广东省肇庆市2020届高中毕业班第二次统一检测数学（理科）试题（扫描版）

广东省肇庆市2020届高中毕业班第二次统一检测数学（理科）试题（扫描版）

1 / 8 2020 届高中毕业班第二次统一检测题 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D B B C B C C A A B 二、填空题 13． 2- 14． 1- 或 4- 15． 2 3 3 16． 68p 三、解答题 （17）（本小题满分 10 分） 解：（1）由 sin sin sin sinb B a C a A c C+ = + 及正弦定理 可得 2 2 2b ac a c+ = + （2 分） 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b b ac bB ac ac + - + -= = = （4 分） 又因为 ( )0,B pÎ ，所以 3B p= （6 分） （2）因为 1 1 3 3sin2 2 2 4ABCS ac B aD = = ´ = （8 分） 所以 1a = . （9 分） 又因为 1, 3a c B p= = = ，所以 ABCD 是等边三角形，所以 3C p= （12 分） （18）（本小题满分 12 分） （1）由频率分布直方图可得： ( ) ( )12 16 0.29 0.11 2 0.8 0.6826P X< < = + ´ = > （1 分） ( ) ( )10 18 0.04 0.29 0.11 0.03 2 0.94 0.9544P X< < = + + + ´ = < （2 分） ( ) ( )8 20 0.005 0.04 0.29 0.11 0.03 0.015 2 0.98 0.9744P X< < = + + + + + ´ = < （3 分） 由上述可知：符合①，不符合②③，故该生产线需要检修． （5 分） （2）由（1）知 ( ) 472 2 0.94 50P Xm s m s- < < + = = 2 / 8 所以从该生产线加工的产品中任意抽取一件次品的概率为 30.06 50= 且 32, 50Y Bæ ö ç ÷è ø ， （7 分） 所以 ( ) 247 22090 50 2500P Y æ ö= = =ç ÷è ø ( ) 1 2 47 3 282 1411 =50 50 2500 1250P Y C= = ´ = ( ) 23 92 50 2500P Y æ ö= = =ç ÷è ø （10 分） 分布列如下 Y 0 1 2 P 2209 2500 282 2500 9 2500 2209 282 9 30 1 22500 2500 2500 25EY = ´ + ´ + ´ = （或 3 32 50 25EY nP= = ´ = ） （12 分） （19）（本小题满分 12 分） （1）证明：连接 AC 交 BD于G ，则G 是 AC 的中点，连接 EG ， （1 分） 则 EG 是 PACD 的中位线，所以 / /PA EG ， （2 分） 有因为 ,PA EDB EG EDBË Ì面 面 ， 所以 / /PA 平面 EDB （4 分） （2）法一：如图以 D 为原点， , ,DA DC DP 方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴 正半轴建立空间直角坐标系。设 DA a= ，则 ( ),0,0A a ， ( ),1,0B a ， ( )0,1,0C ， ( )0,0,1P ， 1 10, ,2 2E æ ö ç ÷è ø ， ( ),1, 1PB a= - ，设 ( )= , ,PF tPB at t t= - ，则 ( ), ,1F at t t- ， 1 1, ,2 2EF at t tæ ö= - -ç ÷è ø 3 / 8 又 EF PB^ ，即 =0EF PB ，解得 2 1 2t a= + ……① （6 分） 设 ( ), ,n x y z= 是平面 DEF 的一个法向量，则 0 0 n DE n DF ì =ïí =ïî 即 ( ) 02 2 1 0 y z atx ty t z ì + =ïí ï + + - =î ，方程的一组解为 2 1 1 1 tx at y z -ì =ï ï = -í ï =ï î （8 分） 显然 DP是面 ABCD 的一个法向量，依题意有 2 1 1cos 3 22 1 1 1 DP n DP n t at p= = = -æ ö + +ç ÷è ø ，得 22 1 =2t at -æ ö ç ÷è ø ，结合①式得 2a = （10 分） 因为 PD ^底面 ABCD ，所以 PADÐ 是 PA 与面 ABCD 所成的角， 3sin 3 PDPAD PAÐ = = （12 分） （2）法二：如图以 D 为原点， , ,DA DC DP 方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正半轴建立空间 直角坐标系。