2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若，则复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:先求出复数z,再求复数z的共轭复数.‎ 详解：由题得，‎ ‎∴复数z的共轭复数为1+i.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查复数的除法运算与共轭复数，意在考查复数的基础知识，属于基础题.‎ ‎2．“因为对数函数是减函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以函数是减函数（结论）”，上面推理的错误在于（ ）‎ A. 大前提错误导致结论错 B. 小前提错误导致结论错 C. 推理形式错误导致结论错 D. 大前提和小前提错误导致结论错 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用三段论进行分析解答.‎ 详解：由于对数函数在0＜m＜1时，是减函数，在m＞1时，是增函数，所以对数函数是减函数（大前提）是错误的.故选A.‎ 点睛：本题主要考查推理证明中的三段论和对数函数的图像性质，意在考查三段论和对数函数的基础知识，属于基础题.‎ ‎3．图中阴影部分的面积总和可以用定积分表示为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求出每一部分的阴影部分的面积，再相加即得阴影部分的面积.‎ 详解：设左边的部分的面积为,中间部分的面积为,右边部分的面积为,由题得 ‎，‎ ‎∴,‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查定积分的几何意义，如果函数的图像在x轴上方，则曲边梯形的面积等于函数在这个区间的定积分，如果函数的图像在x轴下方，则曲边梯形的面积等于函数在这个区间的定积分的相反数.‎ ‎4．已知函数，则的单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. 和 D. 和 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先对函数求导，再解不等式即得函数的单调减区间.‎ 详解：由题得，‎ 解不等式得x＜e.‎ ‎∵x＞0，x≠1，‎ ‎∴0＜x＜1和1＜x＜e.‎ ‎∴函数的单调减区间为和.‎ 点睛：本题是一道易错题，学生容易忽略函数的定义域{x|x＞0且x≠1}，导致出错.有的学生可能容易漏掉导致漏掉，导致选B.解答函数的问题，必须注意定义域优先的原则，并且要考虑完整，不要漏掉了部分范围.‎ ‎5．“ ”，在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中，由推导到时，等式的右边增加的式子是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先写出n=k时，右边的式子，再写出n=k+1时，右边的式子，再把它们相减即得右边增加的式子.‎ 详解：当n=k时，右边= （1），‎ 当n=k+1时，右边= （2），‎ ‎（2）-（1）=-.‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查数学归纳法的理解和掌握，属于基础题.‎ ‎6．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（　）‎ A. .2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：化简得到，即得切线的斜率.‎ 详解：∵，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故曲线在点处的切线的斜率是-2，‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查导数的定义，，在这个定义中，分母是自变量的增量，但是已知中自变量的增量为2-（2-h）=h,但是分母中是2h,所以要通过极限运算把下面的分母变成h, .后面就迎刃而解了.‎ ‎7．在等差数列中我们有结论“若成等差数列，则成等比数列”成立，类比上述结论，则有下列结论成立的是（ ）‎ A. 若正数成等比数列，则，，成等差数列 B. .若正数成等比数列，则成等差数列 C. 若正数成等比数列，则，，成等比数列 D. 若正数成等比数列，则成等比数列 ‎【答案】A ‎【解析】分析：对命题进行简单的证明即可.‎ 详解：对于选项A,由于正数成等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，，成等差数列 故选A.‎ 点睛：本题主要考查等差中项和等比中项及对数的运算，属于基础题.‎ ‎8．已知函数，，其导函数在处取得最大值，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求导，再分析导数，要保证导函数在处取得最大值，只需，解不等式即得m的范围.