数学卷·2018届贵州省遵义市南白中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届贵州省遵义市南白中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！遵义市南白中学2017-2018-1高三第一次联考 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由不等式解得A=(−2,1)，B=(−1,3)，∴A∪B=(−2,3).‎ 本题选择B选项.‎ ‎2. 复数等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题选择C选项.‎ ‎3. 的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4. 命题，，则为( )‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】命题，是特称命题，其否定应为全称命题，其否定为：，.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. 设等差数列的前项和为，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】等差数列中，‎ 本题选择D选项.‎ ‎6. 20世纪30年代为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中为被测地震的最大振幅，是标准地震振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？( )‎ A. 10倍 B. 20倍 C. 50倍 D. 100倍 ‎【答案】D ‎【解析】设7级地震的最大震级为A1，5级地震的最大振幅为A2，则：‎ 所以.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7. 一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的最大值为( )‎ A. B. 1 C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图知：当x⩽2时，则得xmax=1；‎ 当x>2时，，‎ 本题选择B选项.‎ ‎8. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形的顶点被阴影遮住，请找出 点的位置，计算的值为( )‎ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，‎ 据此可得：,‎ 结合平面向量的平行四边形法则有：，‎ 则：。‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎9. 点集，，在点集中任取一个元素，则的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，阴影部分为满足题意的部分，其面积为，‎ 概率空间为正方形的面积，，‎ 利用几何概型计算公式可得满足题意的概型为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此即可求得概率.‎ ‎10. 某实心几何体是用棱长为的正方体无缝粘合而成，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合三视图可得：该几何体是由三个几何体组成的组合体，从上到下依次为：‎ 长宽高为的长方体，长宽高为的长方体，棱长为1的正方体，‎ 据此可得其表面积为：‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎11. 函数()是奇函数，且图象经过点，则函数的值域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数为奇函数，则：，①‎ 函数过点，则：，②‎ 结合①②可得：，‎ 则，结合函数的单调性可得函数 单调递增，‎ 且当时，‎ 结合奇函数的性质可得函数的值域为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12. 椭圆的左顶点为，右焦点为，过点且垂直于轴的直线交于两点，若，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设P位于第一象限，由结合椭圆方程可得：，‎ 则：，‎ 则：，‎ 结合图形的对称性结合二倍角公式可得：‎ ‎，‎ 结合整理可得：，‎ 据此得到关于离心率的方程：，‎ 分解因式有：，‎ 结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，即，填-3.‎ ‎14. 实数满足条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标还是在点处取得最大值.‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎15. 展开式中的系数为，则展开式中的系数和为__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】的展开式的通项是，令9-2r=3,解得r=3，‎ ‎∵展开式中的系数为， ，‎ 令x=1，得展开式的系数和为0.‎ ‎16. 已知函数，曲线在点处的切线与轴的交点的纵坐标为，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数求导可得：，‎ 则，‎ 且：，‎ 曲线在处的切线方程为，‎ 令可得：，‎ 即，‎ 错位相减可得其前n项和为.‎ 点睛：在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．‎ 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，内角的对边成公差为2的等差数列，.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求边上的高的长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由等差数列的性质可得，，结合余弦定理可得关于实数a的 方程，解得.‎ ‎(2)利用面积相等的关系可得边上的高的长是．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意得，，‎ 由余弦定理得，‎ 即，∴或(舍去)，∴.‎ ‎(2)解法1由(1)知，，，由三角形的面积公式得：‎ ‎，∴，‎ 即边上的高.‎ 解法2：由(1)知，，，‎ 由正弦定理得，即，‎ 在中，，即边上的高.‎ ‎18. 