2018-2019学年安徽省合肥一六八中学高二（凌志班）下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年安徽省合肥一六八中学高二（凌志班）下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省合肥一六八中学2018-2019高二（凌志班)下学期期中考试数学（理)试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为代数形式，再根据复数几何意义确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为,对应点为，在第四象限，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数除法运算以及几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点”，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点，所以大前提错误 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三段论以及命题的真假，属于基础题.‎ ‎3．函数的单调递减区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果.‎ 详解：因为 ，所以 因此单调递减区间为（0,1），‎ 选B.‎ 点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.‎ ‎4．由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )‎ A．6 B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求可积区间，再根据定积分求面积.‎ ‎【详解】‎ 由,得交点为，‎ 所以所求面积为，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.‎ ‎5．利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应増乘的因式是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“”变到“”变化规律确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为时，左边为,时左边为,因此应増乘的因式是，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数学归纳法，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎6．给出一个命题 ：若 ，，，且 ，则 ，，， 中至少有一个小于零．在用反证法证明 时，应该假设 ( )‎ A．，，， 中至少有一个正数 B．，，， 全为正数 C．，，， 全都大于或等于 D．，，， 中至多有一个负数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否定结论得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，， 中至少有一个小于零的否定为，，， 全都大于或等于 ，所以选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基本题.‎ ‎7．三角形的面积为，（为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )‎ A．（为底面边长）‎ B．（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）‎ C．（为底面面积，为四面体的高）‎ D．（为底面边长，为四面体的高）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据类比规则求解.‎ ‎【详解】‎ 平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化，‎ 因此四面体的体积为（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径），选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题.‎ ‎8．已知函数，则（ ）‎ A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 ‎【答案】C ‎【解析】在单调递增 , 在单调递减,所以A,B错， ，所以的图象关于直线对称；所以C对，D错，因此选C.‎ ‎9．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ f′（x）=+2ax，‎ 若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，‎ 则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，‎ 故a＞﹣，有解； ‎ 令g（x）=﹣，‎ ‎∵g（x）=﹣在（，2）递增，‎ ‎∴g（x）＞g（）=﹣2，‎ 故a＞﹣2，‎ 故答案为：D。‎ 点睛：这个题目考查的是根据不等式有解求参的问题；常用的方法有：其一可以变量分离，转化为函数最值问题；其二直接构造函数，研究函数最值，使得函数的最值大于或者小于0；其三可以转化为方程有解的问题，研究方程的解的情况。‎ ‎10．设,，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先研究函数单调性，再比较大小.‎ ‎【详解】‎ ‎,令，则 因此当时，即在上单调递减，‎ 因为，所以，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ ‎11．已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，因此由得或，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎12．关于函数，下列说法错误的是 A．是的最小值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个不相等的正实数，若，则 ‎【答案】C ‎【解析】,∴(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增，‎ ‎∴x=2是f(x)的极小值点，即A正确；‎ ‎,∴,‎ 函数在(0,+∞)上单调递减,x→0,y→+∞,‎ ‎∴函数有且只有1个零点，即B正确；‎ ‎,可得令则，‎ 令,则,∴(0,1)上,函数单调递增,(1,+∞)上函数单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴在(0,+∞)上函数单调递减，函数无最小值，‎ ‎∴不存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立，即C不正确；‎ 对任意两个正实数,且,(0,2)上,函数单调递减,(2,+∞)上函数单调递增,若 ‎,则，正确。‎ 故选：C.‎ 点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：‎ 一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；‎ 二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分几何意义得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为表示半个单位圆（上半圆）的面积，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查定积分几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14．已知既成等差数列，又成等比数列，则的形状是_______.‎ ‎【答案】等边三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列与等比数列解得关系，进而确定形状.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，即的形状是等边三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三个数成等差数列与等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15．设为实数，若函数存在零点，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先令函数 ‎，并求出函数的定义域，对函数求导，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最小值，进一步求得结果.‎ ‎【详解】‎ 记函数，‎ 由题意得：，解得，‎ 所以函数的定义域为：，‎ 在上恒成立，‎ 所以在上是减函数，且，‎ 所以函数的值域为：，‎ 要使函数有零点，只需在函数的值域范围内即可，‎ 所以，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关将函数有零点转化为求函数的值域的问题，应用导数求得结果，属于中档题目.‎ ‎16．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，设切点分别是，所以切线方程分别为：，化简为 ‎，所以消，得 令，，所以f(x)在单调递减，，，填。‎ ‎【点睛】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是 ‎,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数．‎ ‎（1）若为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；‎ ‎（2）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1=0，求实数a的值．‎ 详解：Ⅰ若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2；‎ Ⅱ在复平面上对应的点，‎ 在直线上，则，‎ 解得．‎ 点睛：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0‎ ‎18．设数列的前项之积为，并满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：数列为等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据积项与通项关系的递推关系式，逐一代入得；（2）先归纳猜想 ‎，再根据数学归纳法证明，最后根据等差数列定义证明结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，所以,‎ 相除得,‎ 所以 ‎ ‎（2）猜测：，并用数学归纳法证明：‎ 当时，结论成立，‎ 假设当时结论成立，即,‎ 当时，,所以，‎ 综上，‎ 因此 ， ，所以数列为等差数列.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式、数学归纳法以及等差数列定义，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数与直线有三个不同交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导数，根据导函数符号确定单调区间，（2）根据三次函数图象确定有三个不同交点所需满足的条件，即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以当时，，即函数单调减区间为，增区间为和，‎ ‎（2）由三次函数图象得当时，函数与直线有三个不同交点，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．（1）设是坐标原点，且不共线，求证：；‎ ‎（2）设均为正数，且.证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据点到直线距离求高，再根据三角形面积公式的结果，（2）根据基本不等式进行论证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ B到直线OA距离为 所以 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线距离公式以及基本不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎21．已知函数 在处有极值. ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）‎ 由题意知：…………2分 令 令 的单调递增区间是 单调递减区间是（-2，0）…………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 为函数极大值，为极小值…………7分 函数在区间[-3，3]上有且公有一个零点，‎ 即…………10分 ‎，即的取值范围是…………12分 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设的两个零点是，，求证：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求函数的定义域，求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求出a=+x1+x2，问题转化为证明＞lnx1﹣lnx2，即证明＞ln（*），令=t∈（0，1），则h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，根据函数的单调性证明即可．‎ 试题解析：函数的定义域为，‎ ‎，‎ ‎①当时，，，则在上单调递增；‎ ‎②当时，时，，时，，‎ 则在上单调递增，在上单调递减.‎ 首先易知，且在上单调递增，在上单调递减，‎ 不妨设，‎ ‎，‎ 构造，‎ 又 ‎∴，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，即，‎ 又，是函数的零点且，∴‎ 而，均大于，所以，所以，得证.‎ 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