2012年上海市高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2012年上海市高考数学试卷(理科)

‎2012年上海市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、填空题(56分):‎ ‎1.(4分)计算:=  (i为虚数单位).‎ ‎2.(4分)若集合A={x|2x+1>0},B={x||x﹣1|<2},则A∩B=  .‎ ‎3.(4分)函数f(x)=的值域是  .‎ ‎4.(4分)若=(﹣2,1)是直线l的一个法向量,则l的倾斜角的大小为  (结果用反三角函数值表示).‎ ‎5.(4分)在的二项展开式中,常数项等于  .‎ ‎6.(4分)有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则(V1+V2+…+Vn)═  .‎ ‎7.(4分)已知函数f(x)=e|x﹣a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是  .‎ ‎8.(4分)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为  .‎ ‎9.(4分)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(﹣1)=  .‎ ‎10.(4分)如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角a=,若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式,则f(θ)=  .‎ ‎11.(4分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是  (结果用最简分数表示).‎ ‎12.(4分)在平行四边形ABCD中,∠A=‎ ‎,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则的取值范围是  .‎ ‎13.(4分)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0),函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为  .‎ ‎14.(4分)如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是  .‎ ‎ ‎ 二、选择题(20分):‎ ‎15.(5分)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则(  )‎ A.b=2,c=3 B.b=﹣2,c=3 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=2,c=﹣1‎ ‎16.(5分)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 ‎17.(5分)设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2,若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差,则(  )‎ A.Dξ1>Dξ2‎ B.Dξ1=Dξ2‎ C.Dξ1<Dξ2‎ D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 ‎18.(5分)设an=sin,Sn=a1+a2+…+an,在S1,S2,…S100‎ 中,正数的个数是(  )‎ A.25 B.50 C.75 D.100‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,满分74分)‎ ‎19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点,已知AB=2,AD=2,PA=2,求:‎ ‎(1)三角形PCD的面积;‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.‎ ‎20.(14分)已知f(x)=lg(x+1)‎ ‎(1)若0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求x的取值范围;‎ ‎(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x∈[1,2])的反函数.‎ ‎21.(14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图,现假设:‎ ‎①失事船的移动路径可视为抛物线;‎ ‎②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;‎ ‎③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t ‎(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向.‎ ‎(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?‎ ‎22.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2﹣y2=1.‎ ‎(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;‎ ‎(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;‎ ‎(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.‎ ‎23.(18分)对于数集X={﹣1,x1,x2,…,xn},其中0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集Y={=(s,t),s∈X,t∈X},若对任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如{﹣1,1,2}具有性质P.‎ ‎(1)若x>2,且{﹣1,1,2,x}具有性质P,求x的值;‎ ‎(2)若X具有性质P,求证:1∈X,且当xn>1时,x1=1;‎ ‎(3)若X具有性质P,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,…,xn的通项公式.‎ ‎ ‎ ‎2012年上海市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(56分):‎ ‎1.(4分)(2012•上海)计算:= 1﹣2i (i为虚数单位).‎ ‎【分析】由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i,再由进行计算即可得到答案 ‎【解答】解:‎ 故答案为1﹣2i ‎ ‎ ‎2.(4分)(2012•上海)若集合A={x|2x+1>0},B={x||x﹣1|<2},则A∩B= (﹣,3) .