2020届二轮复习判断点在圆内外，向量应用最厉害学案（全国通用）

2020届二轮复习判断点在圆内外，向量应用最厉害学案（全国通用）

‎【题型综述】‎ 点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，则点在圆内；点在圆外；点在圆上．③方程法，已知圆的方程，点，则点在圆内；点在圆上；点在圆外.‎ 四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.‎ ‎【典例指引】‎ 类型一 向量法判定点与圆的位置关系 例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程； ‎ ‎(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，‎ 判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得 解得，‎ 所以椭圆E的方程为．‎ ‎(Ⅱ)设点AB中点为．‎ 由&‎ 所以从而.‎ 所以.‎ ‎ ,‎ 故 所以，故G在以AB为直径的圆外．‎ 所以不共线，所以为锐角.‎ 故点G在以AB为直径的圆外．&‎ 类型二 四点共圆应用问题 例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.‎ ‎（I）求C的方程；‎ ‎（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.‎ 类型三 动圆过定点问题 例3(2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程。‎ ‎（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：‎ ‎ 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎ （法2）由得，‎ ‎∵动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，&‎ 即，化简得 ①‎ 此时==，==，∴(,),‎ 由得(4，).&‎ 假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,‎ 设(,0)，则=0对满足①式的，恒成立.‎ ‎∵=(－,),=(4－，)，‎ ‎∴=0，整理得， ②‎ ‎∴，解得=1，‎ ‎∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.‎ ‎∵=(－1,),=(3，)，‎ ‎∴==0，&‎ ‎∴恒有， ∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.‎ 类型四 证明四点共圆 例4. 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎(Ⅰ)证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【扩展链接】‎ ‎1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.‎ ‎2.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①‎ ‎ ；②‎ 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设 过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①‎ ‎ ；②‎ 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）‎ 结论：椭圆过焦点弦长公式：‎ ‎3.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 ‎①. ‎ ‎②. ‎ ‎③.‎ ‎④.；‎ ‎⑤.；‎ ‎⑥.；‎