2017-2018学年北京市西城区高二第二学期期末数学（文科）试题 含答案

2017-2018学年北京市西城区高二第二学期期末数学（文科）试题 含答案

北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷 ‎ 高二数学(文科) 2018.7‎ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 .‎ ‎1. 设集合，，则（　　）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2. 下列函数中，定义域为的单调递减函数是（　　）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3. 在复平面内，复数对应的点位于（　　）‎ ‎（A）第一象限 ‎（B）第二象限 ‎（C）第三象限 ‎（D）第四象限 ‎4. 如果，那么下列不等式一定成立的是（　　）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 开始 ‎ ‎ 输出S 结束 否 是 输入a ‎5. 执行如图所示的程序框图，若输入的，‎ ‎ 则输出的属于（　　）‎ 13‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C） ‎ ‎ （D）‎ ‎6. 已知函数的定义域为，则 “为奇函数”是“”的（　　）‎ ‎ （A）充分不必要条件 ‎（B）必要不充分条件 ‎ （C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎7. 若，，，则（ ）‎ ‎ （A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8. 某电影院共有个座位. 某天，这家电影院上、下午各演一场电影. 看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一场）. 已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n的可能取值有（ ）‎ ‎ （A）个 ‎（B）个 ‎ （C）个 ‎（D）前三个答案都不对 13‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎9. 已知命题，则：______________.‎ ‎10. 曲线在处切线的斜率为______________.‎ ‎11. 当时，函数的最小值为______________.‎ ‎12. 已知实数满足，则______________.‎ ‎13. 若函数则______________；使得方程有且仅有两解的实数的取值范围为______________.‎ ‎14. 某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为A，B，C，D，E，F.‎ 13‎ ‎ 其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系. 若加工工序Y必须要在工序X完成后才能开工，则称X为Y的紧前工序. 现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：‎ 工 序 A B C D E F 加工时间 ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 紧前工序 无 C 无 C A，B D 现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__小时.‎ ‎ （假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数，且.‎ ‎(Ⅰ) 求的值； ‎ 13‎ ‎(Ⅱ) 写出能够说明“任给，”是假命题的一组数的值. ‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎(Ⅰ) 若，解不等式；‎ ‎(Ⅱ) 记不等式的解集为M，若，求m的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 设，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎ (Ⅰ)求,满足的关系；‎ ‎ (Ⅱ) 求证：.‎ 13‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 现行的个税法修正案规定：个税免征额由原来的2000元提高到3500元，并给出了新的个人所得税税率表：‎ 全月应纳税所得额 税率（%）‎ 不超过1500元的部分 ‎3%‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10%‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20%‎ 超过9000元至35000元的部分 ‎25%‎ ‎… …‎ ‎…‎ 例如某人的月工资收入为5000元，那么他应纳个人所得税为：（元）.‎ ‎ （Ⅰ）若甲的月工资收入为6000元，求甲应纳的个人所得税；‎ ‎ （Ⅱ）设乙的月工资收入为元，应纳个人所得税为元，求关于的函数； ‎ ‎ （Ⅲ）若丙某月应纳的个人所得税为1000元，给出丙的月工资收入.（结论不要求证明）‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 13‎ 设函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值； ‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数，其中. 证明：的图象在图象的下方.‎ 北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准 ‎ 2018.7‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. B ‎ ‎2. C ‎ ‎3. C ‎4. B ‎5. D ‎6. A ‎ ‎7. C ‎ ‎8. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎11. ‎ 13‎ ‎12. ‎ ‎13. ，‎ ‎14. ‎ 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ ‎(Ⅰ)解：由题意， ‎ ‎ 所以， 即. ………………………… 3分 ‎ 则 ‎ ………………………… 6分 ‎ ‎ ‎ . ………………………… 8分 ‎(Ⅱ)解：答案不唯一，如，. ………………………… 13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎(Ⅰ)解：由题意，得不等式，‎ 解得，或，‎ 所以不等式的解集为，或. ………………………… 5分 ‎(Ⅱ)解：因为不等式的解集为M，且，‎ 所以，即，（*） ………………………… 8分 当时，不等式（*）不成立； ………………………… 10分 当时，不等式（*）等价于，‎ 13‎ ‎ 解得.‎ 综上，m的取值范围是. ………………………… 13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：求导，得. ………………………… 2分 ‎ 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 即 ………………………… 4分 ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得，即.‎ ‎ 所以，.………6分 ‎ 当时，得当时，，‎ ‎ 此时，函数在上单调递增. 这与题意不符. ……………………… 9分 ‎ 当时，‎ ‎ 随着的变化，与的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 ‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎ ………………………… 11分 ‎ 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ ‎ 所以时符合题意. ‎ 13‎ ‎ 综上，. ………………………… 13分 ‎ ‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税为 ‎ (元). …………………… 3分 ‎（Ⅱ）解：当时，乙应纳个人所得税元. ………………………… 4分 ‎ 当时，乙应纳个人所得税元.‎ ‎ ………………………… 6分 ‎ 当时，乙应纳个人所得税 ‎ 元. ……………… 8分 ‎ 当时，乙应纳个人所得税 ‎ 元. ‎ ‎ 所以 ………………………… 10分 ‎ （Ⅲ）丙的月工资收入为元. ………………………… 13分 ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：求导，得，…………………… 3分 ‎ 因为，所以， ‎ ‎ 所以当时，，函数为减函数；‎ 13‎ ‎ 当时，，函数为增函数. ……………………… 5分 ‎ 故当时，存在极小值；不存在极大值. …………… 6分 ‎（Ⅱ）证明：解方程，得，. …………… 7分 ‎ 由，得.‎ ‎ 随着的变化，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ 极大值 极小值 ‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎ ………………………… 10分 ‎ 又因为， ………………………… 12分 ‎ 所以函数至多在区间存在一个零点；‎ ‎ 所以，当时函数不可能存在两个零点. ………………………… 14分 ‎20.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：求导，得， ………………………… 1分 ‎ 又因为，，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ……………… 3分 ‎（Ⅱ）解：设函数，‎ ‎ 求导，得，‎ ‎ 因为函数在区间上单调递增，‎ 13‎ ‎ 所以在区间上恒成立， ………………………… 4分 ‎ 即恒成立. ………………………… 5分 ‎ 又因为函数在区间上单调递减，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以. ………………………… 8分 ‎（Ⅲ）证明：设，. …………………… 9分 ‎ 求导，得． ‎ ‎ 设，则（其中）. ‎ ‎ 所以当时，（即）为增函数. ………………………… 10分 ‎ 又因为，，‎ ‎ 所以，存在唯一的，使得． ………………… 11分 ‎ 且与在区间上的情况如下：‎ ‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 所以． ………………………… 12分 ‎ 又因为，，‎ 13‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以，即的图象在图象的下方. ………………………… 14分 13‎