2018-2019学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

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天津一中 2018-2019-2 高二年级数学学科模块质量调查试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 ‎90 分钟。第 I 卷 第 1 页，第 II 卷 第 2 页。考生务必将答案涂写规定的位置上，答在 试卷上的无效。‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 一．选择题 ‎第 I 卷 ‎1．某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进 行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有 A．420 人 B．480 人 C．840 人 D．960 人 ‎2．函数 f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．无数个 ‎3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表 中数据求得 y 关于 x 的回归方程为 yˆ = 0.7x + a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回 归直线下方的概率为 x ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1 1‎ A． B．‎ ‎4 2‎ ‎3‎ C． D．0‎ ‎4‎ ‎4．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随 机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是 A．频率分布直方图中 a 的值为 0.040‎ B．样本数据低于 130 分的频率为 0.3‎ C．总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分 D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，‎ ‎110）的频数相等 ‎5．若 A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则 A、B 两位同学至少有一人站在两端的 概率是 ‎1 3 3 7‎ A． B． C． D．‎ ‎5 10 5 10‎ ‎6．函数 f ( x) = ‎sin x ln( x + 2)‎ ‎‎ 的图象可能是 A. B.‎ C. D.‎ ‎7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛，A，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK，比赛四局．除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为 ‎2‎ ‎，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为 ‎3‎ ‎16 52‎ A． B．‎ ‎27 81‎ ì ‎20 7‎ C． D．‎ ‎27 9‎ ‎0 , 0 < x £ 1‎ ‎8．函数 f ( x) = | ln x |, g ( x) = ‎‎ î ‎| x2‎ ‎‎ ‎4 | 2, x ‎，若关于 x 的方程 f (x) + m = g(x) 恰有 ‎1‎ í - - > 三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是 A． [0, ln 2] B． (-2 - ln 2, 0]‎ ‎‎ C． (-2 - ln 2, 0)‎ ‎‎ D． [0, 2 + ln 2)‎ 二．填空题 ‎第 II 卷 ‎9．从区间（﹣2，3）内任选一个数 m，则方程 mx2+y2＝1 表示的是双曲线的概率 为 ．‎ ‎10．一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX＝2.1，从这批排球中随机一 次取两个，则至少有一个次品的概率 p＝‎ ‎11．已知直线 y = 2x -1不曲线 y = ln(x + a) 相切，则 a 的值为 ‎12．某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据 落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为 ．‎ ‎13．函数 f（x）＝ex﹣3x+2 的单调增区间为 ．‎ ‎14．已知函数 f（x）＝ax+lnx，若 f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数 a 的取值 范围为 ．‎ 三．解答题 ‎15．已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有 ‎2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出．‎ ‎（1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；‎ ‎（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．‎ ‎16．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概 ‎1‎ 率均为 ‎3‎ ‎1 1 1‎ ‎，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为 ， ，‎ ‎6 6 2‎ ‎‎ ‎．若一天内同一车间的机器都 丌发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故 障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元．‎ ‎（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；‎ ‎（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依 据，你认为哪个车间停产比较合理．