吉林省公主岭实验中学2013届高三上学期期末考试数学（理）试题

吉林省公主岭实验中学2013届高三上学期期末考试数学（理）试题

‎2012~2013学年第一学期高三期末考试数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分，考试时间 ‎120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．开始答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。‎ ‎2．将选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案答在答题卡上对应的答题区域内。在试题卷上作答无效。‎ ‎3．考生必须保持答题卡的整洁。‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个选项是最符合题意的。‎ ‎1．函数y＝＋lnx的定义域为 A．（0，＋∞） B．（－∞，1］‎ C．（－∞，0）∪［1，＋∞） D．（0，1］‎ ‎2．数列{an}是由实数构成的等比数列，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}中 A．任一项均不为0 ‎ B．必有一项不为0‎ C．至多有有限项为0‎ D．或无一项为0，或有无穷多项为0‎ ‎3．已知f (x)＝cos2x－1，则判断f (x)是 A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 ‎4．设全集U＝R，A＝{y｜y＝tanx，x∈B}，B＝{x｜｜x｜≤}，则图中阴影部分表示的集合是 A．［－1，1］‎ B．［－，］‎ C．［－1，－）∪（，1］‎ D．［－1，－］∪［，1］‎ ‎5．曲线y＝cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的面积是 A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎6．已知向量＝(2，0)，＝(2，2)，＝(－1，－3)，则和的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎7．设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最小值与最大值分别为 A．－8，4 B．－，0‎ C．－8，－ D．－，4‎ ‎8．如图所示，若向量e1、e2是一组单位正交向量，则向量‎2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为 A．（3，4）‎ B．（2，4）‎ C．（3，4）或（4，3）‎ D．（4，2）或（2，4）‎ ‎－2‎ ‎－1‎ O ‎1‎ ‎2‎ x y ‎－1‎ O ‎1‎ ‎2‎ x y ‎－2‎ ‎－1‎ O ‎1‎ x y ‎－1‎ O ‎1‎ ‎2‎ x y ‎－2‎ ‎－1‎ O ‎1‎ x y A B C D ‎9．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝f (2－x)的图象是下图中的 B A D‎1 C1‎ A1 B1‎ E D F C G ‎10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别为棱A‎1A，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A‎1G＝λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知正项等比数列{an}满足：a2012＝a2011＋‎2a2010，且＝‎4a1，则6(＋)的最小值为 A． B．‎2 ‎ C．4 D．6‎ ‎12．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，若f (x)在区间［1，a］（a＞2）上单调递增，且 f (x)＞0，则以下不等式不一定成立的是 A．f (a)＞f (0) B．f ()＞f ()‎ C．f ()＞f (－a) D．f ()＞f (－2)‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上的相应位置。‎ ‎13．函数y＝x2(x－3)的递减区间是 ．‎ A F D E C B ‎14．已知函数f (x)＝log2[sin(2x－)]，则满足f (x)＝0的x的 取值范围是 ．‎ ‎15．如图所示，在正三棱锥A－BCD中，E，F分别为BD，AD的 中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为 ．‎ ‎16．已知不等式︱a－2x︱＞x－1，对任意x∈［0，2］恒成立，则a的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上的相应位置。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设集合M＝{x︱x2－7x＋12≥0，x∈R}，N＝{x︱︱x＋1︱＜1}，Q＝{x︱x－a≥0}，令 P＝M∩N．‎ 求：（1）求集合P．‎ ‎（2）若PQ，a的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设函数f (x)＝ax3－3x2＋bx，已知不等式＜0的解集是{x︱1＜x＜2}．‎ ‎（1）求a、b的值．