专题15 椭圆、双曲线、抛物线-2017年高考数学（理）备考黄金易错点

专题15 椭圆、双曲线、抛物线-2017年高考数学（理）备考黄金易错点

‎1．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ 答案　A ‎2．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　D 解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，‎ 联立 解得或 即第一象限的交点为.‎ 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.‎ 故双曲线的方程为－＝1.故选D.‎ ‎3．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A.B.C.D．2‎ 答案　A 解析　如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.‎ ‎4．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 答案　C 解析　由椭圆方程＋＝1可得a2＝25，b2＝16，‎ ‎∴a＝5，b＝4，c＝3.‎ 由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，且|F1F2|＝2c＝6，‎ ‎∴△MF1F2的周长|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16.‎ 设△MF1F2的内切圆的半径为r，‎ 由题意可得2πr＝3π，解得r＝.‎ ‎5．已知圆x2＋y2＝上点E处的一条切线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是______________．‎ 答案　 解析　如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，‎ 由题意可知|OE|＝，‎ 由＝(＋)，‎ 可知E为FP的中点．‎ 由双曲线的性质，可知O为FH的中点，‎ 所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，‎ 故|PH|＝2|OE|＝.‎ ‎6．经过椭圆＋＝1的右焦点的直线l交抛物线y2＝4x于A、B两点，点A关于y轴的对称点为C，则·＝________.‎ 答案　－5‎ 解析　由椭圆＋＝1知右焦点为(1,0)，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l的方程为x＝my＋1.‎ 由得y2－4my－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4，‎ ‎∴x1x2＝·＝1. ‎ 由题意知C(－x1，y1)，∴·＝(x2，y2)·(－x1，y1)＝－x1x2＋y1y2＝－1－4＝－5.‎ ‎7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．‎ 答案　9‎ 解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.‎ ‎8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．‎ 解　(1)由题意可得e＝＝，‎ 又a2＝b2＋c2，‎ 所以b2＝a2.‎ 因为椭圆C经过点(1，)，‎ 所以＋＝1，‎ 解得a＝2，所以b2＝3，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ 化简得18t4－t2－17＝0，‎ 即(18t2＋17)(t2－1)＝0，‎ 解得t＝1，t＝－(舍去)，‎ 又圆O的半径r＝＝，‎ 所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.‎ ‎9．已知椭圆C的长轴左，右顶点分别为A，B，离心率e＝，右焦点为F，且·＝－1.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：∠QPN＝90°.‎ ‎(1)解　依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 则A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)，‎ 由e＝＝，得a＝c.①‎ 由·＝－1，‎ 得(c＋a,0)·(c－a,0)＝c2－a2＝－1.②‎ 联立①②，解得a＝，c＝1，‎ 所以b2＝1，‎ 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ 因为点P，N在椭圆上，‎ 所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥‎ 把⑥代入⑤，得kPQkPN＋1＝＝0，‎ 即kPQkPN＝－1，所以∠QPN＝90°.‎ 易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程 例1、(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)‎ C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.‎ 答案　(1)D　(2) ‎【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为________．‎ 答案　(1)B　(2)3‎ 解析　(1)由抛物线x2＝24y得焦点坐标为(0,6)，‎ ‎∵双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点相同，‎ ‎∴c＝6，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴＝，即b＝a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1.故选B.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6.‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为3.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”‎ 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．‎ 易错起源2、圆锥曲线的几何性质 例2　(1)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±(＋1)x D．y＝±(－1)x 答案　(1)－1　(2)C 易得直线BC的斜率为，cos∠CF1F2＝，‎ 又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得 ‎|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，‎ ‎|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，‎ 故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋，‎ 故双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x.‎ ‎【变式探究】(1)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－，0)∪(0，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ 答案　(1)D　(2)A 由－＝1可知A(a,0)，F(c,0)．‎ 易得B，C.‎ ‎∵kAB＝＝，‎ ‎∴kCD＝.‎ ‎∵kAC＝＝，‎ ‎∴kBD＝－.‎ ‎∴lBD：y－＝－(x－c)，‎ 即y＝－x＋＋，‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ 易错起源3、直线与圆锥曲线 例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F 到直线l：x＝－的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程．