‎ ‎17．已知函数 f ( x) = a ‎x + 1‎ x ‎+ ln x 在点（1，f（1））处的切线方程是 y＝bx+5．‎ ‎（1）求实数 a，b 的值；‎ ‎1‎ ‎（2）求函数 f（x）在 [ , e] 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）．‎ e ‎18．已知函数 f (x) = xekx (k ¹ 0) ．‎ ‎（1）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；‎ ‎（2）讨论 f（x）的单调性；‎ ‎（3）设 g(x) = x2 - 2bx + 4 ，当 k = 1 时，对任意的 x Î R ，存在 x Î[1, 2] ，使得 ‎1 2‎ f (x1 ) ³ g(x2 ) ，求实数 b 的取值范围 x2 y2‎ ‎19．已知椭圆 C： + a2 b2‎ ‎= 1(a > b > 0) 的左右焦点分别 F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ ‎3‎ 过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，满足 | AF2 |= c ．‎ ‎6‎ ‎（I）求椭圆 C 的离心率．‎ ‎（II）M，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶点）， 直线 MP，NP 分别不 x 轴相较于 R，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR|•|OQ|＝8，求椭圆 C 的方程．‎ 一．选择题（共 9 小题）‎ ‎1．C ‎2．A ‎3．B ‎4．C ‎参考答案 ‎【分析】由频率分布直方图得的性质求出 a＝0.030；样本数据低于 130 分的频率为：‎ ‎1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7；[80，120）的频率为 0.4，[120，130）的频率为 ‎0.3．由此求出总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+≈123.3 分；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体 分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得：‎ ‎（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1， 解得 a＝0.030，故 A 错误；‎ 样本数据低于 130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故 B 错误；‎ ‎[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，‎ ‎[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．‎ ‎∴总体的中位数（保留 1 位小数）估计为：120+≈123.3 分，故 C 正 确；‎ 样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等， 总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等，故 D 错 误．‎ 故选：C．‎ ‎5．D ‎【分析】五名同学站成一排照相，共有 n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一 人站在两端的排法有：+＝84 种，由此能求出 A、B 两位同学至少有 一人站在两端的概率．‎ ‎【解答】解：五名同学站成一排照相，共有 n＝ ＝120 种排法．‎ A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有： + ＝84 种，‎ ‎∴A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为 p＝ ． 故选：D．‎ ‎6．A ‎【解析】解：若使函数的解析式有意义 则，即即函数的定义域为 可排除 B，D 答案 当时，，则可排除 C 答案 故选：A．‎ 由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除 B，D 答案；分析时，函 数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除 C 答案． 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是 解答的关键．‎ ‎7．C ‎【分析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜一 负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的 得分的概率．‎ ‎【解答】解：比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜 一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，‎ ‎∴比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为：‎ P＝（）4++＝． 故选：C．‎ ‎8．B 二．填空题（共 5 小题）‎ ‎9．‎ ‎【分析】根据题意，求出方程 mx2+y2＝1 表示双曲线的条件即可．‎ ‎【解答】解：当 m∈（﹣2，0）时，方程 mx2+y2＝1 表示的是双曲线， 所以所求的概率为 P＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎8‎ ‎10．‎ ‎11．‎ ‎‎ ‎15‎ ‎1 ln 2‎ ‎2‎ ‎12．27‎ ‎【分析】根据题意知 a≤2，再由中位数的定义求得结果．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图中的数据知， 数据落在[18，22]中的频率为 0.25， 则频数为 16×0.25＝4，∴a≤2；‎ ‎∴这组数据的中位数为×（26+28）＝27． 故答案为：27．‎ ‎13．