2020年高中数学第一章常用逻辑用语1

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2020年高中数学第一章常用逻辑用语1

‎1.4 全称量词与存在量词 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-‎1”‎的否定是(  )‎ A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1‎ B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1‎ C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1‎ D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1‎ 解析:改变原命题中的三个地方即可得其否定, “∃”改为“∀”,x0改为x,否定结论,即ln x≠x-1.‎ 答案:A ‎2.下列语句是真命题的是(  )‎ A.所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立 B.存在一个实数x使不等式x2-3x+6<0成立 C.存在一条直线与两个相交平面都垂直 D.有一条直线和两个相交平面都垂直 解析:Δ<0,x2-3x+6>0对x∈R恒成立,故排除B;假设存在这样的直线与两个相交平面垂直,则两个平面必平行,故排除C、D.‎ 答案:A ‎3.下列四个命题中的真命题为(  )‎ A.若sin A=sin B,则A=B B.∀x∈R,都有x2+1>0‎ C.若lg x2=0,则x=1‎ D.∃x0∈Z,使1<4x0<3‎ 解析:A中,若sin A=sin B,不一定有A=B,故A为假命题;B显然是真命题;C中,若lg x2=0,则x2=1,解得x=±1,故C为假命题;D中,解1<4x<3得0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;‎ ‎③∃x0∈N,使x≤x0;④∃x0∈N+,使x0为29的约数.其中真命题的个数为(  )‎ A.1 B. ‎2 C.3 D.4‎ 解析:对于①,这是全称命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;‎ 4‎ 对于②,这是全称命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;‎ 对于③,这是特称命题,当x0=0或x0=1时,有x≤x0成立,故③为真命题;‎ 对于④,这是特称命题,当x0=1时,x0为29的约数成立,所以④为真命题.‎ 答案:C ‎5.下列说法正确的是(  )‎ A.命题“若x2=1,则x=‎1”‎的否命题为:“若x2=1,则x≠‎‎1”‎ B.若命题p:∃x∈R,x2-2x-1>0,则命题綈p:∀x∈R,x2-2x-1<0‎ C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题 D.“x=-‎1”‎是“x2-5x-6=‎0”‎的必要不充分条件 解析:选项A,否命题为“若x2≠1,则x≠‎1”‎;选项B,命题綈p:“∀x∈R,‎ x2-2x-1≤‎0”‎;选项D,“x=-‎1”‎是“x2-5x-6=‎0”‎的充分不必要条件,故选C.‎ 答案:C ‎6.“存在一个实数x0,使sin x0>cos x‎0”‎的否定为________.‎ 答案:∀x∈R,sin x≤cos x ‎7.若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题,则a的取值范围是________.‎ 解析:由题意知当x>3,有x>a恒成立,则a≤3.‎ 答案:(-∞,3]‎ ‎8.若“∀x∈[0,],tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 解析:原命题等价于tan x≤m在区间[0,]上恒成立,即y=tan x在[0,]上的最大值小于或等于m,又y=tan x在[0,]上的最大值为1,所以m≥1,即m的最小值为1.‎ 答案:1‎ ‎9.用“∀”“∃”写出下列命题的否定,并判断真假:‎ ‎(1)二次函数的图象是抛物线;‎ ‎(2)直角坐标系中,直线是一次函数的图象;‎ ‎(3)有些四边形存在外接圆;‎ ‎(4)∃a,b∈R,方程ax+b=0无解.‎ 解析:(1)∃f(x)∈{二次函数},f(x)的图象不是抛物线.它是假命题.‎ ‎(2)在直角坐标系中,∃l∈{直线},l不是一次函数的图象.它是真命题.‎ ‎(3)∀x∈{四边形},x不存在外接圆.它是假命题.‎ ‎(4)∀a,b∈R,方程ax+b=0至少有一解.它是假命题.‎ ‎10.已知命题p:“至少存在一个实数x0∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a>0成立”为真,试求参数a的取值范围.‎ 4‎ 解析:法一 由题意知:x2+2ax+2-a>0在[1,2]上有解,令f(x)=x2+2ax+2-a,则只需f(1)>0或f(2)>0,即1+‎2a+2-a>0,或4+‎4a+2-a>0.‎ 整理得a>-3或a>-2.‎ 即a>-3.故参数a的取值范围为(-3,+∞).‎ 法二 綈p:∀x∈[1,2],x2+2ax+2-a>0无解,‎ 令f(x)=x2+2ax+2-a,‎ 则即 解得a≤-3.‎ 故命题p中,a>-3.‎ 即参数a的取值范围为(-3,+∞).‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(  )‎ A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0‎ C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,使>2‎ 解析:A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.‎ 答案:B ‎2.已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+<0;命题q:∃x0∈R,sin x0-cos x0=,则下列判断正确的是(  )‎ A.p是真命题 B.q是假命题 C.綈p是假命题 D.綈q是假命题 解析:p:2x2+2x+=2=22≥0,‎ ‎∴p为假命题,綈p为真命题.‎ q:sin x0-cos x0=sin ,‎ ‎∴x0=π时成立.‎ 故而q为真,而綈q为假命题.‎ 答案:D 4‎ ‎3.若命题∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则a的取值范围是________.‎ 解析:只需(a+2)x2+4x+a-1≥0恒成立,借助二次函数图象可知只需 解得a≥2.‎ 答案:[2,+∞)‎ ‎4.已知命题p:对∀x∈R,∃m0∈R,使4x+2xm0+1=0.若命题綈p是假命题,则实数m0的取值范围是________.‎ 解析:由题意m0=-≤-=-2(x∈R).‎ 答案:(-∞,-2]‎ ‎5.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ 解析:由“p且q”为真命题,则p,q都是真命题.‎ p:x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,‎ 所以命题p:a≤1;‎ q:设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,‎ 只需Δ=‎4a2-4(2-a)≥0,‎ 即a2+a-2≥0⇒a≥1或a≤-2.‎ 所以命题q:a≥1或a≤-2.‎ 由得a=1或a≤-2,‎ ‎∴实数a的取值范围是a=1或a≤-2.‎ ‎6.q:函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0,求实数p的取值范围.‎ 解析:綈q:已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上不存在一个实数c,使得f(c)>0,即∀c∈[-1,1],f(c)≤0,‎ ‎∴ 即 ‎∴ 即p≤-3或p≥.‎ 故q为真时的p的取值范围是-3
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