重庆市九校联盟2019届高三数学12月联考试题文

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重庆市九校联盟2019届高三数学12月联考试题文

重庆市九校联盟2019届高三数学12月联考试题 文 第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合A={x|3-2x<-1},B={x|x(2x-5)≤0},则A∪B=‎ A. B.‎ C.[0,+∞) D.‎ ‎2.若复数z满足(2+i)z=3-i,则z的虚部为 A.1 B.-1 C.i D.-i ‎3.函数的图象大致是 ‎4.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且(4a-b)·(a+3b)=2,则向量a,b的夹角θ为 A. B. C. D.‎ ‎5.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,,则xf(x)≥0的解集为 A.[-1,0)∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+∞)‎ C.[-1,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞)‎ ‎6.设x,y满足约束条件则z=4x+y的最小值为 A.-3 B.-5‎ C.-14 D.-16‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示(其中俯视图中的曲线是圆弧),则该几何体的表面积为 A.4π+6‎ B.6π+6‎ C.4π+3‎ D.6π+3‎ ‎8.为了得到y=-2cos 2x的图象,只需把函数的图象 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎9.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,,O为坐标原点,若|PF1|=10,则|OQ|=‎ A.10 B.9 C.1 D.1或9‎ ‎10.如图,△ABC和△DEF均为等边三角形,AF=BD=CE,DF=2AF=20 cm,若在△ABC中随机投入260粒芝麻,则落在△DEF外的芝麻粒数约为 A.100‎ B.130‎ C.150‎ D.180‎ ‎11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(sin B+sin C)2-sin2(B+C)=3sin Bsin C,且a=2,则△ABC的面积的最大值是 A. B. C. D.4‎ ‎12.设0<m≤2,已知函数,对于任意x1,x2∈[m-2,m],都有|f(x1)-f(x2)|≤1,则实数m的取值范围为 A. B.‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.已知函数,则 ▲ .‎ ‎14.已知,,则cos 2α= ▲ .‎ ‎15.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知四边形ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AB∥CD,AB=AD=AA1=1,CD=2,E为BB1的中点,则直线AD与直线CE所成角的正切值为 ▲ .‎ ‎16.点P在椭圆C1:上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为 ▲ .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题 ‎17.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log3an,若数列的前n项和为Tn,证明:Tn<1.‎ ‎18.‎ ‎2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启,这是体育与教育的强强联手,这是培养足球运动员的黄金摇篮,也是全国青少年足球的盛宴.组委会在某场联赛结束后,随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分,将得到的分数分成6段:[64,70),[70,76),[76,82),[82,88),[88,94),[94,100]后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求a的值并估计这300名观众评分的中位数;‎ ‎(2)若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”,现从“足球迷”中按区间[88,94)与[94,100]两部分按分层抽样抽取5人,然后再从中任意选取两人作进一步的访谈,求这两人中至少有1人的评分在区间[94,100]的概率.‎ ‎19.如图,在五面体ABCDFE中,底面ABCD为矩形,EF∥AB,BC⊥FD,过BC的平面交棱FD于P,交棱FA于Q.‎ ‎(1)证明:PQ∥平面ABCD;‎ ‎(2)若CD⊥BE,EF=EC=1,,求五面体ABCDFE的体积.‎ ‎20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A,B两点,|AB|=4.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)过点F的直线l交抛物线于P,Q两点,若△OPQ的面积为4,求直线l的斜率(其中O为坐标原点).‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若对于任意x1,x2∈[-m,m](m>0),都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.‎ ‎(二)选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是曲线C1上的动点,将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON,设点N的轨迹为曲线C2.