全国大联考 2020 届 12 月联考理数A答案

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理科数学试卷 第 1 页（共 10 页） 20·LK·YG12 全国大联考 2020 届 12 月联考 理科数学（A） 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B D C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 D D C B D B 1．B 【解析】由 1 244 x，得 22x−   ，即 [ 2,2]A =− ， 由 22y x x= − + − ，得 2x = ，所以 0y = ，所以 {0}B = ，所以 {0}AB=I ．故选 B． 2．C 【解析】由( 1) 4 2z i i− = + ，得 421 2 4izii +− = = − ，所以 34zi=− ，所以 5z = ． 3．A 【解析】所给圆的圆心为坐标原点，半径为 2 ，当弦长大于 2 时，圆心到直线l 的距离小于1， 即 ||15 m  ，所以 55m−   ，故所求概率 5 ( 5) 2 9 ( 6) 3P −−==−− ． 4．B 【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项 1 5a = ，前30项的和 30 390S = ，求公差 d ． 由等差数列的前 n 项公式可得， 30 2930 5 2390 d+= ，解得 16 29d = ． 5．D 【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为 3，高为 4，故母线长为 5，故每部分的表面积为 1 1 1 12 4 3 6 5 9 12 62 4 2 4     +    +  = + ，故两部分表面积为24 12+ ． 6．C 【解析】由(0.0024 0.0036 0.0060 0.0024 0.0012) 50 1a+ + + + +  = ，解得 0.0044a = ，故 A 错；由 A 可知， 0.0044a = ，所以平均数为 0.0024 50 75 0.0036 50 125 0.0060 50 175 0.0044 50  +   +   +   理科数学试卷 第 2 页（共 10 页） 20·LK·YG12 225 0.0024 50 275 0.0012 50 325 186+   +   = ，故 B 错误； 居民月用电量在[50,150) 的频率为： (0.0024 0.0036) 50 0.3+  = ， 居民月用电量在[150,200)的频率为： 0.0060 50 0.3= ， ∴这100户居民月用电量的中位数大约为 0.5 0.3150 50 183.30.3 −+   ，故 C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为 175，故 D 错误． 7．D 【解析】令 1x = ，则有 56( 1) 0a −=，所以 1a = ， 又 5 2( 1 )1x − 展开式的通项为 2 10 1 5 ( 1)kk k kT C x − + =−，令 4k = ，则常数项为 4 52 10C = ， 令 5k = ，则常数项为 5 511C− = − ，故展开式的常数项为10 1 9−= ． 8．D 【解析】当双曲线的焦点在 x 轴上时，设C 的方程为 22 221( 0, 0)xy abab− =   ， 则其渐近方程为 byxa= ，所以 3b a = ，所以 2 2 2 2 22 13b c a eaa −= = − = ，所以 2e = ； 当双曲线的焦点在 y 轴上时，设 的方程为 )0,0(12 2 2 2 =− baa y b x ，则其渐近方程为 xb ay = ，所以 3=b a ，所以 3 1=a b ，所以 2 2 a b = 2 22 a ac − = 3 112 =−e ，所以 23 3e = ． 9．C 【解析】由 22 3 5 2 632400 2a a a a+ = − ，得 22 3 3 5 52 32400a a a a+ + = ，即( )2 35 32400aa+= ， 又 0na  ，所以 53 aa + =180，从而 180)42 1 =+ qqa（ ， 由 24 10SS = ，得 )(10 214321 aaaaaa +=+++ ，即 )(9 2143 aaaa +=+ ， 所以( ) )(9 21 2 21 aaqaa +=+ ，所以 92 =q ， 又 0q  ，所以 3q = ，代入 ，得 21 =a ， 所以 ( ) ( )504 5042018 4 2 2019 2 3 2 3 3 18 81a =  =   =  ，故其个位数为 8． 10．B 理科数学试卷 第 3 页（共 10 页） 20·LK·YG12 【解析】 ( ) 2f x x a =+，则 ()y f x= 的图象在 1 2x = 处的切线斜率 1 12()k f a= = + ， 由于切线与直线 20xy+=垂直，则有 1( )(1 ) 12 a− + = − ，则 1a = ， 所以 2( ) ( 1)f x x x x x= + = + ， 所以 1 1 1 ( ) 1f k k k=−+ ， 所以 1 1 1(1 ) ( )2 2 3S = − + − + +L 11)1(kk− + ，由于输出的 k 的值为 15，故总共循环了 15 次， 此时 1 1 1 1 1 15(1 ) ( ) ( )2 2 3 15 16 16S = − + − + + − =L ，故t 的值可以为14 15 ． 