高二数学上学期第一次联考（10月）试题 文（含解析）

高二数学上学期第一次联考（10月）试题 文（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学上学期第一次联考（10月）试题 文（含解析）‎ 高二数学（文科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知角α的终边过点P（3a，4a），且a<0，那么cosα等于（ ）‎ A. - B. C. - D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，选C.‎ ‎2. 已知向量=（sinα，cosα），=（cosβ，sinβ），且∥，若α，β[0,]，则α＋β=（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量平行可得，即 ，选B.‎ ‎3. 已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a5·a9=-8，b2+b5+b8=6，则的值是（ ）‎ A. B. C. - D. -‎ ‎【答案】C - 14 - / 14‎ ‎【解析】由题意得a1·a5·a9=，b2+b5+b8=，所以=，选C.‎ ‎4. 若向量=（1，x），=（2x+3，-x）互相垂直，其中xR，则等于（ ）‎ A. -2或0 B. 2 C. 2或-2 D. 2或10‎ ‎【答案】D ‎【解析】同两向量垂直可得或x=-1,当x=3时=，当x=-1时，=，选D.‎ ‎5. 已知α（-，0）且sin2α=-，则sinα+cosα=（ ）‎ A. B. - C. - D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,又α（-，0），所以，且，，所以 ‎，选A.‎ ‎6. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0的n的最大值为（ ）‎ A. 11 B. 12 C. 21 D. 22‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减，d<0.所以 ‎，所以，所以n=21,选C.‎ ‎8. 不解三角形，确定下列判断中正确的是（ ）‎ A. b=9，c=10，B=60°，无解 B. a=7，b=14，A=30°，有两解 C. a=6，b=9，A=45°，有两解 D. a=30，b=25，A=150°，有一解 ‎【答案】D ‎【解析】A选项，两解，错。B选项，，一解，错。 C选项，，一解，错。D.选项，A为钝角，，一解，正确，选D.‎ ‎9. 已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，所以 ，又，所以 ，选B.‎ - 14 - / 14‎ ‎【点睛】‎ 求平面向量夹角公式：，若，则 ‎10. 函数f（x）=Asin（）（A>0，>0,0<<）的图象如图所示，则下列有关 f（x）性质的描述正确的是（ ）‎ A. =‎ B. x=，kZ为其所有对称轴 C. ，kZ为其减区间 D. f（x）向左移可变为偶函数 ‎【答案】D ‎【解析】由图可知，A=1,，又，又0<<，所以，‎ ‎，。所以A错， 所有对称轴为，B错。‎ 要求减区间只需，即，即减区间为，所以C错。的图像向左平移个单位得，即为偶函数，选项D对，选D.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的一些性质：‎ 单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间．‎ - 14 - / 14‎ 对称性：利用的对称中心为求解，令，求得.‎ 利用的对称轴为 ()求解，令得其对称轴．‎ ‎11. 设等比数列{an}的前项和Sn=2n-1（nN*）,则a12+a22+…+an2=（ ）‎ A. （4n-1） B. 4n-1 C. (2n-1)2 D. (2n-1)2‎ ‎【答案】A ‎...............‎ ‎【点睛】由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式。另外数列是等比数列，则均是等比数列。‎ ‎12. 给出下列语句：‎ ‎①若α、β均为第一象限角，且α>β，且sinα>sinβ；‎ ‎②若函数y=2cos的最小正周期是4，则a=；‎ ‎③函数y=的周期是；‎ ‎④函数y=sinx+sin的值域是。‎ 其中叙述正确的语句个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】①错，不符。②错。③周期是④当时，y=,错。所以选A.‎ - 14 - / 14‎ ‎【点睛】‎ ‎ ，的周期是，因为可正可负。只有当b=0时，周期才是，其余情况周期都是。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 不等式≧0的解集为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，所以解集为，填。‎ ‎14. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=，cosC=，a=1，则b=_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为cosC=，所以，因为，所以 因为， 所以，所以 ‎【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．‎ ‎（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ - 14 - / 14‎ ‎（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．‎ ‎15. 已知f（x）=sin（>0），f=f,且f（x）在区间有最小值，无最大值，则=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，第一种情况是，此种情况不满足，因为相差周期，会既有最大值也有最小值，不符。第二种情况是，‎ 又在区间有最小值，无最大值，所以，且对称轴两个数代入一定是关于最小值时的对称轴对称，即，解得 ‎，又，所以，填。‎ ‎【点睛】‎ 本题是考虑三角函数图像与性质综合，由于在区间有最小值，无最大值，且f=f，所以两个数之差一定小于周期，且两个x值一定关于最小值时的对称轴对称。‎ ‎16. 已知an=log2（1+），我们把满足a1+a2+…+an（nN*）的和为整数的数n叫做“优数”，则在区间（0,2017）内的所有“优数”的和为___________.‎ ‎【答案】2036‎ - 14 - / 14‎ ‎【解析】由题意得an=log2（1+），所以a1+a2+…+an ，要为整数，只需 所以和为，填2036‎ ‎【点睛】‎ log2（1+）可以裂项是解本题的一个关键，所以求和是一个裂项求和。‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. 