‎ 详解：由题得，‎ 函数的对称轴为,‎ 因为导函数在处取得最大值，‎ 所以，即，‎ ‎∴.‎ 故选B.‎ 点睛：求导之后得，可以分类讨论，但是比较复杂，由于二次函数开口向上，所以最大值只可能在两个端点取得，所以只需满足即可.这样做，提高了解题效率，优化了解题.所以要注意学会分析函数的图像和性质.‎ ‎9．用反证法证明命题“已知为整数，若不是偶数，则都不是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）‎ A. 假设都是偶数 B. 假设中至多有一个偶数 C. 假设都不是奇数 D. 假设中至少有一个偶数 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据“都不是”的否定是“不都是”选择正确答案.‎ 详解：由于“都不是”的否定是“不都是”，即“至少有一个”，所以应该假设中至少有一个偶数，故选D.‎ 点睛：“是”的否定是“不是”，“都是”的否定是“不都是”，不是“都不是”，这个地方要理解清楚，不要死记硬背.‎ ‎10．等比数列中，，且是函数 为实数)的极值点，则等于（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:先求导得到，再利用韦达定理得到，再利用等比中项化简计算得解.‎ 详解:由题得，‎ 因为是函数 为实数)的极值点，‎ 所以，‎ 因为数列是等比数列，‎ ‎∴‎ ‎∴=.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查导数的极值、等比中项和对数的运算，意在考查导数、等比数列和对数运算的基础知识，属于基础题.‎ ‎11．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于答案A，函数，是正确的；对于答案B，不妨设都是单调递增函数，是正确的；对于答案C，不妨设都是单调递增函数，是正确的；对于答案D ，不妨设，显然不一致，是不正确的；应选答案D。‎ ‎12．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求导化简得到，再根据题意得到，再换元得到一个二次不等式的恒成立问题，解答即得实数a的范围.‎ 详解：由题得，‎ ‎∵函数在上单调递增，‎ ‎∴.‎ 设t=sinx，t∈[-1,1],，‎ 则在t∈[-1,1]恒成立，‎ ‎∴‎ 故选A.‎ 点睛：本题的关键在研究恒成立，方法比较多，解答利用换元构造一个二次不等式的恒成立问题，转化为二次函数的两个端点小于等于零，优化了解题,提高了解析效率.解答函数的问题，注意灵活运用函数的图像和性质分析解答.‎ 二、填空题 ‎13．定积分 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先化简，再求定积分得解.‎ 详解：由题得=.‎ 所以 .‎ 故填.‎ 点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函数.‎ ‎14．已知曲线上一点，则过点的曲线的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简即得解.‎ 详解：由题得 ‎∴‎ ‎∴切线方程为，‎ 即切线方程为.‎ 故填.‎ 点睛：本题主要考查求导和导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎15．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为 ‎【考点】等差数列 ‎16．定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为__________.(其中为自然对数的底数)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先化简已知得到，得到函数在R上单调递减，再转化得到化简即得与的大小关系.‎ 详解：由题得，‎ 即，‎ 所以函数在R上单调递减，‎ 因为m>0,‎ 所以 故填.‎ 点睛：本题的关键是观察化简 ‎，看到这个式子容易想到积的导数，看到后面的，想到函数，再变形，问题就突破了.所以在解答数学题时要注意观察已知条件，再展开你的数学想象.‎ 三、解答题 ‎17．设复数，其中.‎ ‎（1）若为纯虚数，求的值；‎ ‎（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析: (1)由纯虚数的概念得,解方程组即得m的值. (2)由题得，解不等式组即得的取值范围.‎ 详解：（1）若为纯虚数，则 ，‎ 解得 .‎ ‎（2）若在复平面内对应的点在第二象限，则 解得.‎ 点睛：本题主要考查复数的概念和复数的几何意义，意在考查复数的基础知识，属于基础题.‎ ‎18．若均为实数，且，， ， ‎ ‎，求证：中至少有一个大于.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】分析：利用反证法证明，先假设都不大于，即，再经过推理找到矛盾，原命题即得证.‎ 详解：证明：设都不大于，即 又 ‎ ‎ ‎,,,‎ ‎ ‎ ‎ 与矛盾.