2020年高中数学第一章解三角形1

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2020年高中数学第一章解三角形1

第2课时 高度、角度问题 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.某次测量中,甲在乙的北偏东55°,则乙在甲的(  )‎ A.北偏西35°      B.北偏东55°‎ C.南偏西35° D.南偏西55°‎ 解析:如图可知,D项正确.‎ 答案:D ‎2.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km,灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为(  )‎ A.a km        B.a km C.a km D. ‎2a km 解析:∵∠ACB=120°, AC=BC=a,‎ ‎∴由余弦定理知 AB=a.‎ 答案:B ‎3.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B处,测得塔顶仰角为45°,A,B间距离是‎35 m,则此电视塔的高度是(  )‎ A.‎5 m B.‎‎10 m C. m D.‎‎35 m 解析:作出示意图,设塔高OC为h m.‎ 在△OAC中,OA==h,‎ OB=h.AB=35,∠AOB=150°,‎ 由余弦定理求得h=5.‎ 答案:A ‎4.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=‎100米,点C位于BD上,则山高AB等于(  )‎ 7‎ A.‎100米         B.‎50 米 C.‎50‎米 D.50(+1)米 解析:在△ACD中,CD=‎100米,∠D=30°,∠DAC=∠ACB-∠D=45°-30°=15°,∴=.‎ ‎∴AC===.‎ 在△ABC中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,AC=米,∴AB=ACsin 45°==50(+1)米.‎ 答案:D ‎5.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这只船的速度是(  )‎ A.15海里/时 B.5海里/时 C.10海里/时 D.20海里/时 解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是10海里/时.‎ 答案:C ‎6.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走‎10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.‎ 解析:在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,由正弦定理得=,则BC==10.在Rt△ABC中,tan 60°=,‎ 所以AB=BCtan 60°=10.‎ 答案:10 ‎7.如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α=30°,测得乙楼底部D的俯角 7‎ β=60°,已知甲楼高AB=‎24米,则乙楼高CD=________米.‎ 解析:ED=AB=‎24米,在△ACD中,∠CAD=α+β=30°+60°=90°,AE⊥CD,DE=‎24 米,‎ 则AD===16(米),‎ 则CD====32 (米).‎ 答案:32‎ ‎8.在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡角为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为‎10‎m,则旗杆的高度为________m.‎ 解析:如图,设旗杆高为h,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC==h.在△ABC中,AB=‎10 m,∠CAB=45°,∠ABC=105°,∴∠ACB=30°,由正弦定理,得=,故h=‎30 m.‎ 答案:30‎ ‎9.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进‎100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=‎50 m,山坡对于地平面的坡角为θ,求cos θ的值.‎ 解析:在△ABC中,由正弦定理可知,‎ BC===50(-).‎ 在△BCD中,sin∠BDC= 7‎ ‎==-1.‎ 由题图,知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1.‎ ‎10.甲船在A处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距10海里,乙船向正北行驶,设甲船的速度是乙船的倍,问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?‎ 解析:设AB=10海里,两船在C处相遇,‎ ‎∠CAB=θ,乙船行驶了x海里,则AC= x海里.‎ 由题意,知∠ABC=180°-60°=120°.‎ 在△ABC中,由正弦定理,得 sin θ==,‎ ‎∴θ=30°或θ=150°.‎ 由题意知θ=30°.‎ ‎∴∠ACB=180°-(∠ABC+θ)=180°-(120°+30°)=30°,‎ ‎∴BC=AB=‎10海里,60°-θ=60°-30°=30°.‎ 故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船,此时,乙船已行驶了‎10海里.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A沿北偏东30°方向前进‎100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(  )‎ A.‎50 m B.‎‎100 m C.‎120 m D.‎‎150 m 解析:设水柱高度是h,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是‎50 m.‎ 答案:A ‎2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是‎60 m,则河流的宽度BC等于(  )‎ A.240(-1)m     B.180(-1)m C.120(-1)m D.30(+1)m 7‎ 解析: ∵tan 15°=tan(60°-45°)==2-,‎ ‎∴BC=60tan 60°-60tan 15°=120(-1)(m),故选C.‎ 答案:C ‎3.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=‎100 m,则山高MN=________m.‎ 解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=‎100 m,所以AC=‎100m.‎ 在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,‎ 由正弦定理得,=,因此AM=‎100m.‎ 在Rt△MNA中,AM=‎100 m,∠MAN=60°,‎ 由=sin 60°得MN=100×=150(m).‎ 答案:150‎ ‎4.(2015·高考湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶‎600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=____________m.‎ 解析:依题意,∠BAC=30°,∠ABC=105°,在△ABC中,由∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°,因为AB=600,‎ 由正弦定理可得=,即BC=‎300m,‎ 在Rt△BCD中,因为∠CBD=30°,BC=300.‎ 所以tan 30°==,所以CD=‎100m.‎ 答案:100 ‎5.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C 7‎ 处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=‎60 m,求建筑物的高度.‎ 解析:设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,‎ ‎∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,‎ 得cos∠PBA=,①‎ cos∠PBC=.②‎ ‎∵∠PBA+∠PBC=180°,‎ ‎∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③‎ 由①②③,解得h=30(m)或h=-30(m)(舍去),即建筑物的高度为‎30 m.‎ ‎6.海岛O上有一座海拔‎1 km的小山,山顶设有一观察站A,上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处,俯角为30°,11时10分,又测得该船在岛的北偏西60°的B处,俯角为60°.‎ ‎(1)求该船的速度;‎ ‎(2)若此船以不变的船速继续前进,则它何时到达岛的正西方向?此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米?‎ 解析:(1)如图,在Rt△AOB和Rt△AOC中,‎ OB=OAcot 60°=,‎ OC=OAcot 30°=.‎ 在△BOC中,由余弦定理得 BC=‎ =,‎ ‎∵由C到B用的时间为=(h),‎ ‎∴该船的速度为=2(km/h).‎ ‎(2)在△OBC中,由余弦定理,得 cos∠OBC==,‎ ‎∴sin∠OBC==,‎ 7‎ ‎∴sin∠OEB=sin(∠OBE+∠EOB)‎ ‎=sin∠OBE·cos∠EOB+cos∠OBE·sin∠EOB=,‎ 在△BEO中,由正弦定理得 OE==.‎ BE==,‎ ‎∴从B到E所需时间为=(h),即所需时间为5 min.‎ 即该船于11时15分到达岛的正西方向,此时E离海岛O的距离是‎1.5 km.‎ 7‎
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