‎ ‎【分析】由题意,可先将两个数集化简,再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案 ‎【解答】解:由题意A={x|2x+1>0}={x|x>﹣},B={x||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3},‎ 所以A∩B=(﹣,3)‎ 故答案为(﹣,3)‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2012•上海)函数f(x)=的值域是  .‎ ‎【分析】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式,然后化简整理,根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域.‎ ‎【解答】解:f(x)==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x ‎∵﹣1≤sin2x≤1‎ ‎∴﹣≤﹣sin2x≤‎ 则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣‎ ‎∴函数f(x)=的值域是 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2012•上海)若=(﹣2,1)是直线l的一个法向量,则l的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角函数值表示).‎ ‎【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量,从而得到直线的斜率,根据k=tanα可求出倾斜角.‎ ‎【解答】解:∵=(﹣2,1)是直线l的一个法向量 ‎∴可知直线l的一个方向向量为(1,2),直线l的倾斜角为α得,tanα=2‎ ‎∴α=arctan2‎ 故答案为:arctan2‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2012•上海)在的二项展开式中,常数项等于 ﹣160 .‎ ‎【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项,使得x的指数为0,得到相应的r,从而可求出常数项.‎ ‎【解答】解:展开式的通项为Tr+1=x6﹣r(﹣)r=(﹣2)r x6﹣2r 令6﹣2r=0可得r=3‎ 常数项为(﹣2)3=﹣160‎ 故答案为:﹣160‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2012•上海)有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则(V1+V2+…+Vn)═  .‎ ‎【分析】由题意可得,正方体的体积=是以1为首项,以为公比的等比数,由等不数列的求和公式可求 ‎【解答】解:由题意可得,正方体的棱长满足的通项记为an 则 ‎∴=是以1为首项,以为公比的等比数列 则(V1+V2+…+vn)==‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)(2012•上海)已知函数f(x)=e|x﹣a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 (﹣∞,1] .‎ ‎【分析】由题意,复合函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1,+∞)上是增函数,又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数,可得出[1,+∞)⊆[a,+∞),比较区间端点即可得出a的取值范围 ‎【解答】解:因为函数f(x)=e|x﹣a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数 由复合函数的单调性知,必有t=|x﹣a|在区间[1,+∞)上是增函数 又t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数 所以[1,+∞)⊆[a,+∞),故有a≤1‎ 故答案为(﹣∞,1]‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2012•上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为  .‎ ‎【分析】‎ 通过侧面展开图的面积.求出圆锥的母线,底面的半径,求出圆锥的体积即可.‎ ‎【解答】解:由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,‎ 因为4π=πl2,所以l=2,‎ 半圆的弧长为2π,‎ 圆锥的底面半径为2πr=2π,r=1,‎ 所以圆锥的体积为:=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2012•上海)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(﹣1)= ﹣1 .‎ ‎【分析】由题意,可先由函数是奇函数求出f(﹣1)=﹣3,再将其代入g(﹣1)求值即可得到答案 ‎【解答】解:由题意,y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,‎ 所以f(1)+1+f(﹣1)+(﹣1)2=0解得f(﹣1)=﹣3‎ 所以g(﹣1)=f(﹣1)+2=﹣3+2=﹣1‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2012•上海)如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角a=,若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式,则f(θ)=  .‎ ‎【分析】取直线l上任意一点P(ρ,θ),连接OP,则OP=ρ,∠POM=θ,在三角形POM中,利用正弦定理建立等式关系,从而求出所求.‎ ‎【解答】解:取直线l上任意一点P(ρ,θ),连接OP,则OP=ρ,∠POM=θ 在三角形POM中,利用正弦定理可知:‎ 解得ρ=f(θ)=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)(2012•上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是  (结果用最简分数表示).‎ ‎【分析】先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数,最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:每个同学都有三种选择:跳高与跳远;跳高与铅球;跳远与铅球 三个同学共有3×3×3=27种 有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种 其中表示3个同学中选2个同学选择的项目,表示从三种组合中选一个,表示剩下的一个同学有2中选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2012•上海)在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则的取值范围是 [2,5] .