2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）

2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）

‎2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　）‎ A． B． C．i D．i ‎3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（　　）‎ A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数 B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数 C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数 D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数 ‎5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎6．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（　　）‎ A．192 B．186 C．180 D．198‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（　　）‎ A．1009 B．2018 C．3027 D．4036‎ ‎9．（5分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，曲线m是函数y=a（x﹣1）2+b图象位于正方形内的部分，直线AC恰好是函数y=a（x﹣1）2+b在x=0处的切线，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（　　）‎ A．24 B．12 C．8 D．6‎ ‎11．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ2+μ2=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，0） B．（﹣，﹣] C．（﹣，﹣） D．（﹣，0）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知（1+x）（1+ay）5（a为常数）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，那么（1+x）（1+ay）5展开式中xy2项的系数为　 　．‎ ‎14．（5分）某学校分别从甲、乙两班各抽取7名同学在某次物理测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩82分以上的同学中选取3名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是　 　种．（用数字作答）‎ ‎15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是　 　．‎ ‎16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知∃x1∈（0，π），使得函数f（x）在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，那么点P的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）已知{an}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}的前n项和Sn，证明：≤Sn＜．‎ ‎18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．‎ ‎（1）若CD=，AD=2，求AB；‎ ‎（2）求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温差x/摄氏度 ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．‎ ‎（1）若选取的3组数据恰好是连续ξ天的数据（ξ=0表示数据来自互不相邻的三天），求ξ的分布列及期望；‎ ‎（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差x的线性回归方程=x+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？‎ 附：参考公式：=，=﹣．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣bx（b∈R）．‎ ‎（1）若∃x＞0，使得f（x）≥bx2+x成立，求实数b的最小值；‎ ‎（2）若f（x）的三个零点0，x1，x2满足1＜x1＜x2，l1，l2分别是y=f（x）在x1，x2处的切线，设P（x0，y0）是l1，l2的交点，求y0的取值集合．‎ ‎21．（12分）已知f（x）=ex﹣1+ln（+1）．‎ ‎（1）若函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a∈（0，1]且x＞0，证明：f（x）＞2x．‎ ‎　‎ 请考生在22、23题中任选一题作答．‎ ‎22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；‎ ‎（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线ρ=﹣‎ 与曲线C异于原点O的交点为B，求三角形AOB的面积．‎ ‎23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|}，‎ B=={x|x}，‎ ‎∴A∩B={x|}=[，1]．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　）‎ A． B． C．i D．i ‎【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），‎ ‎∴z===+i．