2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设命题，则p为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定的结构形式写出其否定即可.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎2．已知某企业有职工150人，其中拥有高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若按职称采用分层抽样方法共抽取30人，则中级职称被抽取的人数为（ ）‎ A．3 B．9 C．18 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】按照分层抽样的计规则计算可得；‎ ‎【详解】‎ 解：据题设分析知，被抽取的30人中中级职称人数（人），故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样中各层总数的计算，属于基础题.‎ ‎3．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将抛物线方程化为标准方程,即可得焦点坐标.‎ ‎【详解】‎ 抛物线 化为标准方程可得 由标准方程可知抛物线的焦点在轴正半轴上,则 ‎ 所以焦点坐标为 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线标准方程与焦点坐标求法,属于基础题.‎ ‎4．已知是非零实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】利用原命题和逆命题的真假可判断两者之间的条件关系.‎ ‎【详解】‎ 取，则，但，‎ 所以命题“若，则”为假命题.‎ 取，则，但，‎ 所以命题“若，则”为假命题.‎ 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图,可知该几何体为一个正方体,割去一个圆柱的四分之一,即可由所给数据求得几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知,该几何体为一个正方体,割去一个圆柱的四分之一 正方体的棱长为2.割去圆柱的底面半径为1,‎ 所以该几何体的体积为 ‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了三视图的简单应用,由三视图分析原空间几何体,组合体体积的求法,属于基础题.‎ ‎6．已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（ ）‎ A． B．（）‎ C． D．（）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设动点,由两点间斜率公式及倾斜角的关系,可得 的方程,化简即可得动点C的轨迹方程,排除不符合要求的点即可.‎ ‎【详解】‎ 设 由两点间斜率公式可得 ‎ 由斜率与倾斜角关系,结合可得 变形可得 当时,C与A或B重合,不合题意 所以点C的轨迹方程为（）‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程的求法,两点间斜率公式,注意斜率与倾斜角关系,排除掉不符合要求的点,属于基础题.‎ ‎7．若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则M处可填入的条件为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据循环结构的程序框图,依次算出输出值为26时满足的条件,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据程序框图可得 所以 ‎ 所以当输出结果为26时,为是的条件.且当时都为否 故M处可填入的条件为 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了循环结构程序框图的应用,根据输出值分析判断框,属于基础题.‎ ‎8．已知圆P：与直线（）相交于A，B两点，且，则m的值为（ ）‎ A．0 B．4‎ C．0或4 D．0或 ‎【答案】C ‎【解析】首先将圆的方程化成标准式，求出圆心坐标，半径，再根据点到直线的距离公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：∵P为圆的圆心，，‎ ‎，.‎ 又，∴圆心到直线的距离，解得或4，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.‎ ‎9．已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据组合计算法,先求得从中取出两个球都是白球的所有情况,再求得从5个球中取出2个球的所有情况,即可求得“取到全是白球”的概率.‎ ‎【详解】‎ 袋子中装有3个白球,2个黑球 则从中取出两个球都是白球的情况为 ‎ 从5个球中取2个球出来,所有的情况为 ‎ 所以从5个球取2个球“取到全是白球”的概率为 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了组合数的应用,古典概型概率求法,属于基础题.‎ ‎10．已知椭圆过点，其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（ ）‎ A．4 B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据点在椭圆上得到，再利用及消元法可解得，从而得到短轴长的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为点在椭圆上，所以，所以.‎ 设椭圆的半焦距为，因为，所以，故，‎ 所以，解得，故短轴长的最大值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题以椭圆基本量为载体，考查多变量等式和不等式条件下变量的最值的计算，注意多变量问题处理的基本策略是消元法，此类问题多为中档题.‎ ‎11．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为直角三角形的斜边为，，，‎ 所以，‎ 以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.‎ 所以图形总面积，，所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.‎ ‎12．