广东省珠海市2020届高三上学期期末考试 理科数学(扫描版)

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广东省珠海市2020届高三上学期期末考试 理科数学(扫描版)

1 绝密★启用前 珠海市 2019~2020 学年度第一学期普通高中学业质量监测 高三理科数学试题 时间:120 分钟 满分 150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 { | ln 0}xA x  , 2{ | 4 0}B x x   ,则 A B  A.  1,2 B. (1,2] C. (0,2] D.  1, 2.复数 1 2i1 iz z  , ,其中i 为虚数单位,则 1 2 z z 的虚部为 A.1 B. 1 C.i D. i 3.已知函数   2f x x bx c   , ,b c R ,则“ 0c  ”是“函数  f x 有零点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.一个几何体是由若干个边长为 1 的正方体组成的,其主视图和 左视图如图所示,且使得组成几何体的正方体个数最多,则该几何 体的表面积为 A.13 B.28 C.38 D.46 5.已知 na 是各项都为正数的等比数列, nS 是它的前 n 项和,若 4 6S  , 8 18S  ,则 12S  A.24 B.30 C.42 D.48 6.如图,若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子, 则豆子落在图中阴影部分的概率为 A. 21  B. 2  C. 2 2  D. 2 21  7.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 F ,离心率 2 2 ,过点 F 的直线l 交椭圆于 ,A B 两点,若 AB 中点为 (1,1) ,则直线l 的斜率为 A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2  2 8.如果执行如右图所示的程序框图,则输出的数 S 不可能...是 A.0.4 B.0.5 C.0.75 D.0.9 9.已知 0x  , 0y  , 0z  ,且 9 1 1y z x   , 则 x y z  的最小值为 A.8 B.9 C.12 D.16 10.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱, 到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、 武术到韩国国旗,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼 互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分可表示 为       2 2 2 22 2 4 , 1 1 1 1 0 x y A x y x y x y x                     或 ,设点( , )x y A, 则 2z x y  的最大值与最小值之差是 A. 2 5 B. 2 2 5 C. 2 3 5 D. 2 4 5 11.e 为自然对数的底数,定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 '( ) ( ) 2 xf x f x e  ,其中 '( )f x 为  f x 的导函数,若 2(2) 4f e ,则 ( ) 2 xf x xe 的解集为 A. ,1 B.  1, C. ,2 D. 2, 12.已知球O 的半径为 2 , ,A B 是球面上的两点,且 2 3AB  ,若点 P 是球面上任意一 点,则 PA PB  的取值范围是 A.[ 1,3] B.[ 2,6] C.[0,1] D.[0,3] 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量  = 1,2a  ,  = 2, 2b  ,  = 1,c m  .若  2c a b   ∥ + ,则 m  ________. 14.已知  0,πx ,关于 x 的方程 π2sin 03x k      有两个不同的实数解,则实数 k 的 取值范围为______. 15.已知 1 n xx     的展开式中所有项的系数和为 64,则其展开式中的常数项为_______. 3 16.已知 1F 、 2F 分别为双曲线C :   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点,过 1F 作直线 l 与圆 2 2 2x y a  相切于点T ,且直线l 与双曲线C 的右支交于点 P ,若 1 14FT F P uuur uuur ,则 双曲线C 的离心率为______. 三、解答题:共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 ~ 21题为必考 题,每个试题考生都必须作答. 第 22 ~ 23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17.