‎ 则z的虚部为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）满足：∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，那么f（x）的最小正周期是（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎【解答】解：根据正弦型函数f（x）=sin（ωx+）的图象与性质知，‎ 对∀x1，x2∈R，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|min=，‎ ‎∴f（x）的最小正周期是T=2×=π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知函数f（x）在R上存在导数f′（x），下列关于f（x），f′（x）的描述正确的是（　　）‎ A．若f（x）为奇函数，则f′（x）必为奇函数 B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数 C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数 D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数 ‎【解答】解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误，‎ 对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），‎ f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确，‎ 对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误，‎ 对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量，满足•=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由题意可知，，且与的夹角为60°，‎ ‎∴=．‎ 则，，‎ ‎∴•==‎ ‎=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（　　）‎ A．192 B．186 C．180 D．198‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分为长方体，棱长分别为2、6、3，下部分为长方体．棱长分别为6、6、3，‎ ‎ 其表面积公式S=4×6×3+2×6×6+（2+6）×2×2=192‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 p=4，k=0‎ 不满足条件k2≥3k+4，p=4，k=1‎ 不满足条件k2≥3k+4，p=8，k=2‎ 不满足条件k2≥3k+4，p=32，k=3‎ 不满足条件k2≥3k+4，p=256，k=4‎ 满足条件k2≥3k+4，退出循环，可得z=‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）f（y）且f（1）=1，那么+++…+=（　　）‎ A．1009 B．2018 C．3027 D．4036‎ ‎【解答】解：由意题f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1，可得令x=n，y=1，‎ 可得f（n+1）=f（n），可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1，‎ 那么：+++…+‎ ‎=f2（1）+f2（2）+…+f2（1009）+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2018）‎ ‎=1009+1009=2018，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，曲线m是函数y=a（x﹣1）2+b图象位于正方形内的部分，直线AC恰好是函数y=a（x﹣1）2+b在x=0处的切线，现从正方形内任取一点P，那么点P取自阴影部分的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵正方形OABC的边长为1，∴S正方形OABC=1，‎ 由函数y=a（x﹣1）2+b，得y′=2a（x﹣1），‎ 则y′|x=0=﹣2a=﹣1，得a=．‎ 又当x=0时，y=a+b=1，可得b=，‎ ‎∴曲线m的解析式为y=（x﹣1）2+，‎ ‎∴阴影部分面积S= =．‎ ‎∴点P取自阴影部分的概率等于．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（　　）‎ A．24 B．12 C．8 D．6‎ ‎【解答】解：∵点P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，‎ ‎|PF1|+|PF2|=2a=14‎ ‎∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，‎ ‎∴△PF1F2是直角三角形，S=，‎ ‎∵△PF1F2的重心为点G．∴S=，‎ ‎∴△GPF1的面积为8，‎ 故选：C ‎　‎ ‎11．（5分）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ2+μ2=1），则当min{•，•}取得最大值时，||=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【解答】解：∵•=（λ+μ）•=λ+μ=λ，‎ ‎=（λ+μ）•=μ+λ=4μ，‎ ‎∵λ2+μ2=1，‎ ‎∴λ≥4μ时，‎ 不妨令0≤λ，μ≤1‎ 解得0≤μ≤，‎ ‎∴min{•，•}=，‎ 设f（μ）=，‎ 则f（μ）在[0，]上递增，在[，1]上递减，‎ ‎∴当μ=，f（μ）取得最小值，‎ 此时=+，‎ ‎∴||2=（16+8•+）=‎ ‎∴||=‎ 故选：A ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，0） B．（﹣，﹣] C．（﹣，﹣） D．（﹣，0）‎ ‎【解答】解：，‎ 可得x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减．