如图，在长方体中，，，，点M是棱的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形 内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取中点，在上取点，使，连结、、，则平面平面，由此推导出线段，当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，由此能求出线段长度的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 取中点，在上取点，使，连结、、，‎ 则平面平面，‎ 是侧面四边形内一动点（含边界），平面，‎ 线段，‎ 当与的中点重合时，线段长度取最小值，‎ 当与点或点重合时，线段长度取最大值或，‎ 在长方体中，，，，‎ 点是棱的中点，点在棱上，且满足，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 线段长度的取值范围是，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中线段长取值范围，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力和运算求解能力．‎ 二、填空题 ‎13．已知棱台的上下底面面积分别为，高为,则该棱台的体积为________.‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可.‎ ‎【详解】‎ 由棱台的体积公式可得棱台的体积：‎ ‎.‎ 故答案为：28．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：‎ 分数段 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 人数 ‎ ‎１ ‎ ‎３ ‎ ‎６ ‎ ‎６ ‎ ‎２ ‎ ‎１ ‎ ‎１ ‎ 若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分 ‎【答案】80‎ ‎【解析】解：∵×20=4，‎ ‎∴随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，‎ 观察成绩统计表，预测参加面试所画的分数线是80分，‎ 故答案为80‎ ‎15．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高，水面宽度.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体的货物欲从桥下中央经过，已知长方体货物总宽6米，若要使船只顺利通过该桥，则长方体货物的顶部离水面的距离应低于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,建立平面直角坐标系.设出抛物线方程,将点带入求得抛物线方程.取货物一端点为C,过C作的垂线,交抛物线于,可求得D点坐标.进而求得长方体货物的顶部离水面的距离.‎ ‎【详解】‎ 以O为原点,过O垂直于的直线为y轴,建立如图所示平面直角坐标系 设抛物线方程为,‎ 根据题意知点在抛物线上.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 可设,过C作的垂线,交抛物线于,‎ 则,‎ ‎.‎ ‎∴长方体货物的顶部离水面的距离应低于（）.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线方程的求法,抛物线在实际问题中的应用,属于基础题.‎ ‎16．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设,,,‎ 依题意,得,‎ 即,‎ 两边平方化简得,则圆心为,半径,‎ 当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,‎ 解得；‎ 当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,‎ 解得,‎ 故双曲线的离心率为.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，命题p：关于x的方程有两个不同的实数根且均小于零；命题q：，.‎ ‎（1）当时，判断命题q的真假；‎ ‎（2）若命题是假命题，求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】（1）真命题（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入命题.取特殊值,即可说明存在,使命题为真命题.‎ ‎（2）若题是假命题,则命题与命题都为假命题.假设为真命题,求得的范围,即可确定为假命题时的范围,同理求得为假命题时的范围,进而确定的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时,,有,‎ ‎,成立,‎ ‎∴为真命题.‎ ‎（2）若为真命题,则 解得,‎ ‎∴为假命题时.‎ 若为真命题,则,即.‎ 解得或.‎ ‎∴为假命题时.‎ ‎∵命题是假命题,则,都是假命题,‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题真假的判断,由复合命题的真假求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎18．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）基本事件见解析, 所求的概率为 ‎【解析】（1）由所有小矩形面积和为1计算出；‎ ‎（2）先计算出第4、5两组人数，再按比例计算出抽取的人数，然后把第四组的4人表示为，，，，第五组的2人表示为，，用列举法写出所有基本事件，并计数求出概率。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）据题意，得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）据题意知，随机抽取100名大学生中第四组有20人，‎ 第五组有10人，‎ ‎∴抽取6名学生中有第四组人，即4人，‎ 抽取6名学生中有第五组人，即2人.‎ 设6人中来自第四组的4人为，，，，来自第五组的2人为，，从中抽取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 其中2人来自不同组的事件有，，，，，，，共8种，‎ ‎∴所求的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机变量的频率分布直方图，考查分层抽样，属于基础题。