2020届四川省成都外国语学校高三12月月考数学（理）试题（解析版）

2020届四川省成都外国语学校高三12月月考数学（理）试题（解析版）

‎2020届四川省成都外国语学校高三12月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合交集的定义可得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（3，4），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先写出复数z代数形式，再根据复数的模以及除法运算法则求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查复数几何意义、复数的模以及复数除法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3．等比数列的前n项和为，若，则（ ）‎ A．15 B．30 C．45 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题设条件，得到，进而得到，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，等比数列的前n项和为，满足，‎ 则，所以，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式，及其前n项和的计算，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，如表是不同发芽天数的种子数的记录：‎ 发芽天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎≥8‎ 种子数 ‎8‎ ‎26‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎0‎ 统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）‎ A．2 B．3 C．3.5 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据数据以及中位数定义求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为这批种子共有个，，所以这组数据的中位数是3，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查中位数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的，则输出的S=（ ）‎ A．8 B．10 C．12 D．22‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据程序依次计算，直到跳出循环，输出结果，即可对照选择.‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出S的值为22.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6．已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先解不等式得p，q，再根据p是q的必要不充分条件得集合包含关系，列出不等式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 或，‎ 当时，或，当时，，‎ 因为是的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，所以.‎ 从而或，即.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查根据必要不充分条件求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎7．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将函数中x换为x-后化简即可.‎ ‎【详解】‎ 化解为 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ 正视图 侧视图 俯视图 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据三视图还原几何体，再根据圆锥与棱柱体积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，如图，‎ 其中半圆锥的底面半径为1，三棱柱的底面是一个边长为2的正方形，它们的高分别为：与2，则该几何体的体积.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三视图以及圆锥、棱柱体积公式，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎9．已知实数a，b满足不等式，则点与点在直线的两侧的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件列不等式，结合图象确定可行域，再根据几何概型概率求结果.‎ ‎【详解】‎ 若点A（1，-1）与点B（-1，-1）在直线的两侧，则，即，又实数a，b满足不等式，作出图象如图：‎ 由图可知，点A（1，-1）与点B（-1，-1）在直线的两侧的概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎10．正项数列的前n项和为，且，设，则数列的前2020项的和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得，代入化简，最后利用分组求和法求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以当时，，解得，‎ 当时，，‎ 所以 ，‎ 因为，所以，‎ 所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则数列的前2020项的和.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11．设函数满足则时，( )‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 函数满足，‎ ‎，令，‎ 则，‎ 由，得，令，‎ 则 在上单调递减，在上单调递增，‎ 的最小值为.‎ 又在单调递增，‎ 既无极大值也无极小值，故选D.‎ ‎【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.‎ ‎【方法点睛】‎ 本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.‎ ‎12．已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先作图确定四个根的范围，再举反例说明A不成立，根据不等式性质否定C,D,最后根据放缩法证B成立.‎ ‎【详解】‎ 方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作图如下：‎ 由图象可得，，故；‎ 因为D错误，‎ 若，则可取，但，所以A错误，‎ 因为，所以，‎ 即，，C错；‎ ‎，‎ 即，‎ ‎∴，∴.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数零点情况判断不等式，考查综合分析求解判断能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由得，所以.‎ ‎【考点】两角和的正切公式、二倍公式.‎ ‎14．向量满足，且，则的夹角的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量数量积化简模，再解三角不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 所以，故 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积定义以及向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15．在展开式中，的系数是________.‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】根据分步计数原理求的系数.‎ ‎【详解】‎ 因为 因此只可由得到，‎ 从而项系数为 故答案为：-8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据分步计数原理求展开式项的系数，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，过点（0，1）的直线l与双曲线交于两点A，B，若是直角三角形，则直线l的斜率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设直线方程与双曲线方程联立方程组，根据垂直条件，结合韦达定理求直线l的斜率.