‎ 可知y=|f（x）|大致图象如图所示，‎ 设|f（x）|=t，则|f（x）|2﹣m|f（x）|﹣2m﹣3=0有三个不同的实数解，‎ 即为t2﹣mt﹣2m﹣3=0有两个根t1，t2，‎ ‎①若t1=1，t2=0，时，t1+t2=m=1，t1•t2=﹣2m﹣3=0，不存在实数m，‎ ‎②若t1=1，t2＞1时，当有一个根为1时，12﹣m﹣2m﹣3=0，m=﹣，‎ 代入t2﹣mt﹣2m﹣3=0另一根为﹣，不符合题意．‎ ‎③t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）时，‎ 设h（t）=t2﹣mt﹣2m﹣3‎ h（1）=12﹣m﹣2m﹣3＞0，h（0）=﹣2m﹣3＜0‎ ‎﹣＜m＜﹣，‎ ‎∴m的取值范围为（﹣，﹣）．‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知（1+x）（1+ay）5（a为常数）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，那么（1+x）（1+ay）5展开式中xy2项的系数为　40　．‎ ‎【解答】解：（1+x）（1+ay）5展开式中不含字母x的项的系数和为 ‎（1+a）5=243，‎ 解得a=2；‎ ‎∴（1+x）（1+2y）5展开式中xy2项的系数为 ‎•22=40．‎ 故答案为：40．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）某学校分别从甲、乙两班各抽取7名同学在某次物理测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩82分以上的同学中选取3名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是　28　种．（用数字作答）‎ ‎【解答】解：甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，‎ 则，‎ 解得x=5，y=3，‎ ‎∴甲班82分以上有4人，乙班82分以上有4人，‎ 从这8位同学中选3名，共有=56种不同的取法，‎ 选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数 与乙班同学多于甲班同学的方法数相等，‎ ‎∴所求的结果是×56=28．‎ 故答案为：28．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是　k=2或　．‎ ‎【解答】解：作出平面区域如图所示：‎ 可行域是等腰三角形，平面区域 夹在两条平行直线之间的距离为：，‎ 可得可行域的A（1，2），B（2，1），C（3，3），‎ ‎|AB|==，‎ ‎∴平行线间的距离的最小值为d=，A到BC的距离：=，‎ B到直线AC的距离：=，‎ 所求直线与AC或BC重合，可得：k=2或．‎ 故答案为：k=2或．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）若函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，已知∃x1∈（0，π），使得函数f（x）在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，那么点P的坐标为　（，±1）　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）﹣sin（x+φ）是偶函数，‎ 可得f（﹣x）﹣sin（﹣x+φ）=f（x）﹣sin（x+φ），‎ 即有f（﹣x）=f（x）﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ﹣sinxcosφ+cosxsinφ=f（x）﹣2sinxcosφ，①‎ f（x）﹣cos（x+φ）是奇函数，‎ 可得f（﹣x）﹣cos（﹣x+φ）+f（x）﹣cos（x+φ）=0，‎ f（﹣x）+f（x）﹣cosxcosφ﹣sinxsinφ﹣cosxcosφ+sinxsinφ=0，‎ 即为f（﹣x）+f（x）﹣2cosxcosφ=0，②‎ 由①②可得f（x）=（sinx+cosx）cosφ，‎ 导数为f′（x）=（cosx﹣sinx）cosφ，‎ ‎∃x1∈（0，π），使得函数f（x）‎ 在点P（x1，f（x1）），Q（x1+，f（x1+））处的切线斜率互为倒数，‎ 可得f′（x1）•f′（x1+）=1，‎ 可得（cosx1﹣sinx1）cosφ•（cos（x1+）﹣sin（x1+））cosφ=1，‎ 即为（cosx1﹣sinx1）（﹣sinx1﹣cosx1）cos2φ=1，‎ 即为（sin2x1﹣cos2x1）cos2φ=1，‎ 即有﹣cos2x1•cos2φ=1，‎ 可得cos2φ=1，cos2x1=﹣1，‎ x1∈（0，π），可得x1=，‎ 即有f（x1）=（1+0）•cosφ=±1，‎ 即P（，±1）．‎ 故答案为：（，±1）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．（12分）已知{an}是等差数列，且a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}的前n项和Sn，证明：≤Sn＜．‎ ‎【解答】解：（1）{an}是公差为d的等差数列，且a1=3，a4=12，‎ 可得3+3d=12，解得d=3，‎ 则an=3+3（n﹣1）=3n；‎ 数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列，‎ 可得b1﹣a1=1，b4﹣a4=8，且q3=8，解得q=2，‎ 则{bn﹣an}的首项为1，公比q为2，‎ 则bn﹣an=2n﹣1，‎ 可得bn=3n+2n﹣1；‎ ‎（2）证明：=‎ ‎==﹣，‎ ‎=﹣，‎ 则前n项和Sn=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）‎ ‎=﹣=﹣＜，‎ 由3n+3+2n递增，可得﹣递增，‎ 即有Sn≥S1=﹣=，‎ 则：≤Sn＜．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．‎ ‎（1）若CD=，AD=2，求AB；‎ ‎（2）求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．CD=，AD=2，‎ 则：=，‎ 所以：=．‎ 在△ABC中，利用正弦定理：‎ ‎，‎ 解得：=，‎ ‎（2）△ABC中，利用正弦定理得：=，‎ 所以：，=，‎ 由于：0＜A＜120°，‎ 则：l△ABC==，‎ ‎=2+，‎ ‎=，‎ 由于：0＜A＜120°，‎ 则：30°＜A+30°＜150°，‎ 得到：，‎ 所以△ABC的周长的范围是：‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温差x/摄氏度 ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．