高考数学专题复习练习：第十四章 14_2 第1课时绝对值不等式

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高考数学专题复习练习：第十四章 14_2 第1课时绝对值不等式

第1课时　绝对值不等式 ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪‎ ‎(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪‎ ‎(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎1．(2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．‎ 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.‎ ‎②当15；‎ 当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；‎ 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.‎ 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，].‎ 题型一　绝对值不等式的解法 例1　(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，‎ f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 思维升华　解绝对值不等式的基本方法有：‎ ‎(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎　(1)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集．‎ ‎(2)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－0时，－3或 解得x>.‎ ‎(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，‎ 即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．‎ 故当x∈[－2,2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，‎ 求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．‎ 思维升华　(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．‎ ‎　已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝－3时，f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.‎ ‎3．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．‎ 解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，‎ 所以|3a－3b|≤3，|a－|≤，‎ 所以|4a－3b＋2|＝|(3a－3b)＋(a－)＋|‎ ‎≤|3a－3b|＋|a－|＋≤3＋＋＝6，‎ 即|4a－3b＋2|的最大值为6，‎ 所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.‎ ‎4．已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．‎ 解　由题意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立，即(|x－3|＋|x－7|)min>m，由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m<4.‎ ‎5．(2016·江苏)设a＞0，＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.‎ 证明　由a＞0，|x－1|＜可得|2x－2|＜，‎ 又|y－2|＜，‎ ‎∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a.‎ 即|2x＋y－4|＜a.‎ ‎6．已知关于x的不等式|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集．‎ 解　由不等式|2x－m|≤1，可得≤x≤，‎ ‎∵不等式的整数解为2，‎ ‎∴≤2≤，解得3≤m≤5.‎ 再由不等式仅有一个整数解2，∴m＝4.‎ 本题即解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，‎ 当x<1时，不等式等价于1－x＋3－x≥4，‎ 解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．‎ 当1≤x≤3时，不等式等价于x－1＋3－x≥4，‎ 解得x∈∅，不等式解集为∅.‎ 当x>3时，不等式等价于x－1＋x－3≥4，‎ 解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．‎ 综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)在图中画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ 解　(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ ‎8．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，‎ 当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；‎ 当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；‎ 当－3－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)－1，则－<，‎ ‎∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|‎ ‎＝ 当x∈时，f(x)＝a＋1，‎ 即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．‎ ‎∴a＋1≤－＋3，即a≤，‎ ‎∴a的取值范围为. ‎
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