山东省济宁市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东省济宁市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎2018级高二年级五月检测 数学试卷 一、单项选择题 ‎1. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为，选C.‎ ‎【考点】古典概型 ‎【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.‎ ‎2.已知集合，，若是充分不必要条件，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为又,所以，选A.‎ 考点：集合包含关系 ‎【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎3.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可求得，从而可求得，可求得．‎ ‎【详解】∵，令，则，‎ ‎∵，，‎ 由复合函数的导数公式得：‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的导数，掌握复合函数的导数求导法则是关键，属于中档题．‎ ‎4.我市某学校组织学生前往南京研学旅行，途中4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（ ）‎ A. 964 B. ‎1080 ‎C. 1296 D. 1152‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据题意，男生甲和乙要求站在一起，将2人看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22种情况，将这个整体与其余5人全排列，有A66种情况，‎ 则甲和乙站在一起共有A‎22A66=1440种站法，‎ 其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有A‎22A33A44=288种；‎ 则符合题意的站法共有1440﹣288=1152种；‎ 故选D．‎ 点睛：排列组合中一类典型问题：邻与不邻问题.相邻问题是“捆绳”思想，不相邻问题“插空”思想. 本题中男生甲和乙要求站在一起，这是相邻问题；3位女生不全站在一起，这是局部不相邻问题.‎ ‎5.展开式中，项的系数为（ ）‎ A. 30 B. ‎70 ‎C. 90 D. -150‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ，对于中 的系数为 ，对于中 的系数为，所以 的系数为 ．故选B．‎ ‎6.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.‎ ‎【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有种，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.‎ ‎7.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 (    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，恰好两件都是次品，共有 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有 种不同的取法，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有 种不同的取法，‎ 恰好两件都是次品，共有 种不同的取法，‎ 恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有 种不同的取法，‎ 所以至少取到1件次品的概率为，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为(　　)‎ A. 0.85 B. 0.819 ‎2 ‎C. 0.8 D. 0.75‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率 二、不定项选择题 ‎9.如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎（1）函数在区间内单调递增；‎ ‎（2）当时，函数有极小值；‎ ‎（3）函数在区间内单调递增；‎ ‎（4）当时，函数有极小值．‎ 则上述判断中错误的是（ ）‎ A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数与原函数的关系分别对（1）（2）（3）（4）进行逐一判定即可．‎ ‎【详解】对于（1），函数在区间内有增有减，故（1）不正确；‎ 对于（2），由图知当时，；当时，，故当时，函数有极小值，故（2）正确；‎ 对于（3），当时，恒有，则函数在区间内单调递增，故（3）正确；‎ 对于（4），当时，，故（4）不正确．‎ 故选：AD．‎ ‎【点睛】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性以及极值问题，属于易错题．‎ ‎10.设离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）‎ A. B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值.‎ ‎【详解】因为，所以，故A正确；‎ 又，‎ ‎，故C正确；因为，所以，，故D正确.‎ 故选ACD.‎ ‎【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，.‎ ‎11.如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( )‎ A. 这5个家庭均有小汽车的概率为 B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解.‎ ‎【详解】由题得小汽车的普及率为，‎ A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；‎ B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题；‎ C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；‎ D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.下列说法：‎ ‎①对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大；‎ ‎②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；‎ ‎③已知随机变量，若，则（）的值为；‎ ‎④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量取值和变化趋势．‎ 其中错误的选项是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布，回归分析，以及独立性检验等知识，对选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】①的观测值不是刻画两个分类变量之间的关系，故错误；‎ ‎②则，的值分别是和0.3，故正确；‎ ‎③已知随机变量，，故由对称性可知，‎ ‎（）的值为，故正确；‎ ‎④通过回归直线及回归系数，只能大致的（不能精确）反映变量的取值和变化趋势．故错误．‎ 综上所述，错误的是①④‎ 故选：AD．‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布、回归分析、独立性检验就等知识，解题时抓住相关概念即可．‎ 三、填空题 ‎13.若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令和，再将两个等式相加可求得的值.‎ ‎【详解】令，则；‎ 令，则.‎ 上述两式相加得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎14.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.‎ 零件数（个）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间 ‎ ‎62‎ ‎ ‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为______.