‎ ‎【详解】‎ 直线l的斜率显然存在，设直线为，联立双曲线：，消去y得：.‎ ‎①若，则，‎ 解得.‎ ‎②若（A在左支）设A点坐标（m，n）（），则，联立双曲线无解，故不可能出现。‎ ‎③若（B在右支），同理不可能 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与双曲线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求证：是等腰三角形；‎ ‎（2）若，且的周长为5，求的面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据正弦定理边化角有 ‎，据此可得，则，所以是等腰三角形； ‎ ‎（2）由（1）结合余弦定理可得：.的周长为，得.由面积公式可得的面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据正弦定理，由可得 ‎ ‎ ‎，‎ 即，故，由得，‎ 故，所以是等腰三角形； ‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 又因为的周长为，得.‎ 故的面积.‎ ‎18．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加，现将所有参加者按年龄情况分为等七组，其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人.‎ ‎（1）根据此频率分布直方图求N；‎ ‎（2）组织者从这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列、均值及方差.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，，‎ ‎【解析】（1）根据频率、频数与总数关系列式求解，‎ ‎（2）先确定这组的参加者人数，再确定随机变量，利用古典概型概率公式求对应概率，最后根据数学期望公式以及方差公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，这组频率为，所以；‎ ‎（2）根据题意，这组的参加者人数为，‎ 的可能取值为1，2，3，，，，‎ 的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图、古典概型概率公式、数学期望公式以及方差公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，，且.‎ ‎（1）若，求证：平面BDE；‎ ‎（2）若二面角为，求直线CD与平面BDE所成角.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求出平面BDE法向量，根据向量垂直坐标表示以及线面平行判定定理证明线面平行，‎ ‎（2）在（1）基础上利用向量数量积求出平面BDE以及平面法向量，根据向量数量积求出两法向量夹角，再根据二面角求出，最后利用空间向量求线面角.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取的中点，连接，，‎ 因为，，，为的中点，所以，。‎ 又因为平面平面，所以平面，因为是边长为2的正三角形，所以，；‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，因为，所以，。‎ 设平面的法向量，则 令，所以。‎ 因为，所以，‎ 又平面，所以平面。‎ ‎（2）设，则，。‎ 设平面的法向量，‎ 则 令，所以。‎ 又平面的法向量，‎ 所以，解得，即知平面的法向量。设直线与平面所成的角为，而，所以，所以，即直线与平面所成的角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用空间向量证线面平行、利用空间向量求二面角以及线面角，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，离心率为，的面积为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若M，N为y轴上的两个动点，且，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点.求证：直线ED过定点，并求出该定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）定点为，见解析 ‎【解析】（1）根据条件列关于方程组，解得结果，‎ ‎（2）先设，根据得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理解得E，D两点坐标，最后利用斜率公式证ED过定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意：，‎ ‎，‎ 所以，所以椭圆方程：；‎ ‎（2）设与交于，，‎ ‎，‎ 解得，‎ 设与交于，‎ 同理可得，所以，‎ ‎，‎ 所以，，三点共线。从而恒过定点，由于两条不同直线至多有1个交点，故定点为 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程以及直线过定点，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎21．如果函数满足且是它的零点，则函数 是“有趣的”，例如就是“有趣的”，已知是“有趣的”.‎ ‎（1）求出b、c并求出函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意正数x，都有恒成立，求参数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，单减区间为0，1），单增区间为；（2）‎ ‎【解析】（1）根据定义得方程恒成立，解得b、c，再根据复合函数单调性确定函数的单调区间；‎ ‎（2）先化简不等式，再求导数，根据导函数符号分类讨论,利用导数证明恒成立,再说明不恒成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为是“有趣的”，所以 即 的定义域为，单减区间为（0，1），单增区间为.‎ ‎（2）参数的取值范围为.‎ 引理：不等式对任意正数y都成立。证明如下：‎ 由恒成立，得恒成立。.‎ 我们构造函数。注意到。‎ 构造，注意到，且 我们以下分两部分进行说明：‎ 第一部分：时，恒成立。‎ 时，由引理得：，知道，‎ 从而当时有，时有，所以在（0，1）上为负，在上为正。‎ 从而在上单减，在上单增，最小值为。‎ 从而 第二部分：时，不满足条件。‎ 构造函数。‎ ‎（ⅰ）若，则对于任意，都有。‎ ‎（ⅱ）若，则对于任意，，‎ 而，所以在（0，1）上有唯一零点，同时在，时都有。‎ 于是只要，无论是（ⅰ）还是（ⅱ），我们总能找到一个实数，在时都有。‎ 这样在时，都有，结合，所以时，从而在时有。，所以时，不满足要求。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数单调性以及利用导数研究不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属难题.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系下，直线（为参数），以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线:，曲线:；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程为，由，两边同乘以，得曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得 ‎，即，由直线参数的几何意义知，‎ ‎.‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，‎ 由，‎ 即曲线的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得 ‎，即，‎ 设方程的两根分别为，则 ‎．‎ ‎【考点】极坐标与参数方程（互化）、直线参数几何意义．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若证明：‎ ‎【答案】（1）（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由零点分段法讨论的范围，解各个范围内的不等式，最后求并集即可求出解集.（2）由题意可知，即证，对两边平方，作差，根据（1）的结论即可证明结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 故或或，故不等式的解为.‎ ‎（2）证明：要证，只需证，‎ 即证（）.‎ 只需证：‎ 因为，‎ 所以只需证：，‎ 又由（1）知，，则，即，‎ 所以（）式显然成立，故原命题得证.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查分析法证明不等式，属于基础题.‎