2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期中考试数学试题 Word版

2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期中考试数学试题 Word版

2018-2019 学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期 中考试数学试题 考试时间：120 分钟 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．设集合 ，则集合 ( ) A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是（ ） A． B． C． D． 3．已知 是两个不同平面， 为 内的一条直线，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． { } { }3,2,1,0,20| =≤<= BxxA =BA { }1,0 { }2,1,0 { }2,1 { }3,2,1    ≥−+ ≤ ≥+− 02 2 042 yx x yx 3 6 9 12 βα、 m α β//m βα // 33 += xy ( )2,1− 033 =++ yx 033 =+− yx 03 =− yx 053 =+− yx 2 3 1 2 1 2 2 2 3 xxy ln2 += 7．已知 中， 且， ，则 是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．正三角形或直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 8．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 9．若两个正实数 满足 ，且存在这样的 使不等式 有解， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如图所示， 垂直于圆 所在的平面， 是圆 的直径， ， 是圆 上的一点， 分别是点 在 ， 上的投影，当三棱锥 的体积最 大时， 与底面 所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题:本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.把答案填在题中 的横线上. 11．函数 的定义域为_________；值域为_______． ABC∆ BABA tantan33tantan =++ 4 3cossin =BB ABC∆ mxy += 422 =+ yx NM, 22≥MN m [ ]2,2− [ ]4,4− [ ]2,0 )22,2[]2,22( −− yx, 141 =+ yx yx, mmyx 34 2 +<+ m ( )4,1− ( )1,4− ( ) ( )+∞−∞− ,14,  ( ) ( )+∞−∞− ,03,  PA O AB O 2== ABPA C O FE、 A PB PC AEFP − PC ABC 2 3 2 2 3 3 2 1 1 1)( − = x xf 12．已知直线 ： ，若 的倾斜角为 ，则实数 _______；若直线 与直 线 垂直，则实数 _______． 13．（1） ______；（2） _______． 14．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）等于 _______；表面积（单位： ）等于__________． 15．已知平面向量 满足 ，且 ，则 16．如图，平面四边形 中， ， ， 则 的面积 为__________． 17．当 时，不等式 恒成立，则 的最大值是 __________． 三、解答题：本大题共 小题，共 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．如图，以 为始边作角 与 ，它们的 终边分别与单位圆相交于点 ，已知点 的坐标为 l 05 =−+ myx l 45 =m l 012 =−− yx =m =+ 25lg2lg2 =−    + 4 1log4 127 8 3log 3 2 2 cm 3cm 2cm ba , ( ) 3=+⋅ bab  2,1 == ba  ._____=+ ba  ABCD 3,22,5 === CDADAB 120=∠BCD ,30=∠CBD ADC∆ S    ∈ 4,2 3x xabxax 242 ≤++ ba +6 5 74 Ox α ( )παββ <<<0 QP、 P ． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值. 19．已知正项等比数列 中， ，且 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 20．已知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间和极值； （2）若 在 上是单调函数，求实数 的取值范围． 21．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，若点 在 上，点 在 上， 且 是边长为 的正三角形． （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 两点，若 ，求 的面积．     − 5 4,5 3 αα αα cossin sin5cos3 − + OQOP ⊥ ββ cos4sin3 − { }na 2 1 1 =a 1,, 432 −aaa { }na 2 2log4 nn ab =−       +1 1 nnbb n nT xaxxf ln)( 2 += 2−=a )(xf xxfxg 2)()( += ),1[ +∞ a C ( )022 >= ppxy F l P C E l PEF∆ 8 C ( )0,1 n C BA, 23−=⋅ FBFA FAB∆ 22．已知函数 （1）若 ，是否存在 ，使得 为偶函数， 如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由； （2）若 ，判断 在 上的单调性，并用定义证明； （3）已知 ，存在 ，对任意 ，都有 成立， 求 的取值范围. .)(,)( 21 bxax exfexf == − )()()()( 221 xbfxfxfxf −++= Rba ∈、 )(xfy = 1,2 == ba )()()( 21 xfxfxg += )1,(−∞ )2ln,0[∈b [ ]1,00 ∈x [ ]1,0∈x 1)()( 021 <− xfxf a 参考答案 一：选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D C A C A C D 二：填空题 11． ， ； 12． ， ； 13．2， 10； 14． ， ； 15． ； 16． ； 17．