河北省邯郸市2021届高三上学期模底考试数学试题

河北省邯郸市2021届高三上学期模底考试数学试题

邯郸市高三年级摸底考试 数 学 注意事项：‎ ‎1.考试时间120分钟，总共150分.‎ ‎2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考场填写在答题卡上，并把条形码贴在答题卡的指定位置.‎ ‎3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知向量，，若，则实数（ ）‎ A.2 B. C.2 D.4‎ ‎4.已知函数，则（ ）‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎5.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知，均为正数，且，，成等差数列，则的最小值为（ ）‎ A.4 B.3 C. D.‎ ‎7.如图是函数的部分图象，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9.2019年4月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（ ）‎ A.选物理的考生可报大学专业占47.53%‎ B.选历史的考生大学录取率为2.83%‎ C.选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%‎ D.选历史的考生可报大学专业占52.47%‎ ‎10.已知数列满足：，当时， ，则关于数列说法正确的是（ ）‎ A. B.数列为递增数列 C.数列为周期数列 D.‎ ‎11.如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在上的函数，定义函数（其中为实数），若对于任意的，都有，则整数可以为（ ）‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知随机变量，若，则_________.‎ ‎14.某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“省园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有__________种.‎ ‎15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，设点是该双曲线与以为直径的圆在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为_________.‎ ‎16.已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且有，，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_________.‎ 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，角，，所对应的边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）给出三个条件①，②外接圆半径，③，试从中选择两个可以确定的条件，并求的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，.‎ ‎（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，证明：.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某工厂为提高某手工制品的质量，决定引进新技术，现从改进技术前后生产的大批手工制品中各随机抽取200件进行质量指标检测，规定指标值在的为合格品，其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率分布直方图和改进技术后手工制品的顿率分布表如下：‎ 改进技术后手工制品的频率分布表 质量指标值 频数 频率 ‎4‎ ‎0.02‎ ‎0.18‎ ‎96‎ ‎0.48‎ ‎28‎ ‎0.14‎ ‎32‎ ‎4‎ ‎0.02‎ 合计 ‎200‎ ‎1‎ ‎（1）（i）求表中数据和；‎ ‎（ii）完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关；‎ 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 次品 合计 ‎（2）根据（1）的数据，从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考临界值 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图在三棱柱中，侧面为边长为2的菱形，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时， ，求实数的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知点为抛物线的焦点，横坐标为1的点在抛物线上，且以为圆心，为半径的圆与的准线相切.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.‎ 高三数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A C B B D B C CD ABD CD AB 一、选择题 ‎1.A解析：由题知，所以.‎ ‎2.A解析：∵，，，，∴，‎ ‎∴，.‎ ‎3.C解析：向量，因为，所以，解得.‎ ‎4.B解析：.‎ ‎5.B解析：由题意，当时，命题成立，当时，，解得，综上可得，实数的取值范围是.‎ ‎6.D解析：由题，∴（当且仅当时等号成立）.‎ ‎7.B解析：由图可知.最小正周期，∴，又由，得，∴，即.‎ ‎8.C解析：函数为奇函数，排除A，B，又因为，排除D，故选C.‎ 二、选择题 ‎9.CD解析：根据题中信息易知选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%，选历史的考生可报大学专业占52.47%.故选CD.‎ ‎10.ABD解析：得，‎ ‎∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，‎ ‎∴，∴.所以易知ABD正确.‎ ‎11.C解析：∵，∴，，则.‎ ‎∵是的角平分线，∴，又，‎ ‎∴，，‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎∵，∴，解得.所以正确选项为CD.‎ ‎12.AB解析：由题若对于任意的，都有，则有在 恒成立，只需，，令，，∴在上单调递增，又由，，∴满足，即有，此时在上单调递减，在上单调递增，所以∴.故选AB.‎ 三、填空题 ‎13.0.6解析：∵，若，则，.‎ ‎14.55解析：若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有种.‎ ‎15. 解析：根据双曲线定义：，因为圆是以为直径，所以是直角三角形，又知，易得，∴，，在中，由勾股定理得，解得.‎ ‎16. 解析：将该三棱锥补成长方体，设，则，，三棱锥的体积，‎ 由，得.‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.即时，取得最大值.‎ 此时三棱锥外接球半径，.‎ 四、解答题 ‎17.解：（1）因为，所以，‎ 由正弦定理得，∴，‎ ‎（2）显然可知当选择条件①②时，不唯一；‎ 当选择条件①③时，唯一，此时，‎ 由余弦定理，‎ 即.‎ 解得.‎ 所以的面积.‎ 当选择条件②③时，唯一，此时，‎ 由正弦定理可知.‎ 由余弦定理，‎ 即.‎ 解得.‎ 所以的面积.‎ ‎18.解：（1）由题，两边同时除以，得，‎ 又，∴是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）由（1）.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，即.‎ ‎19.解：（1）（i）易得表中数据，；‎ ‎（ii）2×2列联表为：‎ 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 ‎172‎ ‎192‎ ‎364‎ 次品 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 合计 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ 将2×2列联表中数据代入公式计算，，‎ 故有95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关.‎ ‎（2）根据（1）中可知改进技术后的合格率为，‎ 改进技术前的合格率为，，‎ 所以工人在改进技术后手工制品的合格率更高，产品质量更高.‎ ‎20.解：（1）设交于点，连接，‎ 因为四边形为菱形，，所以，，‎ 所以为等边三角形，即可得.‎ 在中，，∴，即.‎ 又知，，，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由（1）易知平面，所以，，两两垂直.‎ 以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴，令，则.‎ 又知.‎ 设直线与平面所成角为，则，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21.解：（1）当时，，定义域为.‎ ‎∴.‎ ‎∴函数的单调递减区间为，无单调递增区间.‎ ‎（2），，，，‎ 由可得.当时，.‎ 即，所以函数在上单调递减，所以.满足题意;‎ 当时，，，‎ 所以存在，使得，‎ 且易知在上单调递增，在上单调递减，‎ 即，不合题意，舍去.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎22解：（1）由题焦点，准线，‎ 因为以为圆心，为半径的圆与的准线相切，‎ 所以，解得，‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）由题设，，易知直线的斜率存在，记为，则设直线，与联立得，‎ 得，，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 又知，，‎ ‎，‎ 解得，所以直线，恒过定点.‎