‎ ‎【分析】画出图形,建立直角坐标系,利用比例关系,求出M,N的坐标,然后通过二次函数求出数量积的范围.‎ ‎【解答】解:建立如图所示的直角坐标系,则B(2,0),A(0,0),‎ D(),设==λ,λ∈[0,1],‎ M(2+),N(),‎ 所以=(2+)•()‎ ‎=﹣λ2﹣2λ+5,因为λ∈[0,1],二次函数的对称轴为:λ=﹣1,‎ 所以λ∈[0,1]时,﹣λ2﹣2λ+5∈[2,5].‎ 故答案为:[2,5].‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2012•上海)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0),函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为  .‎ ‎【分析】根据题意求得f(x)=,从而y=xf(x)=,利用定积分可求得函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积.‎ ‎【解答】解:由题意可得,f(x)=,‎ ‎∴y=xf(x)=,‎ 设函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S,‎ 则S=10x2dx+(﹣10x2+10x)dx ‎=10×+(﹣10)×+10×‎ ‎=﹣+5﹣‎ ‎=‎ ‎=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2012•上海)如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是  .‎ ‎【分析】作BE⊥AD于E,连接CE,说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上,且BE、CE都垂直于焦距AD,BE=CE.‎ 取BC中点F,推出四面体ABCD的体积的最大值,当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大,求解即可.‎ ‎【解答】解:作BE⊥AD于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD,‎ 由题设,B与C都是在以AD为焦点的椭球上,且BE、CE都垂直于焦距AD,‎ AB+BD=AC+CD=2a,显然△ABD≌△ACD,所以BE=CE.‎ 取BC中点F,∴EF⊥BC,EF⊥AD,要求四面体ABCD的体积的最大值,因为AD是定值,只需三角形EBC的面积最大,因为BC是定值,所以只需EF最大即可,‎ 当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大,∵AB+BD=AC+CD=2a,‎ ‎∴AB=a,所以EB=,EF=,‎ 所以几何体的体积为:×=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 二、选择题(20分):‎ ‎15.(5分)(2012•上海)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则(  )‎ A.b=2,c=3 B.b=﹣2,c=3 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=2,c=﹣1‎ ‎【分析】由题意,将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a,b的方程组,解方程得出a,b的值即可选出正确选项 ‎【解答】解:由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0‎ ‎∴1+2i﹣2+b+bi+c=0‎ ‎∴,解得b=﹣2,c=3‎ 故选B ‎ ‎ ‎16.(5分)(2012•上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 ‎【分析】由sin2A+sin2B<sin2C,结合正弦定理可得,a2+b2<c2,由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围 ‎【解答】解:∵sin2A+sin2B<sin2C,‎ 由正弦定理可得,a2+b2<c2‎ 由余弦定理可得cosC=‎ ‎∴‎ ‎∴△ABC是钝角三角形 故选C ‎ ‎ ‎17.(5分)(2012•上海)设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2,若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差,则(  )‎ A.Dξ1>Dξ2‎ B.Dξ1=Dξ2‎ C.Dξ1<Dξ2‎ D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 ‎【分析】根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况,计算它们的平均数,根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:由随机变量ξ1、ξ2的取值情况,它们的平均数分别为:‎ ‎=(x1+x2+x3+x4+x5),=(++++)= 且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2,所以有Dξ1>Dξ2,‎ 故选择A.‎ ‎ ‎ ‎18.(5分)(2012•上海)设an=sin,Sn=a1+a2+…+an,在S1,S2,…S100中,正数的个数是(  )‎ A.25 B.50 C.75 D.100‎ ‎【分析】由于f(n)=sin的周期T=50,由正弦函数性质可知,a1,a2,…,a24>0,a26,a27,…,a49<0,f(n)=单调递减,a25=0,a26…a50都为负数,但是|a26|<a1,|a27|<a2,…,|a49|<a24,从而可判断 ‎【解答】解:由于f(n)=sin的周期T=50‎ 由正弦函数性质可知,a1,a2,…,a24>0,a25=0,a26,a27,…,a49<0,a50=0‎ 且sin,sin…但是f(n)=单调递减 a26…a49都为负数,但是|a26|<a1,|a27|<a2,…,|a49|<a24‎ ‎∴S1,S2,…,S25中都为正,而S26,S27,…,S50都为正 同理S1,S2,…,s75都为正,S1,S2,…,s75,…,s100都为正,‎ 故选D ‎ ‎ 三、解答题(共5小题,满分74分)‎ ‎19.(12分)(2012•上海)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点,已知AB=2,AD=2,PA=2,求:‎ ‎(1)三角形PCD的面积;‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.