(12 分)已知 , ,A B C 是 ABC 的内角, , ,a b c 分别是其对边长,向量 ( , )m a b c  , (sin sin ,sin sin )n B A C B   ,且 m n  . (1)求角 A 的大小; (2)若 2a  ,求 ABC 面积的最大值. 18.(12 分)如图,矩形 ABCD 中, 2AB  , 4AD  , E 为 BC 的中点,现将 BAE 与 CDE 折起,使得平面 BAE 及平面CDE 都与平面 DAE 垂直. (1)求证: / /BC 平面 DAE ; (2)求二面角 A BE C  的余弦值. 19.(12 分)已知 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点,过 F 垂直于 x 轴的直线被C 截 得的弦长为 4 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 ( ,0)m ,且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为 AB ,若点 F 在以 AB 为直径 的圆内,求 m 的取值范围. 4 20.(12 分)某游戏棋盘上标有第 0 、1、 2 、 、100站,棋子开始位于第 0 站,选手抛 掷均匀硬币进行游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站, 直到跳到第 99站或第100站时,游戏结束. 设游戏过程中棋子出现在第 n 站的概率为 nP . (1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望; (2)证明:    1 1 1 1 982n n n nP P P P n       ; (3)若最终棋子落在第99站,则记选手落败,若最终棋子落在第100站,则记选手获胜. 请 分析这个游戏是否公平. 21.(12 分)已知函数 ( ) ln 1af x x x    , a R . (1)若对 [1, )x   ,不等式 ( ) 1 0f x x   恒成立,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,设函数 ( )( ) f xg x x  ,试判断 ( )g x 在区间 2[1, ]e 上是否存在极值 ( e 为自然对数的底数).若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由. (二)选考题:共10分. 请考生在第 22 ~ 23 题中任选一题作答. 如果多做,那么按照所 做的第一题计分. 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C : 4cos 4sin x y      ( 为参数),将曲线 1C 上 的所有点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的 1 2 后得到曲线 2C ;以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin 33       . (1)求曲线 2C 和直线 l 的直角坐标方程; (2)已知 ( 2 3 0)M - , ,设直线 l 与曲线 2C 交于不同的 ,A B 两点,求 MA MB 的值. 23.(10 分)设函数    4 0f x x a x a     . (1)当 1a  时,求不等式  f x x 的解集; (2)若   41f x a   恒成立,求 a 的取值范围. 绝密★启用前 珠海市 2019~2020 学年度第一学期普通高中学业质量监测 高三理科数学试题答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 { | ln 0}xA x  , 2{ | 4 0}B x x   ,则 A B  A.  1,2 B. (1,2] C. (0,2] D.  1, 【答案】B 【详解】 僘 ಲ ∞ , − 僘 ,故 ∩ 僘 ,故选 B. 2.复数 1 2i1 iz z  , ,其中i 为虚数单位,则 1 2 z z 的虚部为 A.1 B. 1 C.i D. i 【答案】B 【详解】 1 1 iz   , 1 2 i ii 1 1z z     ,虚部为-1,故选 B. 3.已知函数   2f x x bx c   , ,b c R ,则“ 0c  ”是“函数  f x 有零点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“函数  f x 有零点”等价于“ 2 4 0b c    ”,即“ 2 4b c ”;“ 0c  ”明显 可得到“ 2 4b c ”,而“ 2 4b c ”不一定满足“ 0c  ”,故选 A. 4.一个几何体是由若干个边长为 1 的正方体组成的,其主视图和 左视图如图所示,且使得组成几何体的正方体个数最多,则该几何 体的表面积为 A.13 B.28 C.38 D.46 【答案】D 【详解】综合主视图和左视图,要使组成几何体的正方体个数最多,则下面一层的正方体应 该有 9 个,上层的正方体应有 4 个,共 9+4=13 个.此几何体表面积为 46,故选 D. 5.已知 na 是各项都为正数的等比数列, nS 是它的前 n 项和,若 4 6S  , 8 18S  ,则 12S  A.24 B.30 C.42 D.48 【答案】C 【详解】 na 是各项都为正数的等比数列,所以 4 8 4 12 8, ,S S S S S  也成等比数列,且公比 为 8 4 4 2S S S   ,所以 12 8 8 42( ) 24S S S S    ,因此 12 42S  ,故选 C. 6.