2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设S={x|2x+1>0}，T={x|3x-5<0}，则S∩T=( )
A.⌀ B.{x|x<-12} C.{x|x>53} D.{x|-12
0 表示的平面区域内的点是（ ）
A.(0, 2) B.(-2, 0) C.(0, -2) D.(2, 0)
7. 如图，正棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
A.15 B.25 C.35 D.45
8. 设a>1，函数f(x)=logax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为12，则a=( )
A.2 B.2 C.22 D.4
9. f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（ ）
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
10. 函数y=2cos2x的一个单调增区间是（ ）
A.(-π4，π4) B.(0,π2) C.(π4，3π4) D.(π2，π)
11. 曲线y=13x3+x在点(1,43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.29 B.19 C.13 D.23
12. 抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）
A.4 B.33 C.43 D.8
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
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492
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500
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499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g∼501.5g之间的概率约为________．
14. 函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称，则f(x)=________．
15. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．
16. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为
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________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
17. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.
(1)求B的大小；
(2)若a=33，c=5，求b．
18. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（1）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（2）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．
19. 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45∘，AB=2，BC=22，SA=SB=3．
(I)证明：SA⊥BC；
(II)求直线SD与平面SBC所成角的大小．
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20. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0, 3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
21. 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．
(1)求{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn．
22. 已知椭圆x23+y22=1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P
（1）设P点的坐标为(x0, y0)，证明：x023+y022<1；
（2）求四边形ABCD的面积的最小值．
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参考答案与试题解析
2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.B
3.A
4.A
5.C
6.C
7.D
8.D
9.B
10.D
11.B
12.C
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13.0.25
14.3x(x∈R)
15.4π3
16.13
三、解答题（共6小题，满分80分）
17.解：(1)由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，
由△ABC为锐角三角形得B=π6．
(2)根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=27+25-45=7．
所以，b=7．
18.解：（1）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，
则A¯表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．
P(A¯)=(1-0.6)3=0.064，P(A)=1-P(A¯)=1-0.064=0.936．
（2）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．
B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．
B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．
则B=B0+B1．P(B0)=0.63=0.216，
P(B1)=C31×0.62×0.4=0.432．
P(B)=P(B0+B1)=P(B0)+P(B1)=0.216+0.432=0.648．
19.解法一：(1)作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45∘，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂线定理，得SA⊥BC．
(II)由(I)知SA⊥BC，
依题设AD // BC，
故SA⊥AD，由AD=BC=22，SA=3，SD=AD2+SA2=11．
又AO=ABsin45∘=2，作DE⊥BC，垂足为E，
则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．sin∠ESD=EDSD=AOSD=211=2211
所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin2211．
解法二：
(I)作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，
由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
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因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45∘，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，
因为AO=BO=22AB=2，SO=SB2-BO2=1，
又BC=22，所以A(2，0，0)，B(0,2，0)，C(0,-2，0)．S(0, 0, 1)，SA→=(2,0,-1)，CB→=(0,22,0)，SA→⋅CB→=0，所以SA⊥BC．
(II)SD→=SA→+AD→=SA→-CB→=(2,-22,-1)，OA→=(2,0,0).OA→与SD→的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为OA→为平面SBC的法向量，所以α与β互余．cosα=|OA→|⋅|SD→|˙=2211，sinβ=2211，
所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin2211．
20.解：(1)f'(x)=6x2+6ax+3b，
因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值，
则有f'(1)=0，f'(2)=0．
即6+6a+3b=0，24+12a+3b=0，
解得a=-3，b=4．
(2)由(1)可知，f(x)=2x3-9x2+12x+8c，f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)．
当x∈[0, 1)时，f'(x)>0；
当x∈[1, 2]时，f'(x)<0；
当x∈(2, 3]时，f'(x)>0．
所以，当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=5+8c，
又f(0)=8c，f(3)=9+8c．
则当x∈[0, 3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c．
因为对于任意的x∈[0, 3]，有f(x)<c2恒成立，
所以9+8c<c2，
解得c<-1或c>9，
因此c的取值范围为(-∞, -1)∪(9, +∞)．
21.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则依题意有q>0且1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,
解得d=2，q=2.
所以an=1+(n-1)d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．
(2)由题意得，anbn=2n-12n-1，
Sn=1+321+522+⋯+2n-32n-2+2n-12n-1，①
12Sn=12+322+523+⋯+2n-32n-1+2n-12n，②
①-②得12Sn=1+2(12+122+...+12n-1)-2n-12n，
则Sn=2+2+22+222+⋯+22n-2-2n-12n-1
=2+2×(1+12+122+⋯+12n-2)-2n-12n-1
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=2+2×1-12n-11-12-2n-12n-1
=6-2n+32n-1．
∴ Sn=6-2n+32n-1.
22.证明：（1）椭圆的半焦距c=3-2=1，
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，
所以，x023+y022≤x022+y022=12<1．
(2)(I)当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k(x+1)，
代入椭圆方程x23+y22=1，并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0．
设B(x1, y1)，D(x2, y2)，则x1+x2=-6k23k2+2，x1x2=3k2-63k2+2
|BD|=1+k2⋅|x1-x2|=(1+k2)⋅[(x1+x2)2-4x1x2]=43(k2+1)3k2+2；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为-1k，
所以，|AC|=43(1k2+1)3×1k2+2=43(k2+1)2k2+3．
四边形ABCD的面积S=12⋅|BD||AC|=24(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)≥24(k2+1)2[(3k2+2)+(2k2+3)2]2=9625．
当k2=1时，上式取等号．
（2）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625．
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