2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省兰州市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．0 C．-1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算得，得到复数在复平面内对应的点为，代入直线的方程，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数，‎ 所以复数在复平面内对应的点为，‎ 则，解得，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2．若函数，则（ ）‎ A．0 B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 求函数f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x的导数，得，f′（x）=x2﹣2f′（1）x﹣1，‎ ‎ 把x=1代入，得，f′（1）=1﹣2f′（1）﹣1‎ ‎∴f′（1）=0‎ 故答案为：A.‎ ‎3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么 是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点．以上推理中（ ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点”，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点，所以大前提错误 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三段论以及命题的真假，属于基础题.‎ ‎4．已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为函数在上是单调函数，‎ 所以，即，解得，‎ 即实数的取值范围是，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 ( ）‎ A．36个 B．48个 C．52个 D．54个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：第一类，当从，，中取一个数字，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；第二类，当从，，中取一个数字不是，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个，综上所有不同的三位数的个数是，故选B.‎ 考点：排列与组合．‎ ‎6．函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性判断出导函数 函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，函数在时是增函数，‎ 因此其导函数在时，有（即函数的图象在轴上方），因此排除A、C．‎ 从原函数图象上可以看出在区间上原函数是增函数，所以，在区间上原函数是减函数，所以；在区间上原函数是增函数，所以．‎ 所以可排除C．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状．‎ ‎7．用数学归纳法证明“”，验证n=1时，左边计算所得式子为（ ）‎ A．1 B．1+2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时,左边计算的式子为，故选D.‎ ‎8．已知函数= xlnx，则下列说法正确的是（ ）‎ A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，求得函数的单调区间，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎9．设函数，则是（ ）‎ A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．‎ 解：∵函数f（x）=，‎ ‎∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．‎ 且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．‎ 故选C．‎ 点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．‎ ‎10．已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为（ ）‎ A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为 C．极小值为，极大值为0 D．极小值为0，极大值为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得，得到，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为函数的图像与轴切于点，‎ 则，且，‎ 联立方程组，解得，即，‎ 则，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以函数的极大值为，极小值为，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎11．定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：令，则，‎ ‎∵，即，∴恒成立，∴g(x)在R上单调递增，‎ 又，∴不等式，‎ ‎∴不等式的解集为，故选B 考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用 点评：解决本题的关键是根据导函数确定原函数 ‎12．已知函数，且是偶函数，若函数 有且只有4个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象对称性，解得的值，化简函数的解析式为，令，把函数有且只有4个零点，转化为在区间上有两个零点，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数 ，且是偶函数，‎ 所以函数的图象关于对称，则，‎ 所以，解得，‎ 此时函数 ‎ ‎ ‎，‎ 令，则，‎ 因为函数有且只有4个零点，且的图象关于对称，‎ 即函数的图象在有两个零点，‎ 所以在区间上有两个零点，‎ 即与的图象在有两个交点，‎ 当时，，如图所示，‎ 则，解得，‎ 即实数的取值范围是，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的性质，求得函数的解析式，合理利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．计算=_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义求得，由定积分的计算公式，求得，再根据定积分的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由定积分的性质可得，‎ 根据定积分的几何意义，可知表示的面积，即半径为的一个个圆的面积，所以，‎ 又由，所以，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎14．若，则=_______．（用数字作答）‎ ‎【答案】2017‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据二项式的展开式，令和可得，进而得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，‎ 令，可得，‎ 令，可得，‎ 所以 ‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎15．如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n>1）行第二个数是____. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从数表中的第二行开始，取出数表中每一行的第二个数，构成数列，得到数列满足，则数表中第n行的第2个数字为数列的第项，利用等差数列的知识，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，从第二行开始，取出数表中每一行的第二个数，构成数列满足 ，‎ 则数列满足，且，‎ 所以数表中第n行的第2个数字为数列的第项，‎ 所以 ‎，‎ 即数表中第n行的第2个数字为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列递推公式和等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中从第二行开始，取出每行的第二个数字，构成一个数列，利用等差数列的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎16．