‎ ‎【分析】(1)可以利用线面垂直的判定与性质,证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形,然后在Rt△PAD中,利用勾股定理得到PD=2,最后得到三角形PCD的面积S;‎ ‎(2)[解法一]建立如图空间直角坐标系,可得B、C、E各点的坐标,从而=(1,,1),=(0,2,0),利用空间向量数量积的公式,得到与 夹角θ满足:cosθ=,由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为;‎ ‎[解法二]取PB的中点F,连接AF、EF,△PBC中,利用中位线定理,得到EF∥BC,从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角,然后可以通过计算证明出:△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形,所以∠AEF=,可得异面直线BC与AE所成的角的大小为.‎ ‎【解答】解:(1)∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,‎ ‎∴CD⊥PA.‎ ‎∵矩形ABCD中,CD⊥AD,而PA、AD是平面PAD的交线.‎ ‎∴CD⊥平面PDA,‎ ‎∵PD⊂平面PDA,∴CD⊥PD,三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形.‎ ‎∵Rt△PAD中,AD=2,PA=2,‎ ‎∴PD==2.‎ ‎∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2.‎ ‎(2)[解法一]‎ 如图所示,建立空间直角坐标系,可得B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,,1).‎ ‎∴=(1,,1),=(0,2,0),‎ 设与夹角为θ,则cosθ===,‎ ‎∴θ=,由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为.‎ ‎[解法二]‎ 取PB的中点F,连接AF、EF、AC,‎ ‎∵△PBC中,E、F分别是PC、PB的中点,‎ ‎∴EF∥BC,∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角.‎ ‎∵Rt△PAC中,PC==4.‎ ‎∴AE=PC=2,‎ ‎∵在△AEF中,EF=BC=,AF=PB=‎ ‎∴AF2+EF2=AE2,△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形,‎ ‎∴∠AEF=,可得异面直线BC与AE所成的角的大小为.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2012•上海)已知f(x)=lg(x+1)‎ ‎(1)若0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求x的取值范围;‎ ‎(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x∈[1,2])的反函数.‎ ‎【分析】(1)应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;‎ ‎(2)结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解.‎ ‎【解答】解:(1)f(1﹣2x)﹣f(x)=lg(1﹣2x+1)﹣lg(x+1)=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1),‎ 要使函数有意义,则 由解得:﹣1<x<1.‎ 由0<lg(2﹣2x)﹣lg(x+1)=lg<1得:1<<10,‎ ‎∵x+1>0,‎ ‎∴x+1<2﹣2x<10x+10,‎ ‎∴.‎ 由,得:.‎ ‎(2)当x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1],‎ ‎∴y=g(x)=g(x﹣2)=g(2﹣x)=f(2﹣x)=lg(3﹣x),‎ 由单调性可知y∈[0,lg2],‎ 又∵x=3﹣10y,‎ ‎∴所求反函数是y=3﹣10x,x∈[0,lg2].‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2012•上海)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图,现假设:‎ ‎①失事船的移动路径可视为抛物线;‎ ‎②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;‎ ‎③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t ‎(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向.‎ ‎(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?‎ ‎【分析】(1)t=0.5时,确定P的横坐标,代入抛物线方程中,可得P的纵坐标,利用|AP|=,即可确定救援船速度的大小和方向;‎ ‎ (2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2),从而可得vt=,整理得,利用基本不等式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)t=0.5时,P的横坐标xP=7t=,代入抛物线方程中,得P的纵坐标yP=3.…2分 由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时.…4分 由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度.…6分 ‎(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).‎ 由vt=,整理得.…10分 因为,当且仅当t=1时等号成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.‎ 因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.…14分 ‎ ‎ ‎22.(16分)(2012•上海)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2﹣y2=1.‎ ‎(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;‎ ‎(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;‎ ‎(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出双曲线的渐近线方程,求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出三角形的面积.‎ ‎(2)设直线PQ的方程为y=kx+b,通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=2,通过求解=0.证明PO⊥OQ.