2020高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教A版选修1-2

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2020高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教A版选修1-2

1 章末综合测评(二) 推理与证明 (时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.根据偶函数定义可推得“函数 f(x)=x2 在 R 上是偶函数”的推理过程是( ) A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.非以上答案 C [根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理,故选 C.] 2.在△ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,则有 EF∥BC,这个问题的大前提为( ) 【导学号:48662104】 A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF 为中位线 D.EF∥BC A [这个三段论推理的形式为:大前提:三角形的中位线平行于第三边;小前提:EF 为△ABC 的中位线;结论:EF∥BC.] 3.在△ABC 中,tan A·tanB>1,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 A [∵tan A·tanB>1,∴A,B 只能都是锐角, ∴tan A>0,tanB>0,1-tan A·tanB<0. ∴tan (A+B)= tan A+tan B 1-tan A·tan B <0. ∴A+B 是钝角.∴角 C 为锐角.故选 A.] 4.下列推理正确的是( ) A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin (x+y)类比,则有 sin (x+y)=sin x+sin y C.把 a(b+c)与 ax+y 类比,则有 ax+y=ax+ay D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有(xy)z=x(yz) D [(xy)z=x(yz)是乘法的结合律,正确.] 5.已知 a+b+c=0,则 ab+bc+ca 的值( ) 【导学号:48662105】 A.大于 0 B.小于 0 C.不小于 0 D.不大于 0 2 D [因为 a+b+c=0, 所以 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0, 所以 ab+bc+ca=-a2+b2+c2 2 ≤0.故选 D.] 6.对“a,b,c 是不全相等的正数”,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a=b 与 b=c 及 a=c 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 B [若(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则 a=b=c,与“a,b,c 是不全相等的正数” 矛盾,故①正确.a=b 与 b=c 及 a=c 中最多只能有一个成立,故②不正确.由于“a,b, c 是不全相等的正数”,有两种情形:至多有两个数相等或三个数都互不相等,故③不正确.] 7.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但 形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有( ) 【导学号:48662106】 ①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 C [类比相似形中的对应边成比例知,①③属于相似体.] 8.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10 +b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 C [利用归纳法,a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7 +4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29 =76,a10+b10=76+47=123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.] 9.对任意的锐角α,β,下列不等式中正确的是( ) 【导学号:48662107】 A.sin (α+β)>sin α+sin β B.sin (α+β)>cos α+cos β C.cos (α+β)>sin α+sin β D.cos (α+β)<cos α+cos β 3 D [因为α,β为锐角,所以 0<α<α+β<π,所以 cos α>cos(α+β).又 cos β>0,所以 cos α+cos β>cos(α+β).] 10.在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19 且 n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若 b11=1,则有( ) A.b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b19-n B.b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b21-n C.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n D.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b21-n B [令 n=10 时,验证即知选 B.] 11.将石子摆成如图 1 的梯形形状.称数列 5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的 构成,此数列的第 2 018 项与 5 的差,即 a2 018-5=( ) 图 1 A.2023×2018 B.2023×2017 C.1012×2016 D.1012×2017 D [an-5 表示第 n 个梯形有 n-1 层点,最上面一层为 4 个,最下面一层为 n+2 个. ∴an-5= n-1 n+6 2 ,∴a2 018-5=2 017×2 024 2 =2 017×1 012.] 12.如图 2 中(1),在△ABC 中,AB⊥AC 于点 A,AD⊥BC 于点 D,则有 AB2=BD·BC,类 似地有命题:如图(2),在三棱锥 A-BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 在△BCD 内的射影为 O,则 S2 △ABC=S△BCO·S△BCD,那么上述命题( ) 【导学号:48662108】 图 2 A.是真命题 B.增加条件“AB⊥AC”后才是真命题 C.是假命题 D.增加条件“三棱锥 A-BCD 是正三棱锥”后才是真命题 A [由已知垂直关系,不妨进行如下类比:将题图(2)中的△ABC,△BCO,△BDC 分别 与题图(1)中的 AB,BD,BC 进行类比即可.严格推理如下:连结 DO 并延长交 BC 于点 E,连 4 结 AE(图略),则 DE⊥BC,AE⊥BC.因为 AD⊥面 ABC,所以 AD⊥AE.又因为 AO⊥DE,所以 AE2 =EO·ED,所以 S2 △ABC=(1 2 BC·EA)2=1 2 (BC·EO)·1 2 (BC·ED)=S△BCO·S△BCD.故选 A.] 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知 x,y∈R,且 x+y>2,则 x,y 中至少有一个大于 1,在用反证法证明时,假 设应为________. x,y 均不大于 1(或者 x≤1 且 y≤1) [“至少有一个”的反面为“一个也没有”,即 “x,y 均不大于 1”,亦即“x≤1 且 y≤1”.] 