‎ ‎【答案】68‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得：，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得．‎ 考点：线性回归方程 ‎15.已知随机变量服从正态分布，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：正态分布均值为，，故.‎ 考点：正态分布．‎ ‎16.设函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得函数在区间上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】∵在上恒成立，‎ ‎∴当时，取最大值1，‎ ‎∵对任意的，都有成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则，，‎ ‎∵在上恒成立，∴在上为减函数，‎ ‎∵当时，，故当时，取最大值1，‎ 故，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档．‎ 四、解答题 ‎17.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ 设A为事件“选出2人参加义工活动次数之和为‎4”‎，求事件A发生的概率；‎ 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为‎4”‎的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；‎ ‎（2）由题意知随机变量的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．‎ ‎【详解】（1）由已知有，‎ 所以事件的发生的概率为；‎ ‎（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2；‎ ‎；；‎ ‎；‎ 所以随机变量分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．‎ ‎18.甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. （1）求甲获胜的概率；‎ ‎（2）求射击结束时甲的射击次数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依据题设借助互斥事件的概率公式分析求解；（2）先依据题设条件建立随机变量的概率分布，再运用随机变量的数学期望公式分析求解：‎ 试题解析：‎ ‎ (1) 记甲第次射中获胜为，则彼此互斥，甲获胜的事件为.‎ ‎ ‎ ‎.即甲获胜的概率为.‎ ‎(2) 所有可能取的值为.则,,‎ ‎.得的概率分布为 的数学期望.‎ ‎19.设函数 ‎（Ⅰ）若a=，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 ‎【答案】在，单调增加，在（-1，0）单调减少,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析：（I）‎ ‎（II）‎ 令 若 若a>1，则当为减函数，而 从而当 综合得a的取值范围为 考点：本小题主要考查利用导数考查函数的单调性和单调性的应用.‎ 点评：导数是研究函数性质是有力工具，利用导数研究函数单调性的前提是要注意函数的定义域，而且解决此类问题一般离不开分类讨论，讨论时要做到不重不漏.‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎20.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ ‎  ‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 ‎______ ‎ ‎5 ‎ ‎______             ‎ 女生 ‎10 ‎ ‎______ ‎ ‎______ ‎ 合计 ‎______ ‎ ‎_____ ‎ ‎50 ‎ 已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）能否在犯错概率不超过的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由．‎ ‎（参考公式：，其中）‎ 独立性检验临界值表：‎ ‎【答案】（1）见解析（2）可以 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整； （2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．‎ ‎【详解】（1）设喜好体育运动人数为，则 .‎ 所以 列联表补充如下：‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）因为 ‎ 所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．‎ ‎21.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．‎ ‎（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ ‎②若，则，．‎ ‎【答案】（1）26.5；（2）①0.1359；②分布列详见解析，数学期望为2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可；‎ ‎（2）①直接由正态分布的性质及题目所给可得；‎ ‎②根据题意得，根据二项分布的性质即可求得的分布列、期望值．‎ ‎【详解】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：‎ 的频率为：；‎ 的频率为：；‎ 的频率为：；‎ 的频率为：；‎ 的频率为：，‎ 所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为 ‎．‎ ‎（2）①∵服从正态分布，且，‎ ‎∴落在内概率是0.1359．‎ ‎②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于内的概率为，‎ 所以，‎ 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题．‎ ‎22.设函数，．‎ ‎（1）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得导函数，题意说明有两个零点，即有两个解，或直线与函数的有两个交点，可用导数研究的性质（单调性，极值等），由零点存在定理即可得的范围；‎ ‎（2）首先题意说明，，从而有且，其次时，恒成立，因此的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出的范围．‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 所以有两个极值点就是方程有两个解，‎ 令，则.‎ 当时，在区间上恒成立，则此时单调递增，‎ 又为连续函数，由零点存在定理可知：‎ 最多只有一个零点，也即最多只有一个解，不符合题意；‎ 当时，令，解得，‎ 故在区间单调递增，在单调递减.‎ ‎，‎ 若，即时，根据函数单调性可知：‎ 此时，故无解，不符合题意；‎ 若，即时，根据函数单调性可知：‎ 此时，只有一个解，不符合题意；‎ 若，即时，‎ 又，，（最后进行证明）‎ 又，故由零点存在定理可知：‎ 此时有两个根，满足题意.‎ 综上．‎ 现证：，‎ 令，故，‎ 故在定义域内单调递增，‎ 故，‎ 即证.‎ ‎（2）函数在点处的切线与轴平行，‎ 所以且，因为，‎ 所以且；‎ 在时，‎ 其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，‎ 即当时，恒成立，即 ‎，‎ 令，∴‎ 设，，‎ 因为，所以，，∴，‎ ‎∴在单调递增，即在单调递增，‎ ‎∴，‎ 当且时，，‎ 所以在单调递增；‎ ‎∴成立 当，因为在单调递增，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以存在有；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以有，不恒成立；‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想．‎