11．D 【解析】由于函数 ()fx在[ , ]3 12 − 上具有单调性，所以 5 12 3 12 2 T  + =  ，即 5 12   ， 所以 5 12 ， 又由于函数 )(xf 在 ]3 2,2[ − 上至少存在两个不同的 21, xx 满足 4)()( 21 =xfxf ， 所以 27 3 2 6 T  + =  ，即 72 6   ，所以 12 7  ，故有12 12 75 ， 又 ( ,0)6 − 和 7 12x = 分别为函数 ()fx图象的一个对称中心和一条对称轴， 所以 2 1 7 4 12 6 k T + =+， kZ ，所以 2(2 1) 3 k += ， kZ ，所以 2 = ， 故 ( ) 2sin(2 )f x x =+， 又 ( ,0)6 − 为函数 ()fx图象的一个对称中心，所以 2 ( )6 k  − + = ， kZ ， 所以 3  += k ， Zk  ， 又 2   ，所以 3  = ，所以 )32sin(2)( += xxf ． 由于函数 的周期为 ，所以相邻两条对称轴之间的距离为 2  ，故 A 错误； ( ) 23f −   ，且 ( ) 012f −，故 B，C 错误； 由于函数 的单调递减区间为     ++  12 7,12 kk ， ，当 0=k 时，得其中的一个单 调递减区间为      12 7,12 ，而 )2,6(       12 7,12 ，故 D 正确． 12．B 理科数学试卷 第 4 页（共 10 页） 20·LK·YG12 【解析】令 2 ()() fxgx x= ，则 2 43 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )() x f x xf x xf x f xgx xx −− ==， 由于 (0,1)x ，且 ( ) 2 ( )xf x f x  ，所以 ( ) 0gx  ，故函数 ()gx在(0,1) 单调递增． 又 , 为锐角三角形的两个内角，则 022   −  ，所以1 sin sin( ) 02   −  ， 即 0cossin1   ，所以 )(cos)(sin  gg  ，即     22 cos )(cos sin )(sin ff  ， 所以 )(cossin)(sincos 22  ff  ． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 题号 13 14 15 16 答案 1 120 25π (0, )b− 13．1 【解析】 ,xy满足约束条件 0 2 3 6 0 3 2 6 0 x y k xy xy − +   + −   − +  的可行域如下图： 由 2 3 6 0 3 2 6 0 xy xy + − =  − + = ，得 6 30( , )13 13A − ， 由 0 3 2 6 0 x y k xy − + =  − + = ，得 (2 6,3 6)B k k−−， 将目标函数化为 1 22 zyx=−，由图可知，当直线 1 22 zyx=−经过点 A 时目标函数取得最小值， 所以 min 66 13z =− ； 当直线 1 22 zyx=−经过点 B 时目标函数取得最大值，所以 max 46zk= − + ， 所以有 66 404613 13k− − + = − ，解得 1k = ． 理科数学试卷 第 5 页（共 10 页） 20·LK·YG12 14．120 【解析】 2 2 2| | | | 4 4 | | 42ab a a b b=−−  + = r r r rrr ，所以| 2 |2ab=− rr ，设b r 与 2ab− rr 的夹角为 ， 则 ( 2 ) 1cos 2| || 2 | b a b b a b  −= = − − r r r r r r ，又因为 [0 ,180 ]    ，所以 120 =  ． 15． 25 【解析】取 AB 的中点O ， AC 的中点 O ，连接 OO ， 因为 2 2 2PA PB AB+=，所以 PAB 是以 AB 为斜边的直角三角形，从而点O 为 PAB 外接圆的圆 心， 又 2 2 2AB BC AC+=，所以 ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形，从而点O 为 ABC 外接圆的圆心， 又因为O O BC ∥ ，所以O O AB ⊥ ， 又平面 PAB ⊥平面 ABC ，且平面 PAB 平面 ABC AB= ，所以OO ⊥ 平面 PAB ， 所以点O 为三棱锥 P ABC− 外接球的球心，所以外接球的半径 2 5 2 1 === ACOAR ， 故外接球的表面积 24 25SR==． 16． (0, )b− 【解析】设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ， ),0( tP ， 把 y kx b=+代入抛物线方程得 2 4 4 0x kx b− − = ， 所以 kxx 421 =+ ， bxx 421 −= ， 因为 OPM OPN =  ，所以 0=+ PNPM kk ，即 12 12 0y t y t xx −−+=， 即( ) ( )1 2 2 1 0kx b t x kx b t x+ − + + − = ， 所以 0))((2 2121 =+−+ xxtbxkx ，即 0)( =+ tbk ， 由于 Rk  ，所以 bt −= ，故 ),0( bP − ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．