如图,若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为 A. 21  B. 2  C. 2 2  D. 2 21  【答案】A 【详解】 1S    矩形 ,又  0 0 sin cos | cos cos0 2xdx x         , 2S   阴影 ,豆子落在图中阴影部分的概率为 2 21      .故选:A. 7.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 F ,离心率 2 2 ,过点 F 的直线l 交椭圆于 ,A B 两点,若 AB 中点为 (1,1) ,则直线l 的斜率为 A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2  【答案】D 【详解】因为 2 2 2 2 2 2 22 , 4 2 , 4( ) 2 , 22 c c a a b a a ba         . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,且 1 2 1 2+ =2 + =2x x y y, , 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b x a y a b b x a y a b       , 相减得 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0b x x x x a y y y y      ,所以 2 2 1 2 1 22 ( ) 2 ( ) 0b x x a y y    , 所以 2 2 1 2 1 2 ( )2 4 0( ) y yb b x x   ,所以 11 2 0, 2k k     .故选 D. 8.如果执行如图所示的程序框图, 则输出的数 S 不可能是 A.0.4 B.0.5 C.0.75 D.0.9 【答案】A 【详解】根据框图: 1 11, 11 2 2i S    ; 1 1 1 1 1 12, 1 1 12 2 3 2 2 3 3i S          ;; 当 1, 1 1i n S n     .当 1n  时, 0.5S  ; 当 3n  时, 0.75S  ;当 9n  时, 0.9S  ; 当 11 0.41n   时, 2 3n N  ,所以选 A. 9.已知 0x  , 0y  , 0z  ,且 9 1 1y z x   ,则 x y z  的最小值为 A.8 B.9 C.12 D.16 【答案】D 【详解】由 , , 0x y z  得, 9 1( ) [ ( )]( )x y z x y z x y z y z x          910 x y z y z x    910 2 16x y z y z x     ,当且仅当 4, 12x y z   时等号成立,选 D. 10.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、 卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图, 其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”. 在如图所示的阴阳鱼图案中, 阴影部分可表示为       2 2 2 22 2 4 , 1 1 1 1 0 x y A x y x y x y x                     或 , 设点( , )x y A,则 2z x y  的最大值与最小值之差是 A. 2 5 B. 2 2 5 C. 2 3 5 D. 2 4 5 【答案】C 【详解】如图,作直线 2 0x y  ,当直线上移与圆 22 ( 1) 1yx    相切时, 2z x y  取 最大值,此时,圆心 (0,1) 到直线 2z x y  的距离等于 1, 即 | 2 | 1 5 z  ,解得 z 的最大值为 2 5 , 当下移与圆 2 2 4x y  相切时, 2x y 取最小值, 同理 | | 2 5 z  ,即 z 的最小值为 2 5 , 所以 2 5 ( 2 5) 2 3 5     .故选 C. 11.e 为自然对数的底数,定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 '( ) ( ) 2 xf x f x e  ,其中 '( )f x 为  f x 的导函数,若 2(2) 4f e ,则 ( ) 2 xf x xe 的解集为 A. ,1 B.  1, C. ,2 D. 2, 【答案】C 【详解】设 ( )( ) 2x f xg x xe   ,所以 (2) 0g  ,且 ( ) 2 xf x xe 等价于 ( ) 2 0x f x xe   等价 于 ( ) (2)g x g ,因为 ( ) ( )( ) 2 0x f x f xg x e      ,故 ( )g x 在 R 上单调递减,所以 ( ) (2)g x g ,解得 2x  ,故选 C. 12.已知球O 的半径为 2, ,A B 是球面上的两点,且 2 3AB  ,若点 P 是球面上任意一 点,则 PA PB  的取值范围是 A.[ 1,3] B.