14.当 n=1 时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当 n=2 时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3, 当 n=3 时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当 n∈N*时,你能得到的结论是________. 【导学号:48662109】 (a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1 [根据题意,由于当 n=1 时,有(a-b)(a +b)=a2-b2,当 n=2 时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当 n=3 时,有(a-b)(a3+a2b +ab2+b3)=a4-b4,当 n∈N*时,左边第二个因式可知为 an+an-1b+…+abn-1+bn,那么对 应的表达式为(a-b)·(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1-bn+1.] 15.有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲 看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上 的数字是________. 1 和 3 [法一:由题意得丙的卡片上的数字不是 2 和 3. 若丙的卡片上的数字是 1 和 2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3,则甲的卡 片上的数字是 1 和 3,满足题意; 若丙的卡片上的数字是 1 和 3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3,则甲的卡 片上的数字是 1 和 2,不满足甲的说法. 故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 法二:因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2,所以丙的卡片上必有数字 2.又丙的卡片 上的数字之和不是 5,所以丙的卡片上的数字是 1 和 2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是 1,所以乙的卡片上的数字是 2 和 3,所以甲的卡片上的数字是 1 和 3.] 16.现有一个关于平面图形的命题:同一平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个 的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为a2 4 .类比到空间,有两个棱 长为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ________. 【导学号:48662110】 5 a3 8 [解法的类比(特殊化),易得两个正方体重叠部分的体积为a3 8 .] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)用综合法或分析法证明: (1)如果 a,b>0,则 lg a+b 2 ≥lg a+lg b 2 ; (2) 6+ 10>2 3+2. [证明] (1)当 a,b>0 时,有a+b 2 ≥ ab, ∴lg a+b 2 ≥lg ab, ∴lg a+b 2 ≥1 2 lg ab=lg a+lg b 2 . (2)要证 6+ 10>2 3+2, 只要证( 6+ 10)2>(2 3+2)2, 即 2 60>2 48,这是显然成立的, 所以,原不等式成立. 18.(本小题满分 12 分)下列推理是否正确?若不正确,指出错误之处. (1)求证:四边形的内角和等于 360°. 证明:设四边形 ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=90° +90°+90°+90°=360°,所以四边形的内角和为 360°. (2)已知 2和 3都是无理数,试证: 2+ 3也是无理数. 证明:依题设 2和 3都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以 2+ 3必是 无理数. (3)已知实数 m 满足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反证法证明:关于 x 的方程 x2+2x+5 -m2=0 无实根. 证明:假设方程 x2+2x+5-m2=0 有实根.由已知实数 m 满足不等式(2m+1)(m+2)<0, 解得-2<m<-1 2 ,而关于 x 的方程 x2+2x+5-m2=0 的判别式Δ=4(m2-4),∵-21). (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 【导学号:48662112】 [证明] (1)法一:任取 x1、x2∈(-1,+∞),不妨设 x10,ax2-x1>1 且 ax1>0, ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0, 又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴x2-2 x2+1 -x1-2 x1+1 = x2-2 x1+1 - x1-2 x2+1 x1+1 x2+1 8 = 3 x2-x1 x1+1 x2+1 >0, 于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+x2-2 x2+1 -x1-2 x1+1 >0, 故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 法二:f′(x)=axln a+x+1- x-2 x+1 2 =axln a+ 3 x+1 2 ∵a>1,∴ln a>0,∴axln a+ 3 x+1 2>0, f′(x)>0 在(-1,+∞)上恒成立, 即 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, 则 ax0=-x0-2 x0+1 ,且 0b>0)与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是 椭圆 C 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别与 y 轴交于点 M、N,求证:AN→·BM→为定 值 b2-a2. (2)类比(1)可得如下真命题:双曲线x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0)与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是双曲线 C 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别与 y 轴交于点 M、N,求证:AN→·BM→为 定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程). 【导学号:48662113】 [解] (1)证明如下:设点 P(x0,y0),(x0≠±a). 依题意,得 A(-a,0),B(a,0), 所以直线 PA 的方程为 y= y0 x0+a (x+a), 令 x=0,得 yM= ay0 x0+a .同理得 yN=- ay0 x0-a . 所以 yMyN= a2y2 0 a2-x2 0 . 又点 P(x0,y0)在椭圆上,所以x2 0 a2+y2 0 b2=1, 9 因此 y2 0=b2 a2(a2-x2 0). 所以 yMyN= a2y2 0 a2-x2 0 =b2. 因为AN → ={a,yN},BM → =(-a,yM), 所以AN → ·BM → =-a2+yMyN=b2-a2. (2)-(a2+b2).
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