四川省泸州市泸县第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

四川省泸州市泸县第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2019-2020学年度秋四川省泸县第二中学高二期中考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．在直角坐标系中，直线的倾斜角是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3．椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．直线3x+4y-3=0与圆的位置关系是： ‎ A．相离; B．相交; C．相切; D．无法判定.‎ ‎5．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎6．已知直线L1：ax+3y﹣3＝0，与直线L2：4x+6y﹣1＝0平行，则a的值是 ‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎7．已知变量x，y满足约束条件则的最小值为 ‎ A. B. C.8 D.10‎ ‎8．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦 ‎ A． B． C． D．2‎ ‎9．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．点是直线上的动点，点是圆上的动点，则线段长的最小值为 ‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎11．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 A．π B．π C．4π D．π ‎12．已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____．‎ ‎14．设x，y都是正数，且，则 的最小值______________.‎ ‎15．已知双曲线的焦距为2，且双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线的方程为___________.‎ ‎16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是_____．‎ ‎①AC⊥BE　②EF∥平面ABCD　③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值 三、 解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本大题满分10分）‎ 已知的三个顶点坐标分别为. ‎ ‎（1）求边的垂直平分线的方程；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎18．（本大题满分12分）‎ 设椭圆C：过点，离心率为 ． ‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）设斜率为1的直线过椭圆C的左焦点且与椭圆C相交于A，B两点，求AB的中点M的坐标．‎ ‎19．（本大题满分12分）‎ 已知圆，为坐标原点，动点在圆外，过点作圆的切线，设切点为.‎ ‎（1）若点运动到处，求此时切线的方程；‎ ‎（2）求满足的点的轨迹方程.‎ ‎20．（本大题满分12分）‎ 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）圆是以，为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.‎ ‎21．（本大题满分12分）‎ 已知四棱锥的底面为直角梯形，，°，底面，且，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与所成角的余弦值；‎ ‎（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.‎ ‎22．（本大题满分12分）‎ 已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，分别是椭圆的上、下顶点，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过作直线与交于两点，求三角形面积的最大值（是坐标原点）.‎ ‎2019-2020学年度秋四川省泸县第二中学高二期中考试 理科数学试题参考答案 ‎1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．D 8．A 9．B 10．A 11．B 12．A ‎13． 14． 15． 16．①②④‎ ‎17．:（1）线段的中点的坐标为,又直线的斜率为,∴边的垂直平分线的斜率为,故边的垂直平分线的方程为,即.‎ ‎（2）,直线的方程是,即,点到直线的距离,的面积.‎ ‎18．（1）由椭圆C：可知其焦点在x轴上，‎ 因为椭圆过点，所以，‎ 因为其离心率，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题意可知：直线方程为，‎ 由，整理得，显然，‎ 设，，‎ 由韦达定理可得，，‎ 所以AB中点M的坐标是.‎ ‎19．解: 把圆C的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，‎ ‎∴圆心为C（－1,2），半径r＝2.‎ ‎（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．‎ 当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，‎ 则＝2，解得k＝.‎ ‎∴l的方程为y－3＝（x－1），‎ 即3x＋4y－15＝0.‎ 综上，满足条件的切线l的方程为或.‎ ‎（2）设P（x，y），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，‎ ‎|PO|2＝x2＋y2，‎ ‎∵|PM|＝|PO|.‎ ‎∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，‎ 整理，得2x－4y＋1＝0，‎ ‎∴点P的轨迹方程为.‎ ‎20：（1）由椭圆定义可得，再将点代入椭圆方程得，（2）先由直线与圆相切可得,再由，得，利用直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，代入化简可得的值.‎ 试题解析：（1）由题意，椭圆的长轴长，得，‎ 因为点在椭圆上，∴，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当直线与圆相切，得，即,‎ 设，‎ 由消去，整理得，‎ 由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以，解得.‎ ‎21．（1）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.‎ ‎（2）因 ‎（3）平面的一个法向量设为，‎ ‎ ‎ 平面的一个法向量设为，‎ ‎ ‎ ‎ 所求二面角的余弦值为 ‎22：（1）由题知，，，，‎ ‎∴，∴，①‎ ‎∵，∴，∴，②‎ ‎①②联立解得，，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，显然直线斜率存在，设其方程为，‎ 代入，整理得，‎ 则，即，，，‎ ‎ ，‎ 所以到的距离，‎ 所以三角形面积 ，‎ 设，所以，‎ 当且仅当，即，即，即时取等号，‎ 所以面积的最大值为．‎