广东省执信中学2018届高三11月月考数学（理）试题（含解析）

广东省执信中学2018届高三11月月考数学（理）试题（含解析）

‎2017-2018学年度第一学期 高三级理科数学11月考试试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，且，则实数有（ ）个不同取值．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以或，‎ 解得：或或，‎ 所以实数的不同取值个数为．‎ 故选．‎ 考点：1．集合间的关系；2．一元二次方程．‎ ‎2．复数的共轭复数是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 共轭复数．‎ 故选．‎ ‎3．在中，则“”是“”的（ ）．‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】在中，由得：，‎ 因为“”“”，“”“”，‎ 所以“”是“”的必要而不充分条件．‎ 故选．‎ 考点：1．三角函数的性质；2．充分条件与必要条件．‎ ‎4．下列命题中，错误的是（ ）．‎ ‎ A．平行于同一平面的两个不同平面平行 B．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 C．若两个平面不垂直，则其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直 D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行 ‎【答案】D ‎【解析】解：由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，所以选项是正确的；‎ 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，所以选项是正确的；‎ 由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面不垂直平面，‎ 那么平面内一定不存在直线垂直于平面，所以选项是正确的；‎ 若直线不平行平面，则当时，在平面内存在与平行的直线，故不正确．‎ 故选．‎ ‎5．为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）．‎ ‎ A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】解：函数，‎ 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，‎ 可得函数的图象．‎ 故选．‎ ‎6．若，，则（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】项．使用特殊值法，令，，，‎ 得，故项错误；‎ 项，使用特殊值法，令，，，‎ 得，故项错误；‎ ‎（由于，所以函数在上单调递减，所以）；‎ 项，使用特殊值法，令，，，‎ 得，项正确；‎ 要比较和，只需比较和，‎ 即只需比较和，‎ 所以比较和的大小即可，构造函数，‎ 则，即在上单调递增，‎ 因此，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故项正确；‎ 项，使用特殊值法，令，，，[来源:学#科#网]‎ 得，‎ 故项错误，（要比较和，只需要比较和即可，因为函数在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，即）．‎ 故选．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正（主）视图的面积等于（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：该几何体为四棱锥，‎ 其底面为直角梯形，面积，‎ 则该几何体的体积，‎ 故．‎ ‎8．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据流程图，可知，‎ 第次循环：，；‎ 第次循环：，；‎ 第次循环：，，‎ 第次循环：，；[来源:Zxxk.Com]‎ 此时，设置条件退出循环，输出的值．‎ 故判断框内可填入．‎ ‎9．圆的半径为，一条弦，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：如图所示，连接，．‎ 过点作，垂足为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎10．平面上满足约束条件的点形成的区域为，区域关于直线对称的区域为，则区域和中距离最近两点的距离为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据约束条件画出可行域，如图，‎ 作出区域关于直线对称的区域，它们呈蝴蝶形，‎ 由图可知，可行域内点到的距离最小，‎ 最小值为到直线的距离的两倍，‎ ‎∴最小值，故填．‎ ‎11．设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用．‎ 由直线与圆相切得，‎ 两边平方并整理得，‎ 显然，‎ 故，‎ 显然，‎ 当时，利用均值不等式得；‎ 当时，利用均值不等式得，‎ 故的取值范围是．‎ 故选．‎ ‎12．已知函数的两个极值点分别为，，且，．点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：，依题意知，‎ 方程有两个根，，且，，‎ 由二次方程根的分布，则有，，‎ 则，‎ 点表示的平面区域为，画出二元一次不等式组：‎ 表示的平面区域，‎ 如图所示：‎ 因为直线，的交点坐标为，‎ 所以要使函数，的图象上存在区域内的点，‎ 则必须满足，‎ 所以，解得．‎ 又因为，‎ 所以．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数的值域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：∵，‎ ‎∴时，最大，‎ ‎，‎ 因此，本题正确答案是：．‎ ‎14．设为锐角，若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，为锐角，‎ ‎，‎ ‎∵，可得为锐角，‎ 可求，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查空间几何体．‎ 由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，‎ ‎，，，．‎ 因为为直角三角形，‎ 因此或（舍）．‎ 所以只可能是，‎ 此时，因此，‎ 所以平面所在小圆的半径即为，‎ 又因为，‎ 所以外接球的半径，‎ 所以球的表面积为．‎ ‎16．抛物线的焦点为，设、是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为__________．