（ 12 分） 【解析】（ 1）∵ CaAca coscos2 =− ， ∴ CAACA cossincossinsin2 =− ，即 CAACA cossincossinsin2 += ， 理科数学试卷 第 6 页（共 10 页） 20·LK·YG12 ∴ BCAA sin)sin(sin2 =+= ，∴ 2 2 sin sin == B A b a ． 如图，过点C 作CD AB⊥ ， D 为垂足． 在 Rt ACD 中， sinCD b A= ，由题意可知， aAb sin ， 所以有 b aA sin ，从而 2sin 2A  ， 又因为  A0 ，所以 40  A 或   A4 3 ， 又 BA  ，所以 40  A ，即角 A 的取值范围为(0, ]4  ． 18．（ 12 分） 【解析】（ 1）在 ABC 中，设 22BC AB a==，由余弦定理得， 2 2 2 22 cos 3AC BC AB BC AB ABC a= + −     = ， ∴ 222 ABACBC += ，∴ 90BAC = ，即 AC AB⊥ ， 又∵ ,,PA AB PA AD AB AD A⊥ ⊥ =I ，∴ PA ⊥平面 ABCD ， 又∵ AC  平面 ABCD，∴ PA AC⊥ ， 又∵ PA AB A=，∴ AC ⊥平面 PAB ， 又∵ 平面 PAC ，∴平面 PAC ⊥平面 PAB ； （2）由（1）可知，直线 ,,AB AC AP 两两垂直，故以 A 为原点， 分别以퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 퐴퐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,퐴푃⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间 直角坐标系，如图所示： 设 2BC = ， 则 (0,0,0), (0, 3,0)AC ， 13( , ,0)22D − ， (0,0,1)P ， 理科数学试卷 第 7 页（共 10 页） 20·LK·YG12 从而푃퐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, √3, −1)，퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 2 , √3 2 , 0)， 设 ),,( zyxn = 为平面 PCD 的一个法向量，则{푛⃗ ⋅ 푃퐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 푛⃗ ⋅ 퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ，即 30 13022 yz xy  −= += ， 令 1y = ，则 )3,1,3(−=n ， 由（1）可知， y 轴 ⊥ 平面 PAB ，故平面 PAB 的一个法向量 )0,1,0(=m ， ∴푐표푠 < 푚⃗⃗ , 푛⃗ >= 푚⃗⃗⃗ ⋅푛⃗ |푚⃗⃗⃗ ||푛⃗ | = √7 7 ，即平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 7 7 ． 19．（ 12 分） 【解析】（ 1） 1 (11+13+16+15+20+21)=166y = ，∴ 26 1 ( ) 76i i yy = −= ， 又∵ 6 2 1 ) 17.5i i xx = −=（ ， 6 1 )( ) 35ii i x x y y = − − =（ ， ∴相关系数 1 22 11 )( ) )( 35 35 0.96 17.5 76) 1330 n ii i nn ii ii x x y y r x x y y = == −− == − = −   （ （ ， 由于 y 关于 x 的相关系数 0.96 0.95r ， 这说明 关于 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合 与 的关系； 又 6 1 6 2 1 ( )( ) () 35ˆ 217.5 ii i i i x x y y xx b = = − == − = −   ，且 1 (1+2+3+4+5+6 )=3.56x = ， ∴ ˆˆ 16 2 3.5 9a y bx= − = −  = ，∴回归方程为 ˆ 29yx=+． （2） 18632 1823 1863 23 yy yyv =+ =  ，即调查材料最低成本为 1800 元，此时 y y 1863 23 = ， 所以 207y = ． （3） 可能的取值为 0，1，2，3， 且 3 3 3 6 ( 0) 1 20P C C = == ； 21 33 3 6 9( 1) 20 CC CP  === ； 12 33 3 6 9( 2) 20 CC CP  === ； 理科数学试卷 第 8 页（共 10 页） 20·LK·YG12 3 3 3 6 ( 3) 1 20P C C = ==． 所以 的分布列为 所以 1 9 9 1( ) 0 1 2 3 1.520 20 20 20E  =  +  +  +  = ． 20．（ 12 分） 【解析】（ 1）设 )0,(2 cF ，由题意得， 2 2 1 c a b  =  = ， 又 222 cba += ，所以有 2, 1ac==，故 E 的方程为 12 2 2 =+ yx ． （2）当直线l 的斜率为 0 时，则直线l 与 E 相切于短轴的一个顶点，由椭圆的对称性可知，直线 n 经过 x 轴上的点 2 (1,0)F ． 