数学卷·2017届山东省枣庄市第十六中学高三4月阶段性自测（2017

数学卷·2017届山东省枣庄市第十六中学高三4月阶段性自测（2017

‎2017届山东省枣庄十六中高三数学4月份阶段性自测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题 ‎1．, 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为（　　）A．32              B．31              C．16              D．15‎ ‎2.下列说法中正确的是（　　）‎ A．“a＞b”是“log2a＞log2b”的充要条件 B．若函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到的函数图象关于y轴对称 C．命题“在△ABC中，，则”的逆否命题为真命题 D．若数列{an}的前n项和为Sn=2n，则数列{an}是等比数列 ‎3.若复数（为虚数单位），则=（ ） ‎ ‎（A）3 （B）2 （C） （D）‎ ‎4.执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎5.若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（　　）‎ A．34π B． C． D．114π ‎6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（　　）‎ A．|a7|＞|a8| B．|a7|＜|a8| C．|a7|=|a8| D．|a7|=0‎ ‎7.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则S△ABC的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，连接AC，MN交于P点，若，则λ的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+y的最小值为（ ）‎ A． -3 B．-2 C. -1 D．1‎ ‎10.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（　　）‎ A．32 B．16 C．8 D．4‎ 二、填空题 ‎11.已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是　　．‎ ‎12.定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是　　．‎ ‎13.设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为　　．‎ ‎14.已知函数f（x）=sin x+cos x，f′（x）是f（x）的导函数．若f（x）=2f′（x），则=　　．‎ ‎15.在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　　．‎ ‎ 三、解答题 ‎16.已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.‎ ‎18.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c=，siniA=，求△ABC的面积．‎ ‎19.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥‎ 平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20.已知椭圆C： +=1（0＜b＜3）的左右焦点分别为E，F，过点F作直线交椭圆C于A，B两点，若且 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知圆O为原点，圆D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）与椭圆C交于M，N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM，PN与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|•|OS|为常数．‎ ‎21.已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；‎ ‎（2）令g（x）=f（x）+（x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．‎ ‎22.为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50‎ ‎ 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：‎ 手机控 非手机控 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？‎ ‎（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；‎ ‎（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．‎ 参考公式：．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.456[‎ ‎0.708‎ ‎1.321‎ ‎3.840‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 试卷答案 ‎1.D ‎2.B ‎3.B ‎4.B ‎5.C ‎6.B ‎7.D ‎8.D ‎9.A ‎10.B ‎11.{x|x≥3或x≤1}‎ ‎12.[﹣2，2]‎ ‎13.﹣1‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．‎ ‎（2）由（1）及题设知：，‎ 设，‎ ‎∴当x1＞x2＞1时，‎ ‎∴t1＜t2．‎ 当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．‎ ‎∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．‎ 同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ ‎（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），‎ ‎∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；‎ ‎②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知 得，n=1．‎ ‎17.⑴‎ 的增区间为；减区间为. ‎ ‎⑵令 要使恒成立，只需当时，‎ 令，则对恒成立 在上是增函数，则 ‎①当时，恒成立，在上为增函数 ‎，满足题意；‎ ‎②当时，在上有实根, 在上是增函数 则当时，，不符合题意；‎ ‎③当时，恒成立，在上为减函数，‎ 不符合题意 ‎，即. ‎ ‎⑶‎ 设切点坐标为，则切线斜率为 从而切线方程为 令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.‎ ‎.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）∵cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．‎ ‎∴﹣=sin2A﹣sin2B，…2分 可得：cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，可得：sin（2A﹣）=sin（2B﹣），…4分 ‎∵△ABC中，a≠b，可得A≠B，‎ ‎∴2A﹣+2B﹣=π，‎ ‎∴A+B=，可得：C=…6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A+B=，‎ ‎∵sinA=，可得：A=，B=，…8分 ‎∴sin=sin（+）=，…10分 ‎∵c=，由正弦定理，可得：a=，…11分 ‎∴S△ABC=acsinB=…12分 ‎19.【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，‎ 又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，‎ ‎∴BC∥面EFA，‎ 又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，‎ ‎∴BC∥l，‎ 又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，‎ 面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，‎ ‎∴l⊥面PAC．‎ ‎（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，‎ 过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），‎ E（），F（），‎ ‎，，‎ 设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，‎ 则，‎ 取z=，得，，‎ ‎|cos＜＞|==，‎ ‎|cos＜＞|==，‎ 依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，‎ ‎∴y=±1．‎ ‎∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．‎ ‎20.【解答】解：（1）设|BF|=m，则|AF|=2m，|BE|=6﹣m，|AE|=6﹣2m，|AB|=3m．‎ 则有（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，解得m=1，…3（分）‎ ‎∴|AF|=2，|BE|=5，|AE|=4，|AB|=3，‎ ‎∴|AB|2+|AE|2=|BE|2，∴AE⊥AF．‎ 于是，在Rt△AEF中，|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20，‎ 所以|EF|=2，所以b2=9﹣（）2=4，‎ 椭圆C的方程为．…6（分）‎ 证明：（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，‎ 设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），‎ ‎=1，，‎ 所以，．‎ 直线PM的方程为，…9（分）‎ 令y=0得点R的横坐标，‎ 同理可得点S的横坐标．‎ 于是 ‎=，‎ 所以，|OR|•|OS|为常数9．…12（分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两线段乘积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、韦达定理、直线性质的合理运用．‎ ‎21.【解答】解：（1）∵f′（x）=ex﹣2x﹣a，∴f′（0）=1﹣a=1，∴a=0，‎ ‎∴f′（x）=ex﹣2x，记h（x）=ex﹣2x，∴h′（x）=ex﹣2，令h′（x）=0得x=ln2．‎ 当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，‎ ‎∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2＞0，‎ 故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=e﹣1． ‎ ‎（2）∵g（x）=ex﹣（x+a）2，∴g′（x）=ex﹣x﹣a．‎ 令m（x）=ex﹣x﹣a，∴m′（x）=ex﹣1，‎ 当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1﹣a．‎ ‎（i）当1﹣a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，‎ ‎∴g（x）min=g（0）=1﹣≥0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．‎ ‎（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1﹣a＜0，‎ 当1＜a＜e2﹣2时，m（ln（a+2））=2﹣ln（2+a）＞0，‎ ‎∴∃x0∈（0，ln（a+2）），使m（x0）=0，即e=x0+a．‎ 当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；‎ 当x∈（x0，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．‎ ‎∴g（x）min=g（x0）=e﹣（x0+a）2=e﹣e=e（1﹣e）≥0，‎ ‎∴e≤2可得0＜x0≤ln2，由e=x0+a，‎ ‎∴a=e﹣x0．‎ 记t（x）=ex﹣x，x∈（0，ln2]，‎ ‎∴t′（x）=ex﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，‎ ‎∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，‎ 综上，a∈[﹣，2﹣ln2]． ‎ ‎（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，‎ 即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1．‎ ‎∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0．‎ 令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1，‎ 则h′（x）=．‎ ‎∵x＞0，∴ex﹣1＞0．‎ 当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；‎ 当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．‎ ‎∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，‎ ‎∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，‎ ‎∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．‎ ‎22.【解答】解：‎ ‎∴没有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关；‎ ‎（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，所抽取的5人中“手机”有3人，“非手机控”的人数有2人；‎ ‎（3）X=1，2，3，则．‎ X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.1‎ X的数学期望为E（X）=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．‎