[ 2,6] C.[0,1] D.[0,3] 【答案】B 【详解】由球O 的半径为2, ,A B是球面上的两点,且 2 3AB  , 可得 2 3AOB   , 12 2 ( ) 22OA OB        , 2,OA OB         2 · · · ·PA PB OA OP OB OP OAOB OA OB OP OP                   2 | cos 4 2 4cos| 2,6OA OB OP              ,故选 B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量  = 1,2a  ,  = 2, 2b  ,  = 1,c m  .若  2c a b   ∥ + ,则 m  ________. 【答案】 1 2 【详解】由题可得  2 4,2a b   / / 2c a b  ,  1,c m . 4 2 0m   ,即 1 2m  . 14.已知  0,πx ,关于 x 的方程 π2sin 03x k      有两个不同的实数解,则实数 k 的 取值范围为______. 【答案】 ( 3,2) 【详解】令 1 π2sin 3y x     ,  0,πx , 2y k ,作出 1y 的图象. 若 π2sin 03x k      在 0,π 上有两个不同的实数解, 则 1y 与 2y 应有两个不同的交点,所以 3 2k  . 15.已知 1 n xx     的展开式中所有项的系数和为 64,则其展开式中的常数项为_______. 【答案】15 【详解】已知 1 n xx     的展开式的所有项的系数和为 64,令 1x  ,得 2 64 6n n   , 二项展开式的通项公式为 3 66 2 1 6 6 1( ) ( ) r r r r r rT C x C xx      ,令 3 6 0 42 r r    , 所以常数项为 4 6 15C  . 16.已知 1F 、 2F 分别为双曲线C :   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点,过 1F 作直线l 与圆 2 2 2x y a  相切于点T ,且直线l 与双曲线C 的右支交于点 P ,若 1 14FT F P uuur uuur ,则双 曲线C 的离心率为______. 【答案】 5 3 【详解】如图,由题可知 1 2OF OF c  , OT a ,则 1FT b ,又 1 14F P FT uuur uuur Q , 3TP b  , 1 4F P b  , 又 1 2 2PF PF a  , 2 4 2PF b a   作 2 / /F M OT ,可得 2 2F M a , TM b ,则 2PM b . 在 2MPF 中, 2 2 2 2 2PM MF PF  ,即  22 2c b a  , 2b a c  . 又 2 2 2c a b  ,化简可得 2 23 2 5 0c ac a   ,得 23 2 5 0e e   ,解得 5 3e  . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 ~ 21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22 ~ 23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17.(12 分)已知 , ,A B C 是 ABC 的内角, , ,a b c 分别是其对边长,向量 ( , )m a b c  , (sin sin ,sin sin )n B A C B   ,且 m n  . (1)求角 A 的大小; (2)若 2a  ,求 ABC 面积的最大值. 解: (1)∵ m n  ,∴ 0m n   ……………………1 分 ∴ ( )(sin sin ) (sin sin ) 0b a B A c C B     ……………………2 分 根据正弦定理 ( )( ) ( ) 0b a b a c c b     ……………………3 分 ∴ 2 2 2 0b a c bc    ∴ 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    ……………………5 分 ∵ 0 A < < ,∴ 3A  . ……………………6 分 (2)在 ABC 中, 3A  , 2a  由余弦定理知 2 2 2 2 24 2 cosa b c bc A b c bc       ……………………7 分 ∴ 2 24 2bc b c bc    ,当且仅当 b c 时等号成立. ……………………8 分 ∴ 4bc  ……………………9 分 ∴ 1 1 3sin 4 32 2 2ABCS bc A      ……………………11 分 ∴ ABC 面积的最大值为 3 . ……………………12 分 18.(12 分)如图,矩形 ABCD 中, 2AB  , 4AD  , E 为 BC 的中点,现将 BAE 与 CDE 折起,使得平面 BAE 及平面CDE 都与平面 DAE 垂直. (1)求证: / /BC 平面 DAE ; (2)求二面角 A BE C  的余弦值. 