‎ ‎（1）若选取的3组数据恰好是连续ξ天的数据（ξ=0表示数据来自互不相邻的三天），求ξ的分布列及期望；‎ ‎（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差x的线性回归方程=x+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？‎ 附：参考公式：=，=﹣．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，ξ=0，2，3；‎ 则P（ξ=0）==，P（ξ=3）==，‎ ‎∴P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=3）=，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望为Eξ=0×+2×+3×=2.1；‎ ‎（2）由题意，计算=×（11+13+12）=12，‎ ‎=×（25+30+26）=27，‎ ‎（xi﹣）（yi﹣）=﹣1×（﹣2）+1×3+0×（﹣1）=5，‎ ‎=（﹣1）2+12+02=2，‎ ‎∴==，‎ ‎=﹣=27﹣×12=﹣3，‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为=x﹣3；‎ 当x=10时，y=×10﹣3=22，且|22﹣23|＜2，‎ 当x=8时，y=×8﹣3=17，且|17﹣16|＜2；‎ ‎∴所求得线性回归方程是可靠的．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣bx（b∈R）．‎ ‎（1）若∃x＞0，使得f（x）≥bx2+x成立，求实数b的最小值；‎ ‎（2）若f（x）的三个零点0，x1，x2满足1＜x1＜x2，l1，l2分别是y=f（x）在x1‎ ‎，x2处的切线，设P（x0，y0）是l1，l2的交点，求y0的取值集合．‎ ‎【解答】解：（1）∃x＞0，使得f（x）≥bx2+x成立，‎ f（x）≥bx2+x⇔﹣x3+x2﹣bx≥bx2+x，⇔b（x+1）≤x2+x﹣1．‎ ‎∴b≤（x＞0）．‎ 令t=x+1＞1．∴b≤=﹣（t＞1）．‎ ‎∵t＞1，t+=2，当且仅当t=时取等号．‎ ‎∴b≤=．‎ ‎∴b的最大值为：．‎ ‎（2）由f（x）=﹣x（x2﹣3x+3b）=0，可得x1，x2是方程x2﹣3x+3b=0的两个实数根，且1＜x1＜x2，‎ ‎∴，且3b﹣2＞0，解得b∈．‎ f′（x）=﹣x2+2x﹣b．‎ ‎∴l1：y=（x﹣x1），l2：y=﹣（﹣+2x2﹣b）（x﹣x2）．‎ 联立解得y0==﹣（+b）．‎ ‎=﹣（3x1﹣3b﹣2x1+b）（3x2﹣3b﹣2x2+b）‎ ‎=﹣（x1﹣2b）（x2﹣2b）‎ ‎=﹣[x1x2﹣2b（x1+x2）+4b2]‎ ‎=﹣（3b﹣6b+4b2）‎ ‎=﹣4b2+3b=﹣4+，b∈．‎ ‎∴y0∈．‎ ‎∴y0的取值集合是．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知f（x）=ex﹣1+ln（+1）．‎ ‎（1）若函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a∈（0，1]且x＞0，证明：f（x）＞2x．‎ ‎【解答】解：（1）由+1＞0在（﹣1，0）上恒成立．‎ 当a＞0时，x＞﹣a，∴﹣a≤﹣1，可得a≥1．‎ 当a＜0时，x＜﹣a，∴﹣a＞0，可得a＜0．‎ 故a∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．‎ 当a≥1时，可得f（x）在（﹣1，0）上单调递增．‎ 当a＜0时，‎ f′（x）=ex+≥0在（﹣1，0）上恒成立，此时x+a＜0．‎ 故ex（x+a）+1≤0，⇔a≤﹣e﹣x﹣x=g（x），x∈（﹣1，0），‎ ‎∵g′（x）=e﹣x﹣1=＞0，∴a≤g（﹣1）=1﹣e．‎ 综上可得：f（x）在（﹣1，0）上单调递增，实数a的取值范围是（﹣∞，1﹣e]∪[1，+∞）．‎ ‎（2）证明：a∈（0，1]且x＞0，f（x）＞2x⇔ex﹣1+ln＞2x．‎ ‎∵x+1，故只要证明：x＞0，ex﹣1+ln（x+1）＞2x．‎ 令h（x）=ex﹣1+ln（x+1）﹣2x（x＞0）．‎ h′（x）=ex+﹣2，‎ h″（x）=ex﹣，即h′（x）在（0，+∞）上单调递增，h′（x）＞h′（0）=0．‎ ‎∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（x）＞h（0）=0．‎ 故a∈（0，1]且x＞0时，f（x）＞2x．‎ ‎　‎ 请考生在22、23题中任选一题作答．‎ ‎22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t为参数）．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程；‎ ‎（2）当m=0时，直线l与曲线C异于原点O的交点为A，直线ρ=﹣与曲线C异于原点O的交点为B，求三角形AOB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．‎ 转化为直角坐标方程为：x2+y2=4x 直线的参数方程，‎ 转化为直角坐标方程为：y=x﹣m．‎ ‎（2）当m=0时，‎ 求得：A（2，），B（2，﹣），‎ 所以：=．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++=m，证明：a+2b+3c≥9．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，‎ 可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，‎ 可得m=1；‎ ‎（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++=1，‎ 则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）‎ ‎=3+（+）+（+）+（+）‎ ‎≥3+2+2+2‎ ‎=3+2+2+2=9，‎ 当且仅当a=2b=3c=3，取得等号．‎ ‎　‎