6 二：解答题 18．（1）由题得 ………6 分 （2）由题得 ,所以 ， ， 所以 ，所以 ………14 分 19．（1）设等比数列 的公比为 ，因为 成等差数列， 所以 ，得 ， ………2 分 又 ，则 ，即 ， 化简整理得 显然 ，所以 ，解得 故数列 的通项公式 ………7 分 （2）由（1）知， 所以 ( )+∞,1 ( )+∞,0 1− 2 1 3 16 5420 + 3 2 33+ 5 4sin,5 3cos =−= αα 7 11 cossin sin5cos3 =− +∴ αα αα 2 πβα =− βπα += 2 βαβα cossin,sincos =−=∴ 5 4cos,5 3sin == ββ 5 7 5 16 5 9cos4sin3 −=−=− ββ { }na q 1,, 432 −aaa 12 423 −+= aaa 12 3 11 2 1 −+= qaqaqa 2 1 1 =a 12 1 2 1 2 12 32 −+=× qqq 22 32 −+= qqq ( )( ) 012 2 =+− qq 01 2 ≠+ q 02 =− q 2=q { }na 21 1 2 −− == nn n qaa nnab n nn 24)2(242log24log 2 2 2 2 =+−=+=+= − ( )      +−=+⋅= + 1 11 4 1 122 11 1 nnnnbb nn 则 ………15 分 20．（1）易知，函数 的定义域为 当 时， ………2 分 当 变化时， 和 的值的变化情况如下表： 1 - 0 + 递减 极小值 递增 ………4 分 由上表可知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，极小值是 ………6 分 （2）由 ，得 又函数 为 上单调函数， ①若函数 为 上的单调增函数， 则 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立． 得 在 上恒成立， 而 在 上的最大值为 ，所以 ………11 分 ②若函数 为 上的单调减函数， 根据①，在 上 ， 没有最小值      +−=         +−++     −+     −+     −= 1 114 1 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 114 1 nnnTn  ( )14 +=∴ n nTn )(xf ( )+∞,0 2−=a ( )( ) x xx xxxf 11222)( −+=−=， x )(xf ， )(xf x ( )1,0 ( )+∞,1 )(xf ， )(xf )(xf ( )1,0 ( )+∞,1 1)1( =f xxaxxg 2ln)( 2 ++= 2 22)( xx axxg −+=， xxaxxg 2ln)( 2 ++= ),1[ +∞ )(xg ),1[ +∞ 0)( ≥xg， ),1[ +∞ 022 2 ≥−+ xx ax ),1[ +∞ 222 xxa −≥ ),1[ +∞ ( ) 222 xxx −=ϕ ),1[ +∞ ( ) 01 =ϕ 0≥a )(xg ),1[ +∞ ),1[ +∞ ( ) ( ) 01max == ϕϕ x ( )xϕ 所以 在 上是不可能恒成立的 ………14 分 综上， 的取值范围为 ………15 分 21．（1）由题知， ，则 ．设准线 与 轴交于点 ，则 ． 又 是边长为 的等边三角形， ， ， ，即 ． 抛物线 的方程为 ； ………5 分 （2）设过点 的直线 的方程为 ， ………7 分 联立 ，得 ． 设 ， ，则 ， ． ………9 分 ． ． 由 ，得 ， 解得 ． ………12 分 不妨取 ，则直线方程为 ． ． 而 到直线 的距离 ． ………14 分 的面积为 ． ………15 分 22．（1）存在 使 为偶函数， 0)( ≤xg， ),1[ +∞ a ),0[ +∞ PEPF = lPE ⊥ l x D DFPE // PEF∆ 8 60=∠PEF 60=∠∴ EFD 42 18cos =×=∠= EFDEFDF 4=p ∴ C xy 82 = ( )0,1 n 1+= tyx    += = 1 82 tyx xy 0882 =−− tyy ( )11, yxA ( )22 , yxB tyy 821 =+ 821 −=yy ( )( ) ( ) 1111 2121 2 2121 =+++=++= yytyyttytyxx ( ) 282 2 2121 +=++=+ tyytxx 23−=⋅ FBFA ( )( ) ( )( ) 21212211 22,2,2 yyxxyxyx +−−=−− ( ) ( ) 2384282142 2 212121 −=−++−=+++−= tyyxxxx 1±=t 1=t 01=−− yx ( ) 38328241 2 21 2 21 2 =+⋅=−+⋅+= yyyytAB F 01=−− yx 2 2 2 12 =−=d FAB∆∴ 622 2382 1 =×× 1,0 == ba )(xfy = 此时： ， 证明： 的定义域为 关于原点对称， 且 为偶函数。 注：也可以 ………3 分 （2） ，且 ， ， 在 上为减函数 证明：任取 ，且 ， ，即 在 上为减函数 ………7 分 （3） , , 对任意 ，存在 ，使得 成立， 即存在 ，使得 ， ………9 分 当 时， 为增函数或常函数， 此时 ，则有 恒成立 ………10 分 当 时， ……12 分 xxx eeexf −++=)( )(xfy = R )()( xfeeeeeexf xxxxxx =++=++=− −−− )(xfy =∴ 0,0 == ba xx eexfxfxg +=+= −2 21 )()()( 1>>∴<< +  ( ) ( ) 021 >−∴ xgxg ( ) ( )21 xgxg > )(xgy =∴ )1,(−∞ ( ) ( ) 1021 <− xfxf ( ) ( ) ( ) 11 1021 +<<−∴ xfxfxf ∴ [ ]1,0∈x [ ]1,00 ∈x ( ) ( ) ( ) 11 1021 +<<− xfxfxf [ ]1,00 ∈x ( )( ) ( ) ( )( )min102max1 11 +<<− xfxfxf 2ln0 <≤ b ( )xf2 ( ) 21 02 <≤≤∴ bexf ( )( ) 211 0 min1 =+≥+ exf ( ) ( )( )min102 1+< xfxf 2 1≤a ( ) ( ) aefxf −== 1 1max1 1 ab ee −>+∴ 11 ( )1ln1 +−>∴ bea ( ) 2 1ln2ln1ln =>≥+ eeb  ( ) 2 11ln1 <+−∴ be ( ) ]2 1,1ln1( +−∈∴ bea 当 时， ………14 分 综上所述：. ………15 分 2 1>a ( ) ( ) aefxf == 01max1 ab ee >+∴ 1 ( )1ln +<∴ bea ( ) 2 1ln2ln1ln =>≥+ eeb  ( ) 2 11ln1 <+−∴ be ( )     +∈∴ 1ln,2 1 bea ( ) ( )( )1ln,1ln1 ++−∈ bb eea