解:(1)过点 B 作 BM AE 于 M , 过点C 作CN ED 于 N ,连接 MN . ∵平面 BAE 及平面CDE 都与平面 DAE 垂直, ∴ BM  平面 DAE ,CN  平面 DAE ,∴ / /BM CN . ……………1 分 ∵矩形 ABCD 中, BAE 与 CDE 全等,∴ BM CN . ……………2 分 ∴四边形 BCNM 是平行四边形,∴ / /BC MN . ……………3 分 又 BC  平面 DAE , MN  平面 DAE ,∴ / /BC 平面 DAE . ……………4 分 (2)矩形 ABCD 中, AE DE ,以 E 为原点, ED 为 x 轴, EA 为 y 轴,建立空间直角坐标系 xyzE ……………5 分 则 (0,0,0), (0, 2, 2), ( 2,0, 2)E B C ∴ (0, 2, 2), ( 2,0, 2)EB EC   ……………6 分 设平面CBE 的法向量为 ( , , )n x y z 则 0 0 n EB n EC         ,即 2 2 0 2 2 0 y z x z      ……………7 分 令 1z  ,则 ( 1, 1,1)n    ……………8 分 易得平面 ABE 的法向量为 (1,0,0)m  ……………9 分 ∴ 1 1 0 0 3cos , 3| | | | 3 1 m nm n m n                 ……………11 分 ∴二面角 A BE C  的余弦值为 3 3  . ……………12 分 19.(12 分)已知 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点,过 F 垂直于 x 轴的直线被C 截 得的弦长为 4. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 ( ,0)m ,且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为 AB ,若点 F 在以 AB 为直径 的圆内,求 m 的取值范围. 解:(1)抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点坐标为 ,02 pF      , ……………1 分 把 2 px  代入 2 2y px ,得 y p  , ……………2 分 所以 2 4p  , ……………3 分 因此抛物线方程为 2 4y x . ……………4 分 (2)设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , 过点 0m, 且斜率为1的直线方程为 y x m  , ……………5 分 联立 2 4y x y x m      , 消去 y 得:  2 22 4 0x m x m    ……………6 分 所以  2 2Δ 2 4 4 0 1m m m       根据韦达定理 1 2 2 4x x m   , 2 1 2x x m , ……………8 分 易知抛物线C 的  1,0F ,点 F 在以 AB 为直径的圆内等价于 0FA FB   ,      1 1 2 2 1 2 1 2 1 21, 1, 1FA FB y y x xx x yyx x               1 2 1 2 1 21x x m mx x x x          2 1 2 1 22 1 1x xx m x m        2 22 1 2 4 1m m m m      2 6 3 0m m    ……………10 分 解得3 2 3 3 2 3m    ,符合 1m   . ……………11 分 所以, m 的范围是 3 2 3 3 2 3 , . ……………12 分 20.(12 分)某游戏棋盘上标有第 0 、1、 2、 、100 站,棋子开始位于第 0 站,选手抛 掷均匀硬币进行游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站, 直到跳到第 99站或第100 站时,游戏结束. 设游戏过程中棋子出现在第 n站的概率为 nP . (1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3 次后,求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望; (2)证明:   1 1 1 1 982n n n nP P P P n       ; (3)若最终棋子落在第99 站,则记选手落败,若最终棋子落在第100 站,则记选手获胜. 请 分析这个游戏是否公平. 解:(1)由题意可知,随机变量 X 的可能取值有 3 、 4、5 、 6 , ……………1 分   31 13 2 8P X       ,   3 1 3 1 34 2 8P X C        ,   3 2 3 1 35 2 8P X C        ,   31 16 2 8P X       . ……………3 分 所以,随机变量 X 的分布列如下表所示: X 3 4 5 6 P 1 8 3 8 3 8 1 8 ……………4 分 所以, 1 3 3 1 9( ) 3 4 5 68 8 8 8 2E X          . ………6 分 (2)依题意,当1 98n  时,棋子要到第 1n 站,有两种情况: 由第 n 站跳1站得到,其概率为 1 2 nP ; 可以由第 1n  站跳 2站得到,其概率为 1 1 2 nP  . 