设f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）<0的解集是（1,5）.‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若对于任意x ，不等式f（x）≦2+t有解，求实数t的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由不等式解集与方程关系可知，1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数关系可求得b,c.(2)由（1）得，所以分离参数得2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，即t≥，x 。‎ 试题解析：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（1，5）， ‎ ‎∴2x2+bx+c＜0的解集是（1，5），‎ ‎∴1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，‎ 由根与系数的关系知， ‎ - 14 - / 14‎ 解得b=-12，c=10，∴ ‎ ‎（2）不等式f（x）≤2+t 在[1，3]有解，‎ 等价于2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，‎ 只要t≥即可， ‎ 不妨设g（x）=2x2-12x+8，x∈[1，3]， ‎ 则g（x）在[1，3]上单调递减 ‎∴g（x）≥g（3）=-10，‎ ‎∴t≥-10，∴t的取值范围为[-10，+）‎ ‎【点睛】‎ 不等式存在性问题与恒成立问题一般都是转化函数最值问题，特别是能参变分离时，且运算不复杂，优先考虑参变分离，进而求不带参数的函数在区间上的最值问题。‎ ‎18. 已知向量=（cos，sin），=（cos，-sin），且x 。‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）当 （0,1）时，若f（x）=- 的最小值为-，求实数的值。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析:（1），‎ ‎∵，‎ ‎∴ .‎ ‎∵，∴，因此.‎ ‎（2）由（1）知，∴，‎ - 14 - / 14‎ ‎∵，当时，有最小值，解得.‎ 综上可得：‎ ‎【点睛】‎ 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法 ‎（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；‎ ‎（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；‎ ‎（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ 本题属于题型（2）。‎ ‎19. 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n（nN*）。‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析;(1)由前n项和与项的关系，可求得。（2）由（1），==‎ 所以由错位相减法可求得,‎ 试题解析;（1）解:因为 ‎ 当时，‎ 当n≥2时, ==‎ - 14 - / 14‎ 又因为也符合上式，‎ ‎ 所以，nϵ．‎ ‎（2）因为==‎ 所以　　　①‎ ‎　　　②‎ ‎①－②得，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】‎ 当数列通项形式为，且数列{}是等差数列，数列是等比数列，则数列的前n项和，我们常采用错位相减法。‎ ‎20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且△ABC的面积为。‎ ‎（1）若b=，求a+c的值；‎ ‎（2）求2sinA-sinC的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得，再由B角的余弦定理，可求。（2）己知角, 所以统一成角C,化成关于角C的三角函数，注意角C的范围。‎ 试题解析：（1）由得，①‎ 由得，②‎ 由①②得，， ‎ - 14 - / 14‎ 又b= 则3=-3ac，a+c=‎ ‎（2）由（1）知 因为，所以，‎ 所以的取值范围是 ‎【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ ‎21. 已知数列{an}的前项和为Sn，a1=，Sn=n2an-n（n-1），nN*。‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设bn=，证明：数列{bn}的前n项和Tn<1.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）统一成，得（n2-1）Sn=n2Sn-1+n（n-1），两边同时除以，可证。（2）由（1）得，bn==，裂项求和，可证。‎ 试题解析：（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn，‎ ‎∴n≥2时，有an=Sn-Sn-1， ∴Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1）， ‎ ‎∴（n2-1）Sn=n2Sn-1+n（n-1）， ‎ 又 - 14 - / 14‎ ‎∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.‎ ‎（2）结合（1）知=1+（n-1）×1=n， ‎ ‎∴Sn= =，bn=== ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】当数列的递推关系是关于形式时，我们常采用公式，统一成或统一成做。由于本题第一问证明与有关，所以考虑统一成。‎ ‎22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足。‎ ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若sin（B+C）=6cosBsinC，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由切化弦及正弦定理化角，可得。（2）由，，再由正弦定理化为cosB,结合角B的余弦定理化边可求。‎ 试题解析：（1）由 ‎ 结合正弦定理得，‎ 又 ‎ 即 ‎ 又 ‎（2）由（1）知 ‎ ‎①又由得 ‎ - 14 - / 14‎ ‎ ② ‎ 由①②得 ， 即 解得 ‎【点睛】（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．‎ ‎（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．‎ - 14 - / 14‎