全国高中数学联赛模拟试题第一试试题
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题
一、选择题
1、对任意一组非负实数a1,a2,…,an，规定a1=an+1，若有恒成立，则实数λ的最大值为_________.
A．0 B. C．1 D．
2、已知A，B，C为ΔABC的三个内角，记y=sin3A+sin3B+sin3C，则y的取值范围是______。
A．[0，2] B． C．[-2，2] D．
3、若p,q∈N+且p+q>2007, 0
0, y>0，且02，数列{an}定义如下：a0=1, a1=a, an+1=，证明：对任何k∈N，有。
15、设抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点F作一条弦AB，设AO，BO延长线分别交准线于C，D，若四边形ABCD的面积的最小值为8，试求此抛物线的方程。
以下是答案
一、选择题
1、C． 因为，所以
又当a1=a2=…=an时，“=”成立，所以λ最大为1。
2、B． 当A=B→，C→0时，y→-2，设A≥B≥C，则C≤，所以sin3C≥0,所以y>-2；又当A=B=时，，且y=sin3A+sin3B+sin3C≤≤
3、C． 记2007=n，往证当n=2时，显然成立。设当n=k时成立，当n=k+1时，取所有满足p+q=k, (p,q)=1的的和记为S，所有形如(pb>0), P(r1cosθ,r1sinθ),Q, 即Q(-r2sinθ,r2cosθ)，因为P，Q在椭圆上，所以。设O到PQ距离为d.则，解得
5、D． 当x≥10时，logmx≥-2即lgx≤lgm2或lgx≥lgm-2(m>0且m≠1)，解得 1cosy，
又cosx≤1，所以1+cosxy>cosx+cosy；
（2）若0cosx>cosy；
（3）若x>1,y>1，则xy≤,记，则
0sint>,所以
所以f(t)在上单调递减，又
而（因为），所以
所以，所以f(t)>0。所以原不等式成立。
14、证明 记f(x)=x2-2，则f(x)在[0,+∞）上是增函数，又，所以=a2-a>a，所以，依此类推有，再用数学归纳法证明原命题。
（1）当k=0,1时，不等式显然成立。
（2）设当k=m时，原不等式成立。
当k=m+1时，因为
其中f(0)(a)0)，设，
，，，。
因为A，O，C三点共线，所以，所以
同理，由B，O，D共线有，又因为A，F，B共线，所以y1y2=-p2,
所以，所以点C坐标为，D坐标为。
所以AD//BC//x轴，所以ABCD为直角梯形。
由抛物线定义，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|，设∠BFx=θ，则ABCD面积SABCD=|AB|2sinθ=，当且仅当时，SABCD取最小值2p2，由已知2p2=8，所以p=2。故所求抛物线方程为y2=±4x.