当直线l 斜率存在时，设其方程为 )0+= mmkxy （ ，将 mkxy += 代入 ， 得 0224)21( 222 =−+++ mkmxxk ， 0)22)(21(416 2222 =−+−= mkmk ， 整理得 12 22 += km ，从而 m k k kmxP 2 21 2 2 −=+−= ， 所以 myP 1= ，即 21( , )kP mm− ，所以퐹2푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (− 2푘+푚 푚 , 1 푚)． 设 1F 关于直线l 的对称点为 00( , )Q x y ，则有       +−= −=+ mxky kx y 2 1 2 1 1 00 0 0 ， 解得       + −−= + −−= 1 22 1 12 20 2 2 0 k mky k mkkx ，即 2 22 2 1 2 2( , )11 k mk k mQ kk − − −−++ ． 所以 22 2 2 2 2 2,)11( mk k m kFQ k +−−= −++ uuuur ． 理科数学试卷 第 9 页（共 10 页） 20·LK·YG12 又 ( ) ( ) 22 22 2 2 2 12 2 2 2 2 1( ) 011 1 kmk m k m mk m k k m mk +−+ − + − −  = =++ + ， 所以 22F P F Q uuuur uuuur ∥ ，即 P ，Q ， 2F 三点共线，所以直线 n 经过点 2 (1,0)F ． 当直线l 斜率不存在时，直线 n 即为 x 轴，也经过点 2F ． 综上，直线 经过 x 轴上一个定点 2 (1,0)F ． 21．（12 分） 【解析】（ 1） ( ) ( 2)xf x Ae x =+． ①当 0A  时，在( , 2)− − 上， ( ) 0fx  ，函数 ()fx单调递减；在( 2, )− + 上， ( ) 0fx  ，函数 单调递增； ②当 0A  时，在 上， ( ) 0fx  ，函数 单调递增；在 上， ( ) 0fx  ，函数 ()fx单调递减． 综上，当 0A  时，递减区间为 ，递增区间为 ；当 0A  时，递增区间为 ， 递减区间为 ． （2） ( ) 1 ( 1) 1kx x kx xg x ke k e k e e = − + − = − + − ， ∵ 0x  ，∴ 10xe − ， 当 0k  时，由于 ，所以 10kxe − ，即 ( ) 0gx  ， 当 0k  时，由于 ，所以 10kxe − ，即 ( ) 0gx  ， 当 0k = 时， ( ) 1 0xg x e = −  ， 综上，当 时，函数 ()gx单调递增， 所以由 2( ( )) ( 4 )g f x g x x+可得 2( ) 4f x x x+，即 2( 1) 4xA x e x x+  + ， 等价于 2 4 ( 1)x xxA ex + + ，即 2 max 4()( 1)x xxA ex + + ， 令 2 4() ( 1)x xxhx ex += + ， ， 则 2 2 ( 2)( 2 2)() ( 1)x x x xhx ex + + − =− + ， 理科数学试卷 第 10 页（共 10 页） 20·LK·YG12 由 ( ) 0hx = ，且 0x  ，得 31x =−， 当 0 3 1x  − 时， ( ) 0hx  ，函数 ()hx 单调递增；当 31x −时， ( ) 0hx  ，函数 ()hx 单调递 减． 所以 13 max( ) ( 3 1) 2h x h e −= − = ， 所以 132Ae− ，即 A 的取值范围为 13[2 , )e − + ． 选考题：请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分） 【解析】（ 1）∵ 2cos 4sin 0  + − = ，∴ 2 2 cos 4 sin 0    + − = ， ∴ 222 4 0x y x y+ + − = ，即 22( 1) ( 2) 5xy+ + − = ． （2）将直线l 的参数方程 1 cos , 2 sin xt yt   =+  =+ （t 为参数）代入C 的普通方程 22( 1) ( 2) 5xy+ + − = ， 得 2 4cos 1 0tt+ − = ， 则 12 4costt + = − ， 12 1tt =− ， 所以 ( )22 22 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2 16cos 2 18MP MQ t t t t t t + = + = + − = +  ， 所以 2232MP MQ+，即 22MP MQ+ 的最大值为32． 23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 【解析】（ 1）当 2−x 时，原不等式可化为 043 −− x ，无解； 当 12 − x 时，原不等式可化为 0− x ，从而 10  x ； 当 1x 时，原不等式可化为 02 −x ，从而 21  x ， 综上，原不等式的解集为 2,0 ． （2）由  2-)( 2xg 得 2 max( ) 2gx −， 又 ( ) ( ) 2 2 1 2 3g x f x x x x= − + = − − +  ， 所以 32-2  ，即 032-2 − ，解得 31 −  ， 所以  的取值范围为 3,1− ．