数学卷·2018届北京市西城区159中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

数学卷·2018届北京市西城区159中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

北京市第一五九中学2016-2017学年度 第一学期高二期中数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 直线的倾斜角是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线，‎ ‎，‎ 倾斜角为，故选．‎ ‎2. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆心在轴上，排除项，‎ 且过点，排除，项，‎ 仅剩项符合题意，‎ 故选．‎ ‎3. 方程表示的直线可能是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】项，由斜率知，‎ 但截距，排除；‎ 项，直线平行于轴，，‎ 但截距，排除；‎ 项，直线斜率，‎ 但截距，排除；‎ 故选．‎ ‎4. 、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）．‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】项，与可能是异面直线，‎ 项，可能平行于平面，‎ 项，与可能是异面直线，‎ 项正确．‎ ‎5. 长方体一个顶点上的三条棱长分别为，，，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设球半径为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 其表面积，‎ 故选．‎ ‎6. 如果直线与直线垂直，那么等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】两直线垂直，‎ ‎，‎ ‎，故选．‎ ‎7. 过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】过圆外一点，‎ 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．‎ ‎8. 在空间中，“直线，没有公共点”是“直线，互为异面直线”的（ ）．‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】直线，没有公共点，‎ 则直线，互为异面直线或平行，‎ 但直线、互为异面直线一定可推出，‎ 直线，没有公共点，‎ 故选．‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎9. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】若直线过原点，则直线为符合题意，‎ 若直线不过原点设直线为，‎ 代入点解得，‎ 直线方程整理得，‎ 故选．‎ ‎10. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（ ）．‎ A. 或 B.或 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】圆，‎ 化成标准方程为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 解得或，故选．‎ ‎11. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆心到直线的距离，‎ 半径．‎ 设劣弧所对圆心角为，‎ ‎．‎ ‎∴，‎ 故选．‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，与点距离为，且与点的距离为的直线有（ ）．‎ A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 ‎【答案】B ‎【解析】以为圆心，作半径为的圆，‎ 圆为，‎ 以为圆心，作半径为的圆，‎ 圆为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两圆相交，有条公切线，‎ 即符合题意的有条直线，故选．‎ 点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．‎ ‎(2)切线法：根据公切线条数确定．‎ ‎（3）数形结合法：直接根据图形确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知命题“，”，则__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】全称命题，，‎ 它的否定，．‎ ‎14. 圆上两点、关于直线对称，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆，‎ 圆心经过直线，‎ 解得．‎ ‎15. 如图，侧棱长为的正三棱柱的左视图的面积为，该正三棱柱的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正三棱柱底面三角形边长为，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴三棱柱侧面积．‎ 点睛:空间几何体表面积的求法 ‎ ‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎16. 如图是正方体的展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是__________．（填序号）‎ ‎【答案】（）（）（）‎ ‎【解析】（）中①⑤、②④、③⑥相对，‎ ‎（）中①④、②⑤、③⑥相对，‎ ‎（）中①④、②⑤、③⑥相对，‎ ‎（）中①④、②⑤、③⑥相对．‎ 点睛：‎ 先由几何体的展开图还原几何体的形状．根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图．再在具体几何体中研究对应线面位置关系 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. 已知：三边所在的直线方程为，，．‎ 求：边上的高所在的直线方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎18. 已知：点及圆，若直线过点且被圆截得的线段长为．‎ 求：直线的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:先将圆方程化为标准方程，再根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线的点斜式方程，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件 试题解析：圆，‎ 化为标准方程为，‎ 圆心，半径，‎ 设直线的方程为，‎ 则点到直线的距离 ‎，‎ 解得．‎ ‎∴直线的方程为：．‎ ‎19. 在三棱锥中，点、、分别为棱，，的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）若，，求证：平面平面．‎ ‎【答案】(1)见解析（2）见解析 ‎【解析】(1)关键证明：EF//AC.‎ ‎(2) 由，可证出,进而可证出平面⊥平面.‎ 证明：（1）∵是的中位线，‎ ‎∴∥.‎ 又∵ 平面， 平面，‎ ‎∴∥平面.‎ ‎（2）∵,，∴ .∵,，∴ .‎ 又∵平面，平面，，∴平面，‎ 又∵平面，∴平面⊥平面 ‎20. 已知：三棱柱中，底面是正三角形，侧棱面，是棱 的中点，点在棱上，且．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析:（1）设与交点为，则根据三角形中位线性质得，再利用线面平行判定定理得结论（2）面得，再由正三角形性质得，因此由线面垂直判定定理得平面，即，再结合条件，利用线面垂直判定定理得平面，即得．‎ 试题解析：（）证明：连接，‎ 设与交点为，连接，‎ ‎∵在中，‎ ‎，分别为，中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵在正中，‎ 是棱中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎21. 在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎（）求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】[证明] （1）∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，‎ ‎∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；‎ 同理∥平面. 又，∴平面∥平面.‎ ‎（2）∵平面平面，且交线为，又平面，，‎ ‎∴平面，∵平面，∴，‎ 又因为，，、平面，‎ ‎∴平面，∵平面，∴.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.‎ ‎22. 已知：以点 为圆心的圆与轴交于点、，与轴交于点、，其中为原点．‎ ‎（）求证：的面积为定值．‎ ‎（）设直线与圆交于点、，若，求：圆的方程．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为圆C过原点，利用两点间的距离公式表示出出O到C的距离即为圆的半径，然后根据点C的坐标，写出圆C的标准方程，令x=0，解出相应y的值，令y=0解出相应x的值，进而表示出点A和点B的坐标，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，约分后得到面积为定值，得证；‎ ‎（2）根据圆上的点到圆心的距离相等得到|CM|=|CN|，又因为|OM|=|ON|，得到OC垂直平分线段MN，由已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线OC的斜率，然后利用C的坐标表示出斜率，两者相等得到关于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入点C的坐标中确定出圆心的坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式判断圆心到已知直线的距离小于半径即已知直线与圆相交，把不符合题意的t舍去，得到满足题意的t的值，进而得到圆C的方程；‎ 试题解析：（1）∵圆C过原点O，∴OC2=t2+，‎ 则圆C的方程为（x-t）2+（y-）2= t2+，令x=0，，得y1=0，；‎ 令y=0得x1=0，x2=2t，‎ 即A（2t，0），B（0，），‎ ‎=4．‎ 即△OAB的面积为定值；‎ ‎（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分线段MN．‎ ‎∵KMN=-2，∴KOC=‎ ‎，解得t=2或t=-2．‎ 当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）半径OC=，‎ 此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=，‎ 即圆C与直线y=-2x+4相交于两点．‎ 当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1）半径OC=‎ 此时圆心到直线y=-2x+4的距离d=，即圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴t=-2不合题意，舍去．‎ ‎∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．‎ 考点：１．圆的标准方程；２．点到直线的距离公式．‎ ‎ ‎