设 DA a= ，则 ( ),0,0A a ， ( ),1,0B a ， ( )0,1,0C ， ( )0,0,1P ， 1 10, ,2 2E æ ö ç ÷è ø ， ( ),1, 1PB a= - ， 因为 0PB DE = ，所以 PB DE^ ， （6 分） 又因为 EF PB^ ， EF DE E= ，所以 PB ^ 面 DEF ，所以 PB 是平面 DEF 的一个法 向量， （8 分） 显然 DP是面 ABCD 的一个法向量，依题意有 2 1 1cos 3 21 1 DP PB DP PB a p= = = + + ，解得 2a = （10 分） 因为 PD ^底面 ABCD ，所以 PADÐ 是 PA 与面 ABCD 所成的角， 3sin 3 PDPAD PAÐ = = （12 分） 4 / 8 （2）法三：因为 PD ^面 ABCD ， BC ABCDÌ 面 ，所以 PD BC^ ， 又 ,BC CD CD PD D^ = ，所以 BC PCD^ 面 ， 又 DE PCDÌ 面 ，所以 DE BC^ 因为 PD CD= ， E 是 PC 的中点，所以 DE PC^ ， （6 分） 所以 DE PBC^ 面 ，所以 DE PB^ 又因为 EF PB^ ， EF DE E= ，所以 PB ^ 面 DEF ，所以 PB 是平面 DEF 的一个法 向量， （8 分） 显然 DP是面 ABCD 的一个法向量，依题意有 2 1 1cos 3 21 1 DP PB DP PB a p= = = + + ，解得 2a = （10 分） 因为 PD ^底面 ABCD ，所以 PADÐ 是 PA 与面 ABCD 所成的角， 3sin 3 PDPAD PAÐ = = （12 分） （20）（本小题满分 12 分） 解：（1）依题意可得 22, 2 cb a= = ，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 c a b a a a a - -= = = ， 得 2a = ，所以椭圆的方程是 2 2 14 2 x y+ = （3 分） （2）法一：设 ( )1 1,A x y ， ( ),D DD x y ，则 ( )1 1,B x y- - ， ( )1,0E x ， 直线 BE 的方程为 ( )1 1 12 yy x xx= - ， （4 分） 与 2 2 14 2 x y+ = 联立得 2 2 2 21 1 1 2 1 1 1 4 02 2 y y yx xx x æ ö+ - + - =ç ÷ è ø ， （6 分） 因为 Dx ， 1x- 是方程的两个解，所以( ) 2 1 2 21 1 12 22 1 11 2 1 4 82 21 2 D y yx x xx yy x - -- = = +æ ö+ç ÷è ø （7 分） 又因为 2 2 1 1 14 2 x y+ = ， 5 / 8 所以 2 1 12 1 8 3 8D yx xy -= - ，代入直线方程得 3 1 2 13 8D yy y -= - （9 分） 3 1 1 2 2 1 1 1 2 2 11 1 1 12 1 3 8 2 4 18 3 8 AB AD yyy y yk k yx xx xy + - -= = = --- - （11 分） 所以 AB AD^ ，即 ABDD 是直角三角形. （12 分） （2）法二：设 ( )1 1,B x y ， ( )2 2,D x y ，则 ( )1 1,A x y- - ， ( )1,0E x- 设直线 BD的方程为 y kx m= + ， （4 分） 与 2 2 14 2 x y+ = 联立得 ( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m+ + + - = （6 分） 1 2 2 4 1 2 kmx x k+ = - + （7 分） ( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2AD kx m kx my y mk kx x x x x x k + + ++= = = + = -+ + + （9 分） 1 12BE yk k x= = ， 1 1 =2AB yk kx= ， （10 分） 所以 = 1AB ADk k - （11 分） 所以 AB AD^ ，即 ABDD 是直角三角形. （12 分） （2）法三：设 ( )1 1,B x y ， ( )2 2,D x y ，则 ( )1 1,A x y- - ， ( )1,0E x- 设 1 1 = 2BD BE yk k kx= = ，则 1 1 =2AB yk kx= （5 分） 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 AD BD y y y y y yk k x x x x x x + - -= =+ - - 因为 ( )1 1,B x y ， ( )2 2,D x y 在椭圆上，满足椭圆方程，所以 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1= 24 2 4 2AD BD y y y yk k x x y y - -= = -- - - - （9 分） 所以 1= 2ADk k- ， （10 分） 6 / 8 所以 = 1AB ADk k - （11 分） 所以 AB AD^ ，即 ABDD 是直角三角形. （12 分） （21）（本小题满分 12 分） 解：（1） ( ) ( ) 22 1 1' 2 2 2a x ax af x x a x x + - + += - + = （1 分） 令 ( ) 2 1g x x ax a= - + + 当 ( )2 4 1 0a aD = - + £ 时，即 2 2 2 2 2 2a- £ £ + 时， ( ) 0g x ³ 恒成立， 所以 ( )f x 的单调增区间是( )0,+¥ ，无减区间. （2 分） 当 ( )2 4 1 