设有通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成个部分，则个平面将空间分成_____个部分．‎ ‎【答案】2k ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，所以，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知一个平面能把空间分成2个部分，即，‎ 两个相交平面可以把空间分成四4个部分，即，‎ 若第三个平面和前两个平面经过同一个单，且三个平面不经过同一直线，则这三个平面可以把空间分成8部分，即，‎ ‎ ‎ 则个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于中档试题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）若，且，用反证法证明：中至少有一个小于2．‎ ‎（2）设非等腰三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，证明：.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用反证法，即可作出证明；‎ ‎（2）利用分析法，即可作出证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：假设，即，‎ ‎，这与矛盾．∴假设不成立 ‎∴中至少有一个小于2． ‎ ‎（2）证明：要证，只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，只要证，‎ 只要证，只要证A，B，C成等差数列，故结论成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法和分析法的应用，其中解答中合理选择反证法和分析法进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知复数满足 ‎（1）求w在复平面上对应点P的轨迹C．‎ ‎（2）在复平面上点Q（0，4）向轨迹C做切线，分别切于A、B两点，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，求得，再根据，化简求得，即可得到答案．‎ ‎（2）求得过点切线方程分别为，根据点在两条切线上，利用同一法，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则由得 ‎∵复数z满足，‎ ‎∴，‎ 即，即w在复平面上对应点P的轨迹C为．‎ ‎（2）设切点，‎ 则对应的切线方程分别为，‎ ‎∵Q（0，4）在两条切线上，，‎ 因此A，B两点都在直线，即AB为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记复数的运算与几何性质，以及合理利用直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19．（设，是否存在使等式：对任意都成立，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，得的值，归纳猜想，再利用数学归纳法证明．‎ 试题解析：当时，由，‎ 得，‎ 当时，由，得，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ 当时，等式恒成立．‎ ‎（1）当时，由上面计算可知，等式成立；‎ ‎（2）假设且时，等式成立，即成立，‎ 那么当时，‎ ‎，‎ ‎∴当时，等式也成立．‎ 由①②知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立．‎ 考点：归纳猜想及数学归纳法的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了归纳猜想、数学归纳法的应用，属于中档试题，本题中根据的值，归纳猜想，再用数学归纳法的一般步骤：（1）验证时，命题成立；（2）假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立；（3）由上述（1）（2）得命题成立，其中假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立过程中，忽视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递推关系的运算，作出合理猜想也是本题的一个难点．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）设实数使得恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）设，若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由恒成立，即恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．‎ ‎（2）令，得，由（1）知，求得函数 的单调性与极值，列出相应的不等式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可知恒成立，即恒成立，‎ 设，则，‎ 令，解得，‎ 当单调递增；当单调递减，‎ 所以时，取得最大值,‎ 所以实数的取值范围为. ‎ ‎（2）令，得．‎ 由（1）知，单调递增；单调递减，‎ 且.‎ 当时，函数在上有两个零点.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎21．已知函数（m为常数）.‎ ‎（1）当m=4时，求函数的单调区间； ‎ ‎（2）若函数有两个极值点，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】依题意，函数的定义域为（1，＋∞）.‎ ‎（Ⅰ） 当m＝4时，.‎ ‎＝=＝.………………2分 令， 解得或.令， 解得.‎ 可知函数f(x)的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．……6分 ‎（Ⅱ）＝＋x－(m＋2)＝. ………………………8分 若函数y＝f (x)有两个极值点,则 ，…………10分 解得 m＞3.‎ ‎【解析】‎ ‎(I)利用导数的正负确定其增减区间.‎ ‎（II）因为＝＋x－(m＋2)＝，说明函数有两个不同的交点，然后借助二次函数零点的分布借助图像求解.‎ ‎22．设函数.‎ ‎（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；‎ ‎（2）若函数在其定义域上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，证明对任意的正整数，.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，得的定义域为，因为对，都有成立，所以是函数的最小值，所以，即可求解的值；（2）由，函数在定义域上单调函数，知或在上恒成立，由此能求出实数的取值范围；（3）当时，函数，令，‎ 则，由此入手能够证明.‎ 试题解析：（1）由,得．∴的定义域为．‎ 因为对x∈,都有，∴是函数的最小值，故有．‎ 解得．‎ 经检验，时，在上单调减，在上单调增．为最小值．故得证．‎ ‎（2）∵又函数在定义域上是单调函数，‎ ‎∴或在上恒成立．‎ 若，则在上恒成立,‎ 即=恒成立,由此得；‎ 若,则在上恒成立,‎ 即=恒成立．‎ 因在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立．‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎（3）当时，函数．‎ 令，‎ 则．‎ 当时，，所以函数在上单调递减．‎ 又，当时，恒有，即恒成立．‎ 故当时，有．‎ 而，．取，则有．‎ ‎．所以结论成立．‎ 考点：利用导数求曲线上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的极值、最值的应用，利用导数研究函数的饿单调性及不等关系的证明，综合性强，难度大，计算繁琐，是高考的重点内容之一，解答时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化，同时着重考查了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，平时要注意总结.‎