数学理卷·2018届北京市西城区14中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

数学理卷·2018届北京市西城区14中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

北京市第十四中学2016—2017学年高二上学期期中考试 数学试卷（理）‎ ‎1. 抛物线的准线方程是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ 准线方程为 故答案选 ‎2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组．‎ ‎（），．（），．‎ ‎（），．（），．‎ A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 ‎【答案】B ‎【解析】若与平行，则存在实数使得 经过验证，只有，,两组满足条件。‎ 故答案选 ‎3. 已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是，则该曲线的方程为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由曲线上的点到、的距离之差的绝对值是可知 所以双曲线方程为 考点：双曲线方程 ‎4. 执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环，继续循环；‎ 第二次循环，继续循环；‎ 第三次循环，继续循环；‎ 第四次循环，继续循环；‎ 第五次循环，结束循环；‎ 输出 故答案选 ‎5. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ）．‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当焦点在轴时，设方程为，代入点 ，所以方程为，同理焦点在轴时方程为 考点：抛物线方程 ‎6. 已知椭圆，若其长轴在轴长，且焦距为，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然且，解得．‎ 考点：椭圆的定义与简单的几何性质．‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，如图输出，那么判断框中可以是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：执行程序框图得: ，此时输出，所以判断框中可以是．‎ 考点：算法流程图．‎ ‎8. 双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则等于（ ）．‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的实轴长是，虚轴长为 双曲线的实轴长是虚轴长的倍，可得 解得 故选 ‎9. 已知直三棱柱中，，，则异面直线和所成的角的大小是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 连结,‎ 面平面面, ‎ 平面 与是全等三角形，‎ 平面 又平面,‎ 矩形中，‎ 四边形为正方形，可得 平面 结合平面，可得，即异面直线与所成角为 故答案选 点睛：在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角。本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为 ‎10. 设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由定义知：‎ 当且仅当，设时取得等号，‎ ‎ 即 ‎ 又双曲线的离心率,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义给出的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.‎ ‎11. 已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上，若，则的面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 可得 是直角三角形 的面积 故答案为 ‎12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设双曲线的方程为 一条渐近线方程为 该双曲线的离心率 ‎13. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐进线的距离为，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎14. 已知正四棱锥的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于__________．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、棱锥的体积；2、二面角的求法．‎ ‎15. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为 设点坐标为，则有 ‎,解得 的面积为 ‎16. 在长方体中，，，为中点．‎ ‎ ‎ ‎（）证明：．‎ ‎（）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（）证明见解析；（）．‎ ‎【解析】试题分析：根据已知中长方体中，是侧棱的中点，结合长方体的几何特征，我们可得,结合线面垂直的判定定理即可得到平面,即可得出结论。‎ 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求与平面所成角的正弦值。‎ 解析：证明：连接 是长方体，平面 又平面，‎ 在长方形中，，‎ 又平面 而平面,‎ 如图建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ 设平面的法向量为,则 令则 所以与平面所成角的正弦值为 ‎17. 已知抛物线与直线相交于，两点．‎ ‎（）求证：．‎ ‎（）当的面积等于时，求的值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：证明可有两种思路：证,取中点,证 求的值，关键是利用面积建立关于的方程，求的面积也有两种思路：利用 ‎，设,,直线和轴交点为，利用 ‎.‎ 解析：由方程 消去后，整理得 设,，由韦达定理 在抛物线上，‎ 设直线与轴交点为，又显然 令则,即 ‎,解得 点睛：本题考查了直线与抛物线的关系，在求三角形面积时可以采用分割的方法，沿着轴分割成两个三角形，这样在计算两个三角形面积时有公共底，高就可以转化为直线与抛物线两交点纵坐标的差，再依据直线方程与抛物线方程联立，求得两交点纵坐标的差。‎ ‎18. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面．‎ ‎（Ⅱ）求证：面平面．‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在点.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．‎ ‎（Ⅲ）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：连结AC，由已知，F为AC的中点，为中点．∴在中，//‎ 且 平面，平面∴‎ ‎（Ⅱ）证明：因为平面 平面， 平面 面 ‎ 为正方形，，平面 所以平面．‎ ‎∴‎ 又，所以是等腰直角三角形， 且，即．‎ ‎，且、 面 面 又面， ∴面面 ‎（Ⅲ）如图，‎ 取的中点，连结，．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵侧面 底面，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 而分别为的中点，‎ ‎∴，又是正方形，故．‎ ‎∵，∴，．‎ 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 则有，，．‎ 若在上存在点使得二面角的余弦值为，连结 设．‎ 由（Ⅱ）知平面的法向量为．‎ 设平面的法向量为．∵，‎ ‎∴由可得，令，则，‎ 故∴，解得，． 所以在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，此时．‎ 考点：1．平面与平面垂直的判定；2．直线与平面平行的判定；3．二面角的平面角及求法．‎ ‎19. 已知椭圆的离心率是，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率和过点就可以求得椭圆方程 (2)联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求出中点的坐标，再由斜率关系得到与的关系，代入判别式，求得的取值范围 解析：过点,‎ ‎,‎ 椭圆的方程为 由得 由于直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 即 当时，设弦的中点为,分别为点的横坐标，‎ 则,从而 又,则,即 ‎ 将代入得,解得 由得解得,故的取值范围是 当时，，则解得 综上所述，的取值范围是 点睛：本题考查了直线与椭圆的的关系，通过联立直线方程与椭圆方程求得两交点横坐标的和，给出弦的中点坐标，结合等腰三角形三线合一，求得与的关系，代入判别式，求得的取值范围，注意当斜率为0时的讨论。‎