‎ ‎19．（1）求经过点，且离心率为的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知双曲线与椭圆：有相同的焦点，且过点，求双曲线的标准方程.‎ ‎【答案】（1）或.（2）‎ ‎【解析】（1）讨论焦点在在x轴上或焦点在y轴上.根据离心率、端点坐标,结合椭圆中,可求得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）根据椭圆的标准方程,可求得焦点坐标.代入点的坐标,结合,即可求得双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若椭圆的焦点在x轴上,设其方程为（）,‎ 因为经过点,且离心率为,所以,,‎ 又,得,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 若椭圆的焦点在y轴上,设其方程为（）,‎ 因为经过点,且离心率为,所以,,又,得,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 综上,椭圆的标准方程为或.‎ ‎（2）因为椭圆的焦点为,,且双曲线与椭圆有相同的焦点,‎ 所以设双曲线的标准方程为（,）,‎ 得,又双曲线过点,得,‎ 联立解得 所以双曲线的标准方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程与双曲标准方程的求法,注意焦点的位置,属于基础题.‎ ‎20．已知点，，圆C的方程为，过点A的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点.‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）讨论直线的斜率是否存在.当斜率不存在时,易知不合题意.当斜率存在时,将圆的一般方程化为标准方程,结合点到直线距离公式及切线性质,即可求得斜率,进而得切线方程.‎ ‎（2）由两点间距离公式可得,同时可得直线的方程.求得圆心到直线的距离,即可求得圆上的点到直线的最大值,即可求得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）①当直线的斜率不存在时,的方程为,易知此直线与圆C相交,不合题意；‎ ‎②当直线的斜率存在时,设的方程为,‎ 圆C：的圆心,半径,‎ 因为直线与圆C相切,‎ 所以圆心到直线的距离.‎ 则,解得或 所以直线的方程为或.‎ 综上,直线的方程为或.‎ ‎（2）由题意,得,直线的方程为,‎ 则圆心到直线的距离.‎ 所以点P到直线的距离的最大值为,‎ 所以的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆相切时切线方程的求法,点到直线距离公式及圆上点到直线距离的最大值,属于基础题.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，平面，且，，，点G，H分别为边，的中点，点M是线段上的动点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，当三棱锥的体积最大时，求点C到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）连接,相交于点O.由垂直平分线性质可得,由中位线定理可得,从而.再由平面,可得,所以平面,即可得.‎ ‎（2）根据,,,可求得和,进而求得,由相似比与面积比关系求得,即可由等体积法求得.因而当点M与点E重合时取得最大值.由线段关系求得,再根据等体积,即可求得点D到平面的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接,相交于点O.如下图所示:‎ 平面.平面,‎ ‎.‎ 又,,‎ 为线段的垂直平分线.‎ ‎.‎ ‎∵G,H分别为,的中点,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,,平面,‎ 平面.‎ 又平面,‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）得,,.‎ ‎,在中,,,‎ ‎.‎ 在中,.‎ 的面积 ‎,‎ ‎∵G,H分别为,中点,‎ ‎.‎ 平面.即平面.‎ ‎.‎ 显然,当点M与点E重合时,取得最大值,此时.‎ 连接,不难得出.‎ ‎,.‎ 又易知,‎ ‎.‎ ‎∵G是中点,‎ ‎∴C到平面的距离等于D到平面的距离.‎ 又,‎ ‎,得.‎ ‎∴点D到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面垂直的判定,由线面垂直证明线线垂直,等体积法求点到平面的距离,属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线（）与椭圆交于，两点（点在轴的上方）.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）是否存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在实数，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点 ‎【解析】（1）由椭圆方程求得，得，由直线方程与椭圆方程联立可解得交点坐标，当然这里只要得出点的纵坐标，即可求得三角形面积；‎ ‎（2）这类问题，都是假设存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则有.设，，从而有，把直线方程与椭圆方程联立消元后可得，代入，求得值，说明存在，求不出值说明假设错误，不存在。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，因为，，，所以，，，‎ 联立化简得，解得或，又点在轴的上方，所以，所以，‎ 所以的面积为.‎ ‎（2）假设存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则有.‎ 设，，‎ 联立消去得，（）‎ 则，.‎ 由，所以，即，‎ 整理得，‎ 所以，解得.‎ 经检验时（）中，‎ 所以存在实数，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆相交问题中的面积问题，存在性问题。解析几何中存在性命题解题方法是：假设满足题意的数存在，并把它作为已知条件进行推理求值，如果能求得这个值说明存在，如果不能求出这个值说明不存在。本题中还用到“设而不求”思想，注意体会。‎