高二数学上学期期中试题 理

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高二数学上学期期中试题 理

‎【2019最新】精选高二数学上学期期中试题 理 数学试卷(理科)‎ 时量:120分钟 总分150分 命题人:‎ 班级:__________ 姓名__________ 考号:____________‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1、已知函数是上的偶函数,且在上单调递增,则下列各式成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2、若f(x)=x·ex,则f′(1)等于(  )‎ A.0 B.e C.2e D.e2‎ ‎3、抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4、若命题,方程有解;命题使直线与直线平行,则下列命题为真的有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ - 13 - / 13‎ D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ ‎6、已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于(  )‎ A.9 B.-9 C.-3 D.3‎ ‎7、如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为(  )‎ A +=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1‎ ‎8、已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为(  )‎ A.e B.-e C. D.- ‎9、某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(  )‎ A. B. C. D. -1‎ ‎10、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(  )‎ A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内 ‎11、设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,则(  )‎ A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 - 13 - / 13‎ ‎12、已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆交于C,D两点,若四边形ACBD的面积的最大值为2c2,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13、已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是________.‎ ‎14、以点为中点且被椭圆所截得的弦所在的直线方程是________‎ ‎15、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________.‎ ‎16、设集合A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=},C={(x,y)|2|x-3|+|y-4|=λ}.若(A∪B)∩C≠,则实数λ的取值范围是________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17、已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.‎ ‎18、已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且-=,S6=63.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nb}的前2n项和.‎ ‎19、如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.‎ ‎(1)证明:B1C1⊥CE;‎ - 13 - / 13‎ ‎(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;‎ ‎20、已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点.‎ ‎(1)求双曲线C2的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.‎ ‎21、如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB;‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎22、已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,‎ ‎①证明直线AE过定点,并求出定点坐标.‎ ‎②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ - 13 - / 13‎ ‎2017年下学期醴陵一中高二年级期中考试 数学试卷(理科)‎ 时量:120分钟 总分150分 命题人:‎ 班级:__________ 姓名__________ 考号:____________‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1、已知函数是上的偶函数,且在上单调递增,则下列各式成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2、若f(x)=x·ex,则f′(1)等于(  )‎ A.0 B.e C.2e D.e2‎ 答案 C ‎3、抛物线的准线方程为( )‎ A. B.C. D.‎ ‎【答案】C ‎4、若命题,方程有解;命题使直线与直线平行,则下列命题为真的有()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎5、命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n - 13 - / 13‎ B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ ‎【答案】D ‎6、已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于(  )‎ A.9 B.-9 C.-3 D.3‎ 答案 B ‎7、如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 B ‎8、已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为(  )‎ A.e B.-e C. D.- 答案 C ‎9、某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(  )‎ A. B. C. D.-1‎ 答案 D ‎10、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(  )‎ A.斜交 B.平行 - 13 - / 13‎ C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内 答案 B ‎11、设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,则(  )‎ A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 答案 B ‎12、已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆交于C,D两点,若四边形ACBD的面积的最大值为2c2,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13、已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (0,1]‎ ‎14、以点为中点且被椭圆所截得的弦所在的直线方程是________‎ 答案 ‎15、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③‎ - 13 - / 13‎ 是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________.‎ 答案 ①②③‎ ‎16、设集合A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=},C={(x,y)|2|x-3|+|y-4|=λ}.若(A∪B)∩C≠,则实数λ的取值范围是________.‎ 答案 [,4]‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17、已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.‎ 解 y=x2-x+1‎ ‎=(x-)2+,‎ ‎∵x∈[,2],∴≤y≤2.‎ ‎∴A={y|≤y≤2}.‎ 由x+m2≥1,得x≥1-m2,‎ ‎∴B={x|x≥1-m2}.‎ ‎∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,‎ ‎∴A⊆B,∴1-m2≤,‎ 解得m≥或m≤-,‎ 故实数m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).‎ ‎18、已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且-=,S6=63.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nb}的前2n项和.‎ 解 (1)设数列{an}的公比为q.‎ - 13 - / 13‎ 由已知,有-=,‎ 解得q=2或q=-1.‎ 又由S6=a1·=63,知q≠-1,‎ 所以a1·=63,得a1=1.‎ 所以an=2n-1.‎ ‎(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)‎ ‎=(log22n-1+log22n)=n-,‎ 即{bn}是首项为,公差为1的等差数列.‎ 设数列{(-1)nb}的前n项和为Tn,则 T2n=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b)‎ ‎=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n ‎==2n2.‎ ‎19、如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.‎ ‎(1)证明:B1C1⊥CE;‎ ‎(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;‎ ‎ (1)证明 如图,以点A为原点,分别以AD,AA1,AB所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).‎ 易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,所以B1C1⊥CE.‎ ‎(2)解 =(1,-2,-1).‎ 设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),‎ 则即 消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).‎ - 13 - / 13‎ 由(1)知,B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,CC1∩CE=C,可得B1C1⊥平面CEC1,‎ 故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.‎ 于是cos〈m,〉= ‎==-,从而sin〈m,〉=,‎ 所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.‎ ‎20、已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点.‎ ‎(1)求双曲线C2的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.‎ 解 (1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),‎ 则a2=4-1=3,c2=4,‎ 再由a2+b2=c2,得b2=1.‎ 故C2的方程为-y2=1.‎ ‎(2)将y=kx+代入-y2=1,‎ 得(1-3k2)x2-6kx-9=0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得 ‎∴k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ ‎∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.‎ 又∵·>2,得x1x2+y1y2>2,‎ - 13 - / 13‎ ‎∴>2,即>0,‎ 解得0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,‎ ‎①证明直线AE过定点,并求出定点坐标.‎ ‎②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)解 由题意知F(,0).‎ 设D(t,0)(t>0),则FD的中点为(,0).‎ 因为|FA|=|FD|,‎ 由抛物线的定义知3+=,‎ 解得t=3+p或t=-3(舍去).‎ 由=3,解得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)①证明 由 (1)知F(1,0).‎ 设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0).‎ 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,‎ 由xD>0,得xD=x0+2,故D(x0+2,0),‎ 故直线AB的斜率kAB=-.‎ 因为直线l1和直线AB平行,‎ 设直线l1的方程为y=-x+b,‎ 代入抛物线方程得y2+y-=0,‎ 由题意Δ=+=0,得b=-.‎ 设E(xE,yE),则yE=-,xE=.‎ - 13 - / 13‎ 当y≠4时,kAE===,‎ 可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0).‎ 由y=4x0,整理可得y=(x-1),‎ 直线AE恒过点F(1,0).‎ 当y=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),‎ 所以直线AE过定点F(1,0).‎ ‎②解 由①知直线AE过焦点F(1,0),‎ 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1.‎ 因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.‎ 设B(x1,y1).直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),‎ 由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,‎ 代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0,‎ 所以y0+y1=-,‎ 可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.‎ 所以点B到直线AE的距离为 d= ‎==4.‎ 则△ABE的面积 S=×4≥16,‎ 当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.‎ 所以△ABE的面积的最小值为16.‎ - 13 - / 13‎
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