专题2-10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（测）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测

专题2-10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（测）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测

‎2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 专题10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用 ‎ ‎ 总分 150分 时间 120分钟 班级 _______ 学号 _______ 得分_______‎ （一） 选择题（12*5=60分）‎ ‎1.【2018届广东省五校协作体高三第一次联考试卷（1月）】已知是抛物线上一点， 是抛物线的焦点，若， 是抛物线的准线与轴的交点，则（ ）‎ A. 45° B. 30° C. 15° D. 60°‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以 ，所以 ,选A.‎ ‎2.【2018届河南省高三上学期联考】过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于， 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选A.‎ ‎3.【2018届河北省沧州市高三上学期联考】设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】很明显直线的斜率存在，设直线方程为，‎ 与抛物线联立可得： ，‎ 则： ，‎ 即，而，‎ 利用两点之间距离公式可得： ，‎ 整理化简可得： .‎ 利用韦达定理有： ，‎ 则： ， ，‎ 由弦长公式可得： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎4.【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考】已知抛物线：的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（ ）‎ A．4 B． C．5 D．‎ ‎【答案】B ‎5. 【2018届河北省张家口市高三上学期期末】已知双曲线的左、右焦点分别为， ，离心率为， 为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的左、右焦点分别为， ，离心率为， ，可得， ，① ‎ ‎，② 由①②得， 的周长为，故选C.‎ ‎6.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎7.【2018届江西省赣州上学期期末】双曲线的左右顶点分别为，右支上存在点满足（其中分别为直线的倾斜角），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，‎ 则，则，‎ 又，所以，‎ 则，即，所以，‎ 故选D.‎ ‎8. 在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，过作交于，则， ，所以， ，所以，‎ 所以，令，则， 因，故，所以，选C.‎ ‎ ‎ ‎9. 已知椭圆的左、右顶点分别为， 为椭圆的右焦点，圆上有一动点， 不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得， ．‎ 设点的坐标为，则 ‎ ．‎ ‎∴，‎ 又且，‎ ‎∴或，‎ 故的取值范围为．选D．‎ ‎10.【2018届安徽省黄山市高三一模】已知椭圆和双曲线有共同焦点, 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】考查一般性结论，当时：‎ 设，椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为，两曲线的焦距为，结合题意有： ，‎ 两式平方相加可得： ，‎ 两式平方作差可得： ，‎ 由余弦定理有： ，‎ 则： ， ，‎ 即，结合二倍角公式有： .‎ 本题中， ，则有： ，即，‎ 则，当且仅当时等号成立，‎ 据此可得的最大值为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎11.【2018届湖北省部分重点中学高三上学期第二次联考】如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵y2=x，焦点F（，0），准线 l0：x=﹣，由圆：（x﹣）2+y2=2圆心（，0），半径为；‎ 由抛物线的定义得：|AF|=xA+，‎ 又∵|AF|=|AB|+，∴|AB|=xA+同理：|CD|=xD+，‎ 当AB⊥x轴时，则xD=xA=，∴|AB|+4|CD|=15．‎ 当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x﹣）时，代入抛物线方程，得：‎ k2x2﹣（k2+）x+8k2=0，‎ ‎∴xAxD=8，xA+xD=，‎ ‎∴|AB|+4|CD|=（xA+）+4（xD+）=5+xA+4xD≥+2=13．‎ 当且仅当xA=4xD，即xA=2，xD=时取等号，‎ 综上所述|AB|+4|CD|的最小值为 故答案为：C.‎ ‎12.【2018届广西防城港市高中毕业班1月模拟】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是等腰三角形， .则的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的焦点在轴上，则；‎ 设，由双曲线的定义可知： ，‎ 由题意可得： ，‎ 据此可得： ，又，‎ 由正弦定理有： ，‎ 则，即： ，解得： ，‎ 则△ABF1的周长为： .‎ 本题选择C选项.‎ 二、填空题（4*5=20分）‎ ‎13.【2018届安徽省马鞍山市高三上学期期末】已知双曲线的焦点为， ， 为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得 ,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得， 轴，从而双曲线方程中令得 ，故答案为.‎ ‎14.点为双曲线右支上的一点，其右焦点为，若直线的斜率为，为线段的中点，且，则该双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎15.