‎ 解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，‎ 解得a＝，c＝1，则b＝1，‎ 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当AB⊥x轴时，|AB|＝，又|CP|＝3，不合题意．‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程，‎ 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ 则x1,2＝，‎ 则P点的坐标为，‎ 从而|PC|＝.‎ 因为|PC|＝2|AB|，‎ 所以＝，‎ 解得k＝±1.‎ 此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.‎ ‎【变式探究】(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)‎ A．－，] B．－2,2]‎ C．－1,1] D．－4,4]‎ ‎(2)设椭圆C：＋＝1与函数y＝tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．‎ 答案　(1)C　(2)，]‎ 解析　(1)由题意知抛物线的准线为x＝－2，∴Q(－2,0)，显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，‎ 当k＝0时，x＝0，此时交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，‎ 即4(k2－2)]2－16k4≥0，解得－1≤k<0或0b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D.－1‎ 答案　D 解析　如图所示，设F为椭圆的右焦点，点A在第一象限，由已知得直线OA的斜率为k＝tan60°＝，‎ ‎2．已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞0)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)‎ A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1‎ C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1‎ 答案　A 解析　由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，‎ 又∵m＞0，n＞0，故m＞n.‎ 又∵e·e＝·＝· ‎＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.‎ ‎3．已知双曲线C：－y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF1Q的周长为(　　)‎ A. B．5 C. D．4 答案　A 解析　因为双曲线C：－y2＝1，‎ 所以a＝，b＝1，c＝＝2，‎ ‎4．设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4,1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)‎ A．4＋ B．7‎ C．4＋2 D．10‎ 答案　B 解析　由题意，|MF|的最小值为3，∴＝3，‎ ‎∴p＝6，∴抛物线E：y2＝12x，‎ 抛物线y2＝12x的焦点F的坐标是(3,0)；‎ 设点P在准线上的射影为D，‎ 则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，‎ ‎∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为4－(－3)＝7，故选B.‎ ‎5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则点F到双曲线的渐近线的距离为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．3‎ 答案　A ‎∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ 又双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∴点F(2,0)到渐近线的距离为.‎ ‎6．已知点A(2,4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，且抛物线的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．‎ 答案　x2－＝1‎ 解析　∵点A(2,4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，‎ ‎∴16＝4p，解得p＝4.‎ ‎∴抛物线的准线方程为x＝－2.‎ 又抛物线的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，∴c＝2，又e＝＝2，‎ ‎∴a＝1，则b2＝c2－a2＝4－1＝3，‎ ‎∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎7．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1；‎ O2(3,0)，r2＝9.‎ 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，‎ 可得|MO1|＝R＋1，|O2M|＝9－R.‎ ‎∴|MO1|＋|MO2|＝10>|O1O2|＝6. ‎ 由椭圆的定义知点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且2a＝10,2c＝6，∴b2＝16.‎ ‎∴动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．‎ 答案　 ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求·的取值范围．‎ 解　(1)由双曲线－x2＝1得其焦点为(0，±)，‎ ‎∴b＝.又由e＝＝，a2＝b2＋c2，得a2＝4，c＝1.‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意可知直线l的斜率存在，‎ 设直线l的方程为y＝k(x－4)，由消去y，‎ 得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，‎ 由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0，‎ ‎∴·∈－4，)．‎ 故·的取值范围为－4，)．‎ ‎10.如图所示，抛物线y2＝4x的焦点为F，动点T(－1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.‎ ‎(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)；‎ ‎(2)若m＞0且|NF|＝|TF|，求m的值及点N的坐标．‎ ‎(1)证明　易知抛物线的焦点F(1,0)，准线x＝－1，动点T(－1，m)在准线上，则kTF＝.‎ 当m＝0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上．‎ 当m≠0时，由条件知kPQ＝，所以直线PQ的方程为y＝(x－1)，联立得x2－(2 ‎ 又动点T(－1，m)，其中m＞0，则m＝2.‎ 因为∠NTF＝45°，所以kPQ＝tan45°＝1，又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为y＝x－1，由m＝2得T(－1,2)，由(1)知线段NT平行于x轴，设N(x0，y0)，则y0＝2，代入y＝x－1，得x0＝3，所以N(3,2)．‎