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若射线与曲线C1,C2分别交于A,B两点(除极点外),且有定点T(4,0),求△TAB的面积.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数f(x)=|x+m|-|2x-2m|(m>0).‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)对于任意的实数x,存在实数t,使得不等式f(x)+|t-3|<|t+4|成立,求实数m的取值范围.‎ 高三数学考试参考答案(文科)‎ ‎1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.B 12.B ‎13.-1 14. 15. 16.‎ ‎17.(1)解:因为an+1=2Sn+3, ①‎ an=2Sn-1+3. ②‎ ‎①-②得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),‎ 所以{an}为从第2项开始的等比数列,且公比q=3,‎ 又a1=3,所以a2=9,所以数列{an}的通项公式an=3n(n≥2).‎ 当n=1时,a1=3满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n.‎ ‎(2)证明:由(1)知bn=log3an=log33n=n,‎ 所以,‎ 所以 得证.‎ ‎18.解:(1)因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6=1,‎ 所以.‎ 设y为观众评分的中位数,‎ 由前三组的概率和为0.40,前四组的概率和为0.70,知82<y<88,‎ 所以0.4+(y-82)×0.05=0.5,则y=84.‎ ‎(2)以样本的频率作为概率,评分在“88分及以上”确定为“足球迷”,现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人,则从评分在区间[88,94)的“足球迷”中抽取3人,记为A,B,C,从评分在区间[94,100]的“足球迷”中抽取2人,记为a,b.‎ 从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB,AC,BC,Aa,Ba,Ca,Ab,Bb,Cb,ab,共10个基本事件,‎ 这两人中至少有1人的评分在区间[94,100]的基本事件有Aa,Ba,Ca,Ab,Bb,Cb,ab,共7个基本事件,‎ 则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94,100]上的概率.‎ ‎19.(1)证明:因为底面ABCD为矩形,所以AD∥BC.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)解:由CD⊥BE,CD⊥CB,易证CD⊥CE,‎ 由BC⊥CD,BC⊥FD,易证BC⊥平面CDFE,所以CB⊥CE,‎ 即CD,CE,CB两两垂直.‎ 连接FB,FC,则CD=2,BC=3,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎20.解:(1)由抛物线的定义得2p=4,‎ 所以抛物线的方程为y2=4x.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 因为直线l与抛物线有两个交点,‎ 所以k≠0,得,代入y2=4x,得,且恒成立,‎ 则,y1y2=-4,‎ 所以.‎ 又点O到直线l的距离,‎ 所以,解得,即.‎ ‎21.解:(1)因为,所以,‎ 所以当x∈(-∞,0)时,ex-1<0,,f′(x)<0;‎ 当x∈(0,+∞)时,ex-1>0,,f′(x)>0.‎ 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).‎ ‎(2)由(1)知,f(x)在[-m,0]上单调递减,在[0,m]上单调递增,‎ 故f(x)在x=0处取得最小值,且f(0)=1.‎ 所以对于任意的x1,x2∈[-m,m],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件为 ‎,即①‎ 设函数g(t)=et-t,则g′(t)=et-1.‎ 当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0,‎ 故g(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.‎ 又g(1)=e-1,g(m)=em-m,g(-m)=e-m+m,‎ 所以当m∈(0,1]时,g(m)≤g(1)=e-1,g(-m)≤g(-1)=e-1+1<e-1,即①式成立,‎ 综上所述,m的取值范围是(0,1].‎ ‎22.解:(1)由题设,得C1的直角坐标方程为x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0,‎ 故C1的极坐标方程为ρ2-10ρsinθ=0,即ρ=10sinθ.‎ 设点N(ρ,θ)(ρ≠0),则由已知得,代入C1的极坐标方程得,‎ 即ρ=10cosθ(ρ≠0).‎ ‎(2)将代入C1,C2的极坐标方程得,,‎ 又因为T(4,0),所以,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎23.解:因为m>0,所以 ‎(1)当时,‎ 所以由,可得或或,‎ 解得或,‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎(2)因为f(x)+|t-3|<|t+4|⇔f(x)<|t+4|-|t-3|,‎ 令g(t)=|t+4|-|t-3|,则由题设可得f(x)max<g(t)max.‎ 由得f(x)max=f(m)=2m.‎ 因为-|(t+4)-(t-3)|≤|t+4|-|t-3|≤|(t+4)-(t-3)|,所以-7≤g(t)≤7,‎ 故g(t)max=7,从而2m<7,即,‎ 又已知m>0,故实数m的取值范围是.‎
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