【2018届福建省三明市A片区高中联盟校高三上学期期末】双曲线： 的左、右焦点， ，过的直线交双曲线左支于， 两点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】根据双曲线得 根据双曲线的定义 相加得 由题意可知,当是双曲线通径时最小 即有 即有 故答案为10‎ ‎16.【2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】已知椭圆的右焦点为， 是椭圆上一点，点，当的周长最大时， 的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆中， 由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+‎2a-|PF′|=4+6+|PA|-|PF′|≤10+|AF′|（A，P，F′三点共线时，且P在AF′的延长线上，取等号），此时 设则，由余弦定理得，所以的面积 ‎ 故答案为.‎ 三、解答题（6*12=72分）‎ ‎17.【2018届陕西省西安市高三上学期期末】 已知椭圆： （）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设， 为椭圆上任意两点， 为坐标原点，且.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析.‎ 试题解析：（1）由题意知， ， ，又，‎ 所以， ， ‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为.‎ 此时，原点到直线的距离为.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ， .‎ 由得 则，‎ ‎， ‎ 则，由得，即，‎ 所以，即，‎ 所以原点到直线的距离为 综上，原点到直线的距离为定值.‎ ‎18.如图，已知点，点，分别在轴、轴上运动，且满足，，设点的轨迹为．‎ ‎ ‎ ‎（1）求轨迹的方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与轨迹交于不同两点，(位于轴上方)，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设，∵，∴为的中点，则，，‎ ‎∴，，∵，∴即；（2）设直线：，联立抛物线方程，设，‎ ‎，，∴，，即，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，即的取值范围是．‎ ‎19.【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月调研】已知椭圆C： ‎ 经过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线： 与椭圆C交于两个不同的点A，B，求面积的最大值（O为坐标原点）．‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】【试题分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率和，列方程组，求出的值.由此求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理和判别式.根据弦长公式和点到直线距离公式，求得面积的表达式，最后利用基本不等式求最大值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题意，知考虑到，解得 所以，所求椭圆C的方程为. ‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，‎ 整理得.‎ 由，得. ①‎ 设， ，则， .‎ 于是 ‎.‎ 又原点O到直线AB： 的距离.‎ 所以.‎ 因为，当仅且当，即时取等号.‎ 所以，即面积的最大值为. ‎ ‎20. 【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】已知抛物线上一点的纵坐标为4，且点到焦点的距离为5.‎ ‎ ‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设斜率为的两条平行直线分别经过点和，如图. 与抛物线交于两点， 与抛 物线交两点.问：是否存在实数，使得四边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2)答案见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由抛物线定义知，点到抛物线的准线的距离为5.‎ ‎∵抛物线的准线为，∴，‎ 解得，∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由已知得，直线.‎ 由 消去得， ‎ 这时， 恒成立， .‎ 同理，直线，由 消去得， ‎ 由得， ，‎ 又∵直线间的距离，‎ 则四边形的面积.‎ 解方程得， 有唯一实数解2 (满足大于1)，‎ ‎∴满足条件的的值为.‎ ‎21.已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且．‎ ‎（1）求证：点共线；‎ ‎（2）若，当时，求动点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设，则，‎ 因为，所以，又，所以 因为，，‎ 且，‎ 所以，又都过点，所以三点共线．‎ ‎（2）由题意知，点是直角三角形斜边上的垂足，又定点在直线上，，所以设动点，则，‎ 又，所以，即 动点的轨迹方程为．‎ ‎22．【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点， 分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) （2）当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，易知，结合椭圆过点，可得椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在.设直线方程为， .联立直线方程与椭圆方程有.直线与椭圆交于不同的两点，则， ，由弦长公式可得，而点到直线的距离，据此可得面积函数.换元令， ，结合二次函数的性质可得当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.‎ ‎ ‎ ‎（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.‎ 设直线的斜率为，则直线，设.‎ 由消去得， .‎ 由得，从而，‎ ‎∴.‎ ‎∵点到直线的距离，‎ ‎∴的面积为.‎ 令，则，‎ ‎∴ ，‎ 当即时， 有最大值， ，此时.‎ 所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