（ln3, +∞）‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于 0 求解指数丌等式得答案．‎ ‎【解答】解：由 f（x）＝ex﹣3x+2，得 f′（x）＝ex﹣3，‎ 由 f′（x）＝ex﹣3>0，得 x>ln3．∴函数 f（x）＝ex﹣3x+2 的单调减区间为（ln3, +‎ ‎∞）．‎ 故答案为：（ln3, +∞）．‎ ‎14．（﹣∞，﹣]‎ ‎【分析】求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据 f（x）≤1‎ 在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于 a 的丌等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）＝a+，‎ ‎①a≥0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而 x→+∞时，f（x）→+∞，丌合 题意；‎ ‎②a＜0 时，‎ 令 f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令 f′（x）＜0，解得：x＞﹣， 故 f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣ ，+∞）递减，‎ 故 f（x）max＝f（﹣）＝﹣1+ln（﹣ ）≤1，解得：a≤﹣，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣]．‎ 三．解答题（共 5 小题）‎ ‎15．解：‎ ‎（1）由题意知，所有的选派方法共有 ＝60 种，‎ 其中有 3 名女生的选派方法共有 ＝4 种，‎ 所以选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数为 60﹣4＝56 种．…（3 分）‎ ‎（2）X 的可能取值为 0，1，2，3．……………………………………………………（5 分）‎ P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，‎ P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，（8 分）‎ ‎∴X 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E（X）＝ ＝ ．…………………………………（10 分）‎ ‎16．解：‎ ‎（1）乙车间每天机器发生故障的台数为 ξ，则 ξ 的可能取值为 0，1，2，3； 且 P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝ ，‎ P（ξ＝1）＝C21× ×（1﹣ ）×（1﹣ ）2+（1﹣ ）× ＝ ，‎ P（ξ＝2）＝C21× ×（1﹣ ）×+（ ）2×（1﹣ ）＝ ，‎ P（ξ＝3）＝× × ＝ ，‎ ‎∴乙车间每天机器发生故障的台数 ξ 的分布列；‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数 η，获得的利润为 X，则 η～B（3，‎ ‎），‎ P（η＝k）＝ ••，（k＝0，1，2，3），‎ ‎∴EX＝2P（η＝0）+1×P（η＝1）+0×P（η＝2）﹣3×P（η＝3）＝2×+1×+0‎ ‎﹣3×＝；‎ 由（1）得 EY＝2P（ξ＝0）+1×P（ξ＝1）+0×P（ξ＝2）﹣3×P（ξ＝3）＝‎ ‎2×+1×+0﹣3×＝；‎ ‎∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．‎ ‎17．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数 a，b 的值；‎ ‎（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数 f（x）‎ 在 上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）因为，，………（1 分） 则 f'（1）＝1﹣a，f（1）＝2a，‎ 函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2a＝（1﹣a）（x﹣‎ ‎1），…………（2 分）‎ ‎（直线 y＝bx+5 过（1，f（1））点，则 f（1）＝b+5＝2a）‎ 由题意得 ，即 a＝2，b＝﹣1．………………………………………（4 分）‎ ‎（2）由（1）得 ，函数 f（x）的定义域为（0，+∞），……（5 分）‎ ‎∵ ，∴f'（x）＜0⇒0＜x＜2，f'（x）＞0⇒x＞2，‎ ‎∴ 在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．……（7 分）‎ 故 f（x）在 上单调递减，在[2，e]上单调递增，……………（9 分）‎ ‎∴f（x）在 上的最小值为 f（2）＝3+ln2．………………………（10 分） 又 ， ，且 ．‎ ‎∴f（x）在 上的最大值为 ．………………………（11 分） 综上，f（x）在 上的最大值为 2e+1，最小值为 3+ln2．……………（12 分）‎ ‎18．‎ ‎19．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设 A 点的横坐标为 c，代入椭圆方程求得 y，即有，结合 a，b，c 的关系，以及离心率公式，解方程可得 e；‎ ‎（Ⅱ）设 M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得 MP 的方 程和 NP 的方程，令 y＝0，可得 R，Q 的坐标，由条件可得 a，b 的方程，解方程可 得 a，b，进而得到所求椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设 A 点的横坐标为 c，代入椭圆方程得，‎ y＝±b ＝±， 解得 ，‎ ‎∴ ，‎ 又 b2＝a2﹣c2＝ ac，‎ 由 e＝ 可得 e2+ e﹣1＝0， 解得 ；‎ ‎（Ⅱ）设 M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0）， 可得 b2x02+a2y02＝a2b2，‎ 则直线 MP 的方程为 ， 令 y＝0 得到 R 点的横坐标为 ， 同理可得直线 NP 的方程为 ， 令 y＝0 得到 Q 点的横坐标为 ，‎ ‎∴ ，‎ 而 e＝ ＝ ，‎ 可得 c2＝6，b2＝2， 所以椭圆的方程为 ．‎