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由抛物线定义得，，‎ 所以由，得，‎ 因此，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 填．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分分）四边形如图所示，已知，．‎ ‎（）求的值．‎ ‎（）记，的面积分别为，，求的最大值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）在中，‎ ‎，‎ 在中，，‎ 所以．‎ ‎（）根据题意，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ 计算出，‎ 所以，‎ 当时，取等号，‎ 即最大值为．‎ ‎18．（本小题满分分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于小时的有人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：‎ 分数大于等于分 分数不足分 合计 周做题时间不少于小时 周做题时间不足小时 合计 ‎ （）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．‎ ‎（）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于分和分数不足分的两组学生中抽取名学生，设抽到的不足分且周做题时间不足小时的人数为，求的分布列（概率用组合数算式表示）．‎ ‎（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取人，求这些人中周做题时间不少于小时的人数的期望和方差．‎ 附：‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）‎ 分数大于等于分 分数不足分 合计 周做题时间不少于小时 周做题时间不足小时 合计 ‎∵．‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．‎ ‎（）（i）由分层抽样知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值为，，，，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（ii）设从全校大于等于分的学生中随机抽取人，这些人中周做题时间不少于小时的人数为随机变量，‎ 由题意可知，‎ 故，．‎ ‎19．（本小题满分分）如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为的菱形，且，平面，．‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎（）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）∵平面，‎ ‎∴，‎ 在菱形中，，‎ 又，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（）连接，交于点，‎ 以为坐标原点，以为轴，以为轴，‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，同理，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 设平面的法向量，‎ ‎，‎ 则，‎ 设二面角为，．‎ ‎20．（本小题满分分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，离心率为，点，为线段的中点．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）若过点且斜率不为的直线与椭圆交于、两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）设点，，‎ 由题意可知：，即①，‎ 又因为椭圆的离心率，即②，‎ 联立方程①②可得：，，则，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（）方法一：根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上，‎ 解设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，‎ 此时点，‎ 则联立直线和直线可得点，‎ 据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明：‎ 设，，联立方程，‎ 可得：，，‎ 由韦达定理可得，（*），‎ 因为直线，．‎ 联立两直线方程得（其中为点的横坐标），‎ 即证：，‎ 即，‎ 即证，‎ 将（*）代入上式可得，‎ 此式明显成立，原命题得证．‎ 所以点在定直线上上．‎ ‎21．（本小题满分分）已知函数，．‎ ‎（）若函数的最小值为，求的值．‎ ‎（）证明：．[来源:学科网]‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）的定义域为，‎ 且．‎ 若，则，于是在上单调递增，‎ 故无最小值，不合题意．‎ 若，则当时，；‎ 当时，．‎ 故在上单调递减，在上单调递增．‎ 于是当时，取得最小值．‎ 由已知得，解得，‎ 综上，．‎ ‎（）①下面先证明当时，‎ ‎，‎ 设，‎ 则，‎ 于是当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以当时，，‎ 所以．‎ 由（）可知，‎ 即，‎ 所以当时，‎ ‎，‎ 于是，‎ 即．‎ ‎②当时，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 故，‎ 所以，‎ 综上，不等式恒成立．‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（）求的极坐标方程与的直角坐标方程．‎ ‎（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，为上的一点，且的面积等于，求点的直角坐标．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）的普通方程为，即，‎ 因为，，‎ 所以的极坐标方程为，‎ 的直角坐标方程为．‎ ‎（）将代入，‎ 得得，，‎ 所以，‎ 因为的面积等于，所以点到直线即距离为．‎ 设，则，，或．‎ 点坐标为或．‎ ‎23．（本小题满分分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（）解不等式．‎ ‎（）若对于，，有，，求证：．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）解：不等式化为．‎ ‎①当时，不等式为，解得，故；‎ ‎②当时，不等式为，解得，故；‎ ‎③当时，不等式为，解得，故，‎ 综上，原不等式的解集为或．‎ ‎（），‎ 所以．‎