2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

‎3.1.1‎‎-3.1.2 空间向量的数乘运算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　)‎ A．m，n，p共线 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝‎2a，‎ 即m＋n＝2p，即p＝m＋n，‎ 又m与n不共线，所以m，n，p共面．‎ 答案：D ‎2．已知正方体ABCDA1B‎1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)‎ A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1‎ C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 解析：＝＋＝＋ ‎＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.‎ 答案：D ‎3．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－‎5a＋6b，＝‎7a－2b，则一定共线的三点是(　　)‎ A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：∵＝＋＝‎2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．‎ 答案：A ‎4．已知正方体ABCDA1B‎1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有(　　)‎ ‎①＋与＋是一对相反向量；‎ ‎②－与－是一对相反向量；‎ ‎③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；‎ ‎④－与－是一对相反向量．‎ 6‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．‎ 答案：C ‎5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)‎ A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 解析：∵＋＋＝1，‎ ‎∴P，A，B，C四点共面．‎ 答案：B ‎6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，‎ 则λ＝________.‎ 解析：＝－＝－＝－(－)＝＋，‎ 又＝＋λ，所以λ＝.‎ 答案： ‎7.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－‎2c， ＝‎5a＋6b－‎8c，对角线AC，BD的中点分别为E、F，则＝________(用向量a，b，c表示)．‎ 解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则＝＋ ‎＝＋ ‎＝(a－‎2c)＋(‎5a＋6b－‎8c)‎ ‎＝‎3a＋3b－‎5c.‎ 答案：‎3a＋3b－‎‎5c ‎8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，若＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，‎ 6‎ ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.‎ 解析：∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，‎ ‎∴＝＋＝5e1＋4e2＋e1＋2e2＝6e1＋6e2.‎ 又＝e1＋ke2，∵A，B，D三点共线，‎ ‎∴存在实数u，使＝u，即e1＋ke2＝6ue1＋6ue2，‎ ‎∵e1，e2不共线，∴∴k＝1.‎ 答案：1‎ ‎9.如图所示，在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；(2)；(3).‎ 解析：(1)∵P是C1D1的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)∵N是BC的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝－a＋b＋ ‎＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.‎ ‎(3)∵M是AA1的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.‎ ‎10.如图，平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.‎ ‎(1)证明：A，E，C1，F四点共面；‎ ‎(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．‎ 解析：(1)证明：∵ABCDA1B‎1C1D1是平行六面体，‎ ‎∴＝＝＝，‎ 6‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴＝＋＋＝＋＋＋ ‎＝＋＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充分必要条件知A，E，C1，F四点共面．‎ ‎(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　)‎ A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)‎ B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0‎ C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)‎ D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)‎ 解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．‎ 答案：D ‎2．已知向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d.若a与b共线，‎ 则实数k的值为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．－1 D．2‎ 解析：∵c，d不共线，∴c≠0，且d≠0.‎ ‎∵a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－k2d)，‎ 整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0.‎ ‎∴，解得k＝λ＝－1.故选C.‎ 答案：C ‎3．在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.‎ 解析：如图，＝－＝－＝－－(－)‎ ‎＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.‎ 答案：－c－a＋b ‎4．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M，N 6‎ 分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．‎ 解析：由题意知＝，＝‎ (＋)，＝－ ‎＝(＋)－，又＝2，‎ ‎∴＝＝－＋＋，‎ 故＝＋＝－＋＋ ‎＝＋＋，‎ ‎∴x＝，y＝，z＝.‎ 答案：，， ‎5.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线．‎ 解析：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，‎ ‎∴＝＋＋＝＋＋.‎ 又∵＝＋＋＋ ‎＝－＋－－，‎ ‎∴2＝＋＋－＋－－＝，即＝2.‎ ‎∴与共线．‎ ‎6.如图，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．‎ 证明：法一　＝＋＋＝－＋ ‎＝(＋)－＝－.‎ 6‎ 由向量共面的充分必要条件知，，，是共面向量．‎ 法二　‎ 连接A1D、BD，‎ 取A1D中点G，‎ 连接FG、BG，‎ 则有FG綊DD1，‎ BE綊DD1，‎ ‎∴FG綊BE.‎ ‎∴四边形BEFG为平行四边形．‎ ‎∴EF∥BG.‎ ‎∴EF∥平面A1BD.‎ 同理，B‎1C∥A1D，∴B‎1C∥平面A1BD，‎ ‎∴，，都与平面A1BD平行，‎ ‎∴，，共面．‎ 6‎