‎ 假设错误，原命题正确，即中至少有一个大于.‎ 点睛：本题主要考查反证法，利用反证法证明的关键是找到矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，可以是与公理定理矛盾.本题找到的矛盾是后面推理出的a+b+c>0与前面的矛盾.‎ ‎19．设函数的图象与轴的交点为点，且曲线在点处的切线方程为，函数在处取得极值为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）和.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据已知条件得到关于a,b,c,d的四个方程，解方程即得函数的解析式.(2)‎ 先求导，再利用导数求函数的单调递增区间.‎ 详解：（1）函数的图象与轴的交点为，.‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ ‎ 且 .‎ 又函数在处取得极值为,‎ ‎ 即,‎ 解得 .‎ ‎ .‎ ‎（2）由（1）知 由 解得 ‎ 即函数的单调递增区间为和.‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的极值和单调区间等，意在考查导数的基础知识和基本的运算能力,属于基础题.‎ ‎20．“傻子瓜子”是著名瓜子品牌，芜湖特产之一.屯溪一中组织高二年级赴芜湖方特进 行研学活动，开拓视野，甲、乙两名同学在活动结束之余准备赴商场购买一定量的傻子瓜子.为了让本次研学活动具有实际意义，两名同学经过了解得知系列的瓜子不仅便宜而且口味还不错，并且每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）满足关系式：，其中,为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列瓜子11千克.若系列瓜子的成本为3元/千克,试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列瓜子所获得的利润最大.‎ ‎【答案】当销售价格为4元/千克时，系列瓜子每日所获得的利润最大.‎ ‎【解析】分析：先写出函数的表达式，再利用导数求函数的最大值.‎ 详解：由题意可知，当时，，即，解得 设该商场每日销售系列瓜子所获得的利润为，则 ‎ ‎ 则 ‎ 当时，为增函数；当时，为减函数 故是函数在区间内的极大值点，也是最大值点，即时函数取得最大值42. ‎ 当销售价格为4元/千克时，系列瓜子每日所获得的利润最大. ‎ 点睛：本题主要考查导数的应用，考查利用导数求实际问题中最值.意在考查学生的转化和计算能力.‎ ‎21．已知数列中，且.‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；‎ ‎（3）若，且，求.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】分析: (1)利用递推公式求出，，. （2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明. (3)先计算出，再利用裂项相消求和.‎ 详解：（1），当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ ‎（2）由此猜想. ‎ ‎ 下面用数学归纳法加以证明：‎ ‎①当时，由（1）知成立； ‎ ‎②假设，结论成立，即成立.‎ 则当时，有，即 ‎ ‎ 即时，结论也成立； ‎ 由①②可知，的通项公式为. ‎ ‎（3）由（2）知，‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 点睛：本题主要考查数学归纳法、等差数列求和和裂项相消求和，意在考查数学归纳法和数列的基础知识和基本的运算能力.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，证明.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）先利用导数求函数，再证明. （2）把不等式恒成立转化为≥0，再利用导数求即得a的取值范围. (3)利用第（2）问的结论和分析法证明.‎ 详解：（1）当时，，，‎ 当时，；当时，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，. ‎ ‎（2），令，则.‎ ‎①当时，在上，，单调递增，，即，在上为增函数，‎ ‎，当时满足条件. ‎ ‎②当时，令，解得，在上，，单调递减，‎ 当时，有，即 在上为减函数，，不合题意. ‎ 综上，实数的取值范围为. ‎ ‎（3）由（2）得，当，时，，即=，‎ 欲证不等式，‎ 只需证明，‎ 只需证明，‎ 只需证 ，‎ 设，则.‎ 当时，恒成立，且， 恒成立.‎ 原不等式得证. ‎ 点睛：本题的难点在第（3）问，直接证明比较困难.难点一是这里要注意观察利用第（2）问的结论，难点二是要运用分析法来分析转化命题.难点三是要构造函数.本题意在考查利用导数解答函数问题的综合能力，属于难题.‎