‎ ‎（2）设函数g (x)＝，x∈［1，2］，求函数y＝g (x)的最小值及对应的x值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a3＋a5＝5，又a3与a5‎ 的等比中项为2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）设bn＝，记数列{bn}的前n项和Sn，求证：Sn≤．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），且a与b之间满足关系：︱ka＋b︱＝‎ ‎︱a－kb︱，其中k＞0．‎ ‎（1）用k表示a·b．‎ ‎（2）求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C为直二面角，D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：平面COD⊥平面AOB．‎ ‎（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数f (x)＝lnx－px＋1．‎ ‎（1）求函数f (x)的极值点．‎ ‎（2）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有f (x)≤0，求p的取值范围．‎ ‎（3）证明：（n∈N，n≥2）．‎ ‎2012－2013学年第一学期公主岭实验高中期末考试 高三数学答案（理科）‎ 二、填空题：本大题共4小题，共20分。‎ ‎13．（0，2） 14．{x︱x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z} 15．45° 16．（－∞，2）∪（5，＋∞）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。‎ ‎17．（10分）‎ 解：（1）x2－7x＋12≥0有：(x－3)(x－4)≥0 ……1分 得到：x≤3或x≥4 ……2分 ‎∣x＋1∣＜1有：－1＜x＋1＜1 ……3分 得到：－2＜x＜0． ……4分 所以M＝{x∣x≤3或x≥4}，N＝{x∣－2＜x＜0} ……5分 所以P＝M∩N＝N＝{x∣－2＜x＜0}． ……7分 ‎（2）Q＝{x∣x≥a} ……8分 PQ，则a≤－2 ……9分 故a的最大值为－2． ……10分 ‎18．（12分）‎ 解：（1）∵不等式＜0的解集为{x∣1＜x＜2}，∴1和2是方程ax2－3x＋b＝0的根． ……2分 则，得：． ……6分 ‎（2）函数≥－3 ……10分 当且仅当x＝时取“＝”号．注意到∈［1，2］， ……11分 所以函数y＝g(x)的最小值是－3，对应x的值是． ……12分 ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋)＝(1－)≤． .……12分 ‎20．（12分）‎ 解：∵︱ka＋b︱＝︱a－kb︱两边平方，得：︱ka＋b︱2＝3︱a－kb︱2‎ ‎∴k‎2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2－2ka·b＋k2b2)‎ 即a·b＝．‎ ‎∵a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），∴a2＝1，b2＝1，‎ ‎∴a·b＝． ……6分 ‎（2）∵k＞0，∴(k－1)2≥0，从而k2＋1≥2k，≥≥，∴a·b的最小值为，‎ 此时cosθ＝＝，θ＝60°，即a与b夹角为60°． ……12分 B A O C D E ‎21．（12分）‎ ‎（1）证明：∵AO⊥BO，AO⊥CO，‎ ‎∴∠BOC为二面角B－AO－C的平面角， ……2分 ‎∠BOC＝90°，∴CO⊥BO，∴CO⊥平面AOB，‎ 又CO平面COD．‎ ‎∴平面COD⊥平面AOB． ……5分 ‎（2）解：取OB的中点E，连结DE，由于D为AB的中点，‎ ‎∴DE∥OA，‎ ‎∴DE⊥BO，∠CDE为AO与CD所成的角， ……7分 由于AO⊥CO，AO⊥BO，∴AO⊥平面BOC，‎ ‎∴DE⊥平面BOC，又CE平面BOC，∴DE⊥CE． ……9分 又∠OAB＝，故有，OB＝OC＝2，‎ AO＝，DE＝AO＝，OE＝1，∴CE＝＝，‎ ‎∴tan∠CDE＝＝，‎ 则异面直线AO与CD所成角的大小为arctan． ……12分 ‎22．（12分）‎ 解：（1）∵f (x)＝lnx－px＋1，∴f (x)的定义域为（0，＋∞）．‎ f ′(x)＝－p＝． ……2分 当p≤0时，f ′(x)＞0，f (x)在（0，＋∞）上无极值点．‎ 当p＞0时，令f ′(x)＝0，∴x＝∈（0，＋∞），f ′(x)、f (x)随x的变化情况如下表：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，＋∞）‎ f ′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f (x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 从上表可以看出：当p＞0时，f (x)有唯一的极大值点x＝． ……4分 ‎（2）当p＞0时，在x＝处取得极大值f ()＝ln，此极大值也是最大值，‎ 要使f (x)≤0恒成立，只需f ()＝ln≤0，‎ ‎∴p≥1，∴p的取值范围为［1，＋∞）． ……6分 ‎（3）令p＝1，由（2）知，lnx－x＋1≤0，∴lnx≤x－1，∵n∈N，n≥2，∴lnn2≤n2－1，‎ ‎∴， ……8分 ‎ ‎