某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名学生进行问卷计分调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图：‎ ‎(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男女生打分的分散程度；‎ ‎(2)从打分在80分以上的同学随机抽3人，求被抽到的女生人数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)69, 女生打分比较集中，男生打分比较分散(2)分布列见解析，‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合茎叶图计算可得男生打的平均分为，观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散；‎ ‎(2)由题意可得的可能取值为1，2，3，结合超几何概型的概率公式即可求得分布列，然后计算可得数学期望为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)男生打的平均分为：‎ ‎，‎ 由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散；‎ ‎(2)因为打分在80分以上的有3女2男，‎ ‎∴的可能取值为1，2，3，‎ ‎，，， ‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ 点睛：(1)求解本题的关键在于：①从茎叶图中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．‎ ‎(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③‎ 从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．‎ ‎19. 如图，是圆柱的上、下底面圆的直径，是边长为2的正方形，是底面圆周上不同于两点的一点，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合几何关系可证得，，结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值是．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由圆柱性质知：平面，‎ 又平面，∴，‎ 又是底面圆的直径，是底面圆周上不同于两点的一点，∴，‎ 又，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解法1：过作，垂足为，由圆柱性质知平面平面，‎ ‎∴平面，又过作，垂足为，连接，‎ 则即为所求的二面角的平面角的补角，‎ ‎，易得，，，‎ ‎∴，‎ 由(1)知，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ 解法2：过在平面作，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵，，∴，∴，，，‎ ‎∴，，‎ 平面的法向量为，设平面的法向量为，‎ ‎，即，取，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ 解法3：如图，以为原点，分别为轴，轴，圆柱过点的母线为轴建立空间直角坐标系，则 ‎，，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，，即，令，则，，‎ ‎∴，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，，即，令，则，.‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ 解法4：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系：‎ ‎∵，，∴，∴，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ ‎∴，，‎ 即，，‎ ‎，取，‎ ‎∴.‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ ‎20. 过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点.‎ ‎(1)若，求直线的方程；‎ ‎(2)若点关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】(1) （2）定点 ‎【解析】试题分析: (1)由题意可得焦点的坐标为，设的方程为代入抛物线得,再由韦达定理与焦点比率公式,可求得k.(2),所以，直线的斜率为，直线的方程为，代入，化简得，恒过.‎ 试题解析:(1)的坐标为，设的方程为代入抛物线得 ‎，‎ 由题意知，且，‎ 设，，∴，，‎ 由抛物线的定义知 ,‎ ‎∴，∴，即，∴直线的方程为.‎ ‎（2）直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即，‎ ‎∵，，∴，‎ 即(因为异号)，‎ ‎∴的方程为，恒过.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)若函数有且只有一个零点，求实数的值；‎ ‎(2)证明：当时，.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)讨论函数的单调性可得满足题意时，解得.‎ ‎(2)结合(1)的结论不妨设，结合函数的性质即可证得题中的不等式.‎ 试题解析：‎ ‎(1)方法1：，，‎ 时，；时，；时，；‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，∵有且只有一个零点，‎ 故，∴.‎ 方法2：由题意知方程仅有一实根，‎ 由得()，‎ 令，，‎ 时，；时，；时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 所以要使仅有一个零点，则.‎ 方法3：函数有且只有一个零点即为直线与曲线相切，设切点为，‎ 由得，∴，∴，‎ 所以实数的值为1.‎ ‎(2)由(1)知，即当且仅当时取等号，‎ ‎∵，令得，，‎ ‎，‎ 即.‎ ‎22. 曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的直角坐标方程，并且用(为直线的倾斜角，为参数)的形式写出直线的一个参数方程；‎ ‎(2)与是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (为参数). (2)相交， ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得的直角坐标方程为，直线的一个参数方程为(为参数)；‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程，很明显直线与椭圆有两个交点，且两交点的距离是．‎ 试题解析：‎ ‎(1)的直角坐标方程为，‎ 由得，直线的倾斜角为，‎ 过点，故直线的一个参数方程为(为参数)‎ ‎(2)将的参数方程代入的直角坐标方程得 ‎，，，‎ 显然与有两个交点且.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎(1)解不等式的解集；‎ ‎(2)记(1)中集合中元素最小值为，若，且，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) 4‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)零点分段可得解不等式的解集；‎ ‎(2)由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的不等式，注意等号成立的条件.‎ 试题解析：‎ ‎(1)，即为，‎ ‎∴或即 ‎∴.‎ ‎(2)由(1)知，即，且，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当时，取得最小值4.‎ ‎ ‎