2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第十章 计数原理、概率、随机变量 热点跟踪训练6

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第十章 计数原理、概率、随机变量 热点跟踪训练6

www.ks5u.com 热点跟踪训练6‎ ‎1．(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．‎ y的分组 ‎[－0.20，0)‎ ‎[0，0.20)‎ ‎[0.20，0.40)‎ ‎[0.40，0.60)‎ ‎[0.60，0.80)‎ 企业数 ‎2‎ ‎24‎ ‎53‎ ‎14‎ ‎7‎ ‎(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；‎ ‎(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)‎ 附：≈8.602.‎ 解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.‎ 产值负增长的企业频率为＝0.02.‎ 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.‎ ‎(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，‎ s2＝i(yi－)2＝[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，‎ s＝＝0.02×≈0.17.‎ 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.‎ ‎2．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎0.02‎ ‎0.05‎ ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.18‎ ‎(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)根据(1)得到的回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．‎ 附：＝，＝－b.‎ 解：(1)由数据表知＝3，＝0.1，‎ 代入计算＝0.042，＝－0.026.‎ 所以线性回归方程为＝0.042x－0.026.‎ ‎(2)由(1)中回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率就增加0.042个百分点．‎ 由＝0.042x－0.026>0.5，解得x≥13.‎ 预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.‎ ‎3．(2019·豫南九校联考)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共 ‎200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示：‎ ‎(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；‎ ‎(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．‎ 解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，‎ 送考2次的有100人，送考3次的有80人，‎ 所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3.‎ ‎(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，‎ ‎“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，‎ ‎“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，‎ ‎“这两人送考次数相同”为事件D，‎ 由题意知X的所有可能取值为0，1，2，‎ P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，‎ P(X＝2)＝P(C)＝＝，‎ P(X＝0)＝P(D)＝＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎4．(2020·佛山质检)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．‎ ‎(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；‎ ‎(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？‎ 解：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.‎ P(ξ＝1)＝＝；‎ P(ξ＝2)＝＝；‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ 设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3.‎ P(η＝0)＝C＝；‎ P(η＝1)＝C＝；‎ P(η＝2)＝C＝；‎ P(η＝3)＝C＝.‎ 应聘者乙正确完成题数η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎(或因为η～B，所以E(η)＝3×＝2)‎ ‎(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，‎ D(η)＝3××＝.‎ 所以D(ξ)＜D(η)．‎ 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；‎ 从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．‎ ‎5．(2019·化州模拟)中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料 ‎．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：‎ 井号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 坐标(x，y)/km ‎(2，30)‎ ‎(4，40)‎ ‎(5，60)‎ ‎(6，50)‎ ‎(8，70)‎ ‎(1，y)‎ 勘探深度/km ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 出油量/L ‎40‎ ‎70‎ ‎110‎ ‎90‎ ‎160‎ ‎205‎ ‎(1)1～6号旧井的位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归直线方程为y＝6.5x＋a，求a，并估计y的预报值．‎ ‎(2)现准备勘探新井7(1，25)，若通过1、3、5、7号井计算出的，的值(，精确到0.01)与(1)中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6(1，y)，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？‎ ‎ ‎ ‎(3)设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．‎ 解：(1)利用前5组数据得到＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，‎ ＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50，‎ 因为y＝6.5x＋a，所以a＝50－6.5×5＝17.5，‎ 所以回归直线方程为y＝6.5x＋17.5，‎ 当x＝1时，y＝6.5＋17.5＝24，所以y的预报值为24.‎ ‎(2)利用1、3、5、7号井的数据得＝＝4，‎ ＝＝46.25，‎ ‎≈6.83，‎ 又因为＝－，‎ 所以＝46.25－6.83×4＝18.93，‎ 又b＝6.5，a＝17.5，所以≈5%，≈8%，均不超过10%，‎ 所以可使用位置最接近的已有旧井6(1，24)．‎ ‎(3)由题意知，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，‎ 所以勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，‎ 由P(X＝k)＝(k＝2，3，4)，可得P(X＝2)＝，‎ P(X＝3)＝，P(X＝4)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝2×＋3×＋4×＝.‎ ‎6．(2020·广东六校联考)网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如下表所示：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 时间代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 实体店纯利润y/千万元 ‎2‎ ‎2.3‎ ‎2.5‎ ‎2.9‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎2.1‎ ‎1.7‎ ‎1.2‎ 根据这9年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254，根据后5年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985.‎ ‎(1)如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：‎ 方案一：选取这9年的数据进行预测；‎ 方案二：选取后5年的数据进行预测．‎ 从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？‎ 附：相关性检验的临界值表：‎ n－2‎ 小概率 ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3‎ ‎0.878‎ ‎0.959‎ ‎7‎ ‎0.666‎ ‎0.798‎ ‎(2)某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求开实体店的人数的分布列及期望．‎ 解：(1)选取方案二更合适，理由如下：‎ ‎①随着网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，从表格中可以看出从2014年开始，实体店纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据．‎ ‎②相关系数|r|越接近1，线性相关性越强．‎ 因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.254＜0.666，‎ 所以没有理由认为y与x具有线性相关关系，由后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.985＞0.959，‎ 所以有99%的把握认为y与x具有线性相关关系．‎ 所以方案二更合适．‎ ‎(2)由已知得开网店的概率为，开实体店的概率为，设开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，‎ ξ～B，‎ P(ξ＝0)＝C＝，‎ P(ξ＝1)＝C＝，‎ P(ξ＝2)＝C＝，‎ P(ξ＝3)＝C＝，‎ P(ξ＝4)＝C＝，‎ P(ξ＝5)＝C＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 因为ξ～B，所以E(ξ)＝5×＝2.‎