( )f x a (0, ) 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以 O 为圆心, OA 为半径作圆. (I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明：AB∥CD. 【答案】(I)见解析(II)见解析[来源:Zxxk.Com] 试题解析：（Ⅰ）设 是 的中点,连结 , 因为 ,所以 , ． 在 中, ,即 到直线 的距离等于圆 的半径,所以直线 与⊙ 相切． （Ⅱ）因为 ,所以 不是 四点所在圆的圆心,设 是 四点所在圆的圆心,作 直线 ． 由已知得 在线段 的垂直平分线上,又 在线段 的垂直平分线上,所以 ． 同理可证, ．所以 ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟 1 2  O D C BA E AB OE , 120OA OB AOB    OE AB 60AOE   Rt AOE 1 2OE AO O AB O AB O E O' D C O BA 2OA OD O , , ,A B C D 'O , , ,A B C D 'OO O AB 'O AB 'OO AB 'OO CD //AB CD 悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆 内接四边形的性质与判定；切割线定理. （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 x y 中,曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数,a＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2：ρ= . （I）说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3 的极坐标方程为 ,其中 满足 tan =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a． 【答案】（I）圆, （II）1 ⑵ ,两边同乘 得 ,即 ② ：化为普通方程为 ,由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ①—②得： ,即为 ∴ ,∴ 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数 方程的互化公式及应用. （24）（本小题满分 10 分）,选修 4—5：不等式选讲  cos 1 sin x a t y a t     4 cos 0  0 0 2 22 sin 1 0a      2 4cosC  ：  2 2 2 24 cos cosx y x         ， 2 2 4x y x    2 22 4x y   3C 2y x 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a    3C 21 0a  1a  已知函数 . （I）在答题卡第（24）题图中画出 的图像； （II）求不等式 的解集． 【答案】（I）见解析（II） 试题解析：⑴如图所示：   1 2 3f x x x     y f x   1f x     1 1 3 53        ， ， ， 考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法 【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成 立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式. [来源:]