0a aD = - + > 时，即 2 2 2a > + 或 2 2 2a < - ， 设 ( )g x 的两个零点为 2 1 4 4= 2 a a ax - - - ， 2 2 4 4= 2 a a ax + - - 若 2 2 2a > + ，因为 1 2 1 20, 1 0x x a x x a+ = > = + > ，所以 1 2,x x 都大于 0， 所以当 ( )10,x xÎ 时 ( ) 0g x > ， ( )f x 单调递增 当 ( )1 2,x x xÎ 时 ( ) 0g x < ， ( )f x 单调递减 当 ( )2,x xÎ +¥ 时 ( ) 0g x > ， ( )f x 单调递增 （3 分） 若 2 2 2a < - ， 1 2 0x x a+ = < ，当 1 2 1 0x x a= + ³ 即 1 2 2 2a- £ < - 时， 1 2,x x 都不为 正数，所以当 ( )0,xÎ +¥ 时 ( ) 0g x > ， ( )f x 单调递增. （4 分） 当 1 2 1 0x x a= + < 时，即 1a < - 时， 1 20x x< < ， 所以当 ( )20,x xÎ 时 ( ) 0g x < ， ( )f x 单调递减 当 ( )2,x xÎ +¥ 时 ( ) 0g x > ， ( )f x 单调递增. （5 分） 综上所述，当 1a < - 时， ( )f x 的单调递减区间为 2 4 40, 2 a a aæ ö+ - -ç ÷ç ÷è ø ， ( )f x 的单调递 增区间为 2 4 4 ,2 a a aé ö+ - - +¥÷ê ÷êë ø ， 7 / 8 当 1 2 2 2a- £ £ + 时， ( )f x 的单调增区间是( )0,+¥ ，无减区间. 当 2 2 2a > + 时， ( )f x 的单调递减区间为 2 24 4 4 4,2 2 a a a a a aæ ö- - - + - -ç ÷ç ÷è ø ( )f x 的单调递增区间为 2 4 40, 2 a a aé ö- - - ÷ê ÷êë ø ， 2 4 4 ,2 a a aé ö+ - - +¥÷ê ÷êë ø （6 分） （2）不妨设 2 10 x x< < ，要证明 ( ) ( )1 2 1 2 2f x f x x x - >- ，只需证明 ( ) ( )1 2 1 22 2f x f x x x- > - ，只需证明 ( ) ( )1 1 2 22 2f x x f x x- > - 令 ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 2 1 lnh x f x x x a x a x= - = - + + + （8 分） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1' 2 2 1 4 2 1 2 1 2 1a ah x x a x a a ax x + += - + + > - + = + - + 因为 1 3a- < < ，所以0 1 2a< + < ， ( )' 0h x > （11 分） ( )h x 在( )0,+¥ 是增函数，所以 2 10 x x< < 时 ( ) ( )2 1h x h x< ， 即 ( ) ( )1 1 2 22 2f x x f x x- > - （12 分） （22）（本小题满分 10 分） 解：（1）当 2a p= 时，l 的普通方程为 1x = ； （1 分） 当 2a p¹ 时，l 的普通方程为 ( )2 tan 1y xa- = - ， 即( )tan 2 tan 0x ya a- + - = （或者直接得出( ) ( )sin cos sin 2cos 0x ya a a a- - + = ） （3 分） 由 2 4 1 3cos r q = + 得 2 2 2 2 2 23 cos 3 16x y xr r q+ = + + = 即 2 2 14 16 x y+ = （5 分） （2）将 1 cos , 2 sin , x t y t a a = +ì í = +î 代入 2 2 14 16 x y+ = 整理得 ( ) ( )2 21 3cos 8cos 4sin 8 0t ta a a+ + + - = （7 分） 8 / 8 依题意得 1 2 0t t+ = ，即 2 8cos 4sin 01 3cos a a a +- =+ ，即8cos 4sin =0a a+ （9 分） 得 tan 2a = - 直线l 的斜率为 2- （10 分） （23）（本小题满分 10 分） 解：（1）原不等式等价于 1 1 3x x- + + > ， 当 1x ³ 时，可得 1 1 3x x- + + > ，得 3 2x > ； （1 分） 当 1 1x- < < 时，可得 1 1 3x x- + + + > ，得 2 3< 不成立； （2 分） 当 1x £ - 时，可得 1 1 3x x- + - - > ，得 3 2x < - ； （3 分） 综上所述，原不等式的解集为 3 3| 2 2x x xì ü< - >í ýî þ 或 （5 分） （2） 1 1 1( ) | | | |f x x a x a aa a a= - + + ³ + = + （7 分） 当且仅当( ) 1 0x a x a æ ö- + £ç ÷è ø 时等号成立 （8 分） 又 1 12 2a aa a+ ³ = ，当且仅当 1a = 的时等号成立 所以 ( ) 2f x ³ （10 分）