‎ ‎(3)当直线ON垂直x轴时,直接求出O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|>),推出直线OM的方程为y=,利用,求出,,设O到直线MN的距离为d,通过(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,求出d=.推出O到直线MN的距离是定值.‎ ‎【解答】解:(1)双曲线C1:左顶点A(﹣),‎ 渐近线方程为:y=±x.‎ 过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=(x+),即y=,‎ 所以,解得.‎ 所以所求三角形的面积为S=.‎ ‎(2)设直线PQ的方程为y=kx+b,‎ 因直线PQ与已知圆相切,故,‎ 即b2=2,由,‎ 得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,‎ 又y1y2=(x1+b)(x2+b).‎ 所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2‎ ‎=2(﹣1﹣b2)+2b2+b2‎ ‎=b2﹣2=0.‎ 故PO⊥OQ.‎ ‎(3)当直线ON垂直x轴时,|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.‎ 当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|>),‎ 则直线OM的方程为y=,由 得,‎ 所以.‎ 同理,‎ 设O到直线MN的距离为d,‎ 因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,‎ 所以==3,‎ 即d=.‎ 综上,O到直线MN的距离是定值.‎ ‎ ‎ ‎23.(18分)(2012•上海)对于数集X={﹣1,x1,x2,…,xn},其中0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集Y={=(s,t),s∈X,t∈X},若对任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如{﹣1,1,2}具有性质P.‎ ‎(1)若x>2,且{﹣1,1,2,x}具有性质P,求x的值;‎ ‎(2)若X具有性质P,求证:1∈X,且当xn>1时,x1=1;‎ ‎(3)若X具有性质P,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,…,xn的通项公式.‎ ‎【分析】(1)在Y中取=(x,2),根据数量积的坐标公式,可得Y中与垂直的元素必有形式(﹣1,b),所以x=2b,结合x>2,可得x的值.‎ ‎(2)取=(x1,x1),=(s,t)根据,化简可得s+t=0,所以s、t异号.而﹣1是数集X中唯一的负数,所以s、t中的负数必为﹣1,另一个数是1,从而证出1∈X,最后通过反证法,可以证明出当xn>1时,x1=1.‎ ‎(3)[解法一]先猜想结论:xi=qi﹣1,i=1,2,3,…,n.记Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk},k=2,3,…,n,通过反证法证明出引理:若Ak+1具有性质P,则Ak也具有性质P.最后用数学归纳法,可证明出xi=qi﹣1,i=1,2,3,…,n;‎ ‎[解法二]设=(s1,t1),=(s2,t2),则等价于,得到一正一负的特征,再记B={|s∈X,t∈X且|s|>|t|},则可得结论:数集X具有性质P,当且仅当数集B关于原点对称.又注意到﹣1是集合X中唯一的负数,B∩(﹣∞,0)={﹣x2,﹣x3,﹣x4,…,﹣xn},共有n﹣1个数,所以B∩(0.+∞)也有n﹣1个数.最后结合不等式的性质,结合三角形数阵加以说明,可得==…=,最终得到数列的通项公式是xk=x1•()k﹣1=qk﹣1,k=1,2,3,…,n.‎ ‎【解答】解:(1)选取=(x,2),则Y中与垂直的元素必有形式(﹣1,b),所以x=2b,‎ 又∵x>2,∴只有b=2,从而x=4.‎ ‎(2)取=(x1,x1)∈Y,设=(s,t)∈Y,满足,可得(s+t)x1=0,s+t=0,所以s、t异号.‎ 因为﹣1是数集X中唯一的负数,所以s、t中的负数必为﹣1,另一个数是1,所以1∈X,‎ 假设xk=1,其中1<k<n,则0<x1<1<xn.‎ 再取=(x1,xn)∈Y,设=(s,t)∈Y,满足,可得sx1+txn=0,‎ 所以s、t异号,其中一个为﹣1‎ ‎①若s=﹣1,则x1=txn>t≥x1,矛盾;‎ ‎②若t=﹣1,则xn=sx1<s≤xn,矛盾;‎ 说明假设不成立,由此可得当xn>1时,x1=1.‎ ‎(3)[解法一]猜想:xi=qi﹣1,i=1,2,3,…,n 记Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk},k=2,3,…,n 先证明若Ak+1具有性质P,则Ak也具有性质P.‎ 任取=(s,t),s、t∈Ak,当s、t中出现﹣1时,显然有满足 当s、t中都不是﹣1时,满足s≥1且t≥1.‎ 因为Ak+1具有性质P,所以有=(s1,t1),s1、t1∈Ak+1,使得,从而s1、t1其中有一个为﹣1‎ 不妨设s1=﹣1,‎ 假设t1∈Ak+1,且t1∉Ak,则t1=xk+1.由(s,t)(﹣1,xk+1)=0,得s=txk+1≥xk+1,与s∈Ak矛盾.‎ 所以t1∈Ak,从而Ak也具有性质P.‎ 再用数学归纳法,证明xi=qi﹣1,i=1,2,3,…,n 当n=2时,结论显然成立; ‎ 假设当n=k时,Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk}具有性质P,则xi=qi﹣1,i=1,2,…,k 当n=k+1时,若Ak+1═{﹣1,x1,x2,…,xk+1}具有性质P,则Ak═{﹣1,x1,x2,…,xk}具有性质P,‎ 所以Ak+1═{﹣1,q,q2,…,qk﹣1,xk+1}.‎ 取=(xk+1,q),并设=(s,t)∈Y,满足,由此可得s=﹣1或t=﹣1‎ 若t=﹣1,则xk+1=,不可能 所以s=﹣1,xk+1=qt=qj≤qk且xk+1>qk﹣1,因此xk+1=qk 综上所述,xi=qi﹣1,i=1,2,3,…,n ‎[解法二]设=(s1,t1),=(s2,t2),则等价于 记B={|s∈X,t∈X且|s|>|t|},则数集X具有性质P,当且仅当数集B关于原点对称 注意到﹣1是集合X中唯一的负数,B∩(﹣∞,0)={﹣x2,﹣x3,﹣x4,…,﹣xn},共有n﹣1个数.‎ 所以B∩(0,+∞)也有n﹣1个数.‎ 由于<<<…<,已经有n﹣1个数 对以下三角形数阵:<<<…<,‎ ‎<<<…<‎ ‎ …‎ 注意到>>>…>,所以==…=‎ 从而数列的通项公式是xk=x1•()k﹣1=qk﹣1,k=1,2,3,…,n.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;minqi5;吕静;qiss;wfy814;邢新丽;刘长柏;ywg2058;石玉台(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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