所以, 1 1 1 1 2 2n n nP P P   . ………7 分 同时减去 nP 得    1 1 1 1 1 1 , 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n           ………8 分 (3)依照(2)的分析,棋子落到第 99 站的概率为 99 98 97 1 1 2 2P P P  , ………9 分 由于若跳到第99 站时,自动停止游戏,故有 100 98 1 2P P . ………10 分 所以 100 99P P , ………11 分 即最终棋子落在第99 站的概率大于落在第100 站的概率,游戏不公平. ………12 分 (注意:由于  1 1 1 1 1 1 2 2 2n n n n n nP P P P P P         仅对于1 98n  成立,所以如果 学生使用 99 1 100 99 1 02P P        得到 100 99P P ,从而说明游戏不公平,则应该算是错误, 第(3)小问不给分.) 21.(12 分)已知函数 ( ) ln 1af x x x    , a R . (1)若对 [1, )x   ,不等式 ( ) 1 0f x x   恒成立,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,设函数 ( )( ) f xg x x  ,试判断 ( )g x 在区间 2[1, ]e 上是否存在极值 ( e 为自然对数的底数).若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)由 ( ) 1 0f x x   ,得1 1 1 0anx xx      . 即 21 2a x nx x x    在[1, ) 上恒成立. ……………1 分 设函数 2( ) 1 2m x x nx x x    , 1x  . 则 '( ) 1 2 1m x x nx x    . ……………2 分 ∵ [1, )x  ,∴ '( ) 1 2 1 0m x nx x     . ……………3 分 ∴ ( )m x 在[1, ) 上单调递减. ∴当 [1, )x  时, max( ) (1) 1m x m  . ……………4 分 ∴ 1a  ,即 a 的取值范围是 (1, ) . ……………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 1a  , 2 1 1( ) nx ag x x x x    , 2[1, ]x e . ∴ 2 2 1 1 1'( ) nxg x x x   3 3 2 2 1 2a x x nx a x x    . ……………6 分 设 ( ) 2 1 2h x x x nx a   ,则 '( ) 2 (1 1 ) 1 1h x nx nx     . 由 '( ) 0h x  ,得 x e .当1 x e  时, '( ) 0h x  ;当 2e x e  时, '( ) 0h x  . ∴ ( )h x 在[1,e) 上单调递增,在 2(e,e ]上单调递减. ……………7 分 且 (1) 2 2h a  , ( ) 2h e e a  , 2( ) 2h e a  . (ⅰ)当 ( ) 2 0h e e a   ,即 2 ea  时, ( ) 0h x  即 '( ) 0g x  . ∴ ( )g x 在 2[1,e ]上单调递减. ∴当 2 ea  时, ( )g x 在 2[1,e ]上不存在极值. ……………8 分 (ⅱ)当 ( ) 0h e  ,即1 2 ea  时,据(Ⅰ)可知 2( ) (1) 0h e h  . 则必定 2 1 2, [1, ]x x e  ,使得 1 2( ) ( ) 0h x h x  ,且 2 1 21 x e x e    . ∴当1 2 ea  时, ( )g x 在 2[1,e ]上有极小值 1( )g x 和极大值为 2( )g x . ……………9 分 ∵ 1 1 2 1 1 1 1 1( ) nx ag x x x x    1 1 1 2 1 1x nx x a x   且1 2 ea  , 11 x e  . 设 ( ) 1x x nx x a    ,∴ '( ) 1 0x nx   , ( )x 在 (1, )e 上单调递增, ∴ 1( ) (1) 1 0x a     .∴ 1( ) 0g x  . ……………10 分 ∴当1 2 ea  时, ( )g x 在 2[1, ]e 上的极值 2 1( ) ( ) 0g x g x  . ……………11 分 综上所述:当 2 ea  时, ( )g x 在 2[1, ]e 上不存在极值;当1 2 ea  时, ( )g x 在 2[1, ]e 上存 在极值,且极值均为正. ……………12 分 (二)选考题:共10分.请考生在第 22 ~ 23 题中任选一题作答. 如果多做,那么按照所做 的第一题计分. 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C : 4cos 4sin x y      ,( 为参数),将曲线 1C 上的所有点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的 1 2 后得到曲线 2C ;以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin 33       . (1)求曲线 2C 和直线 l 的直角坐标方程; (2)已知 ( 2 3 0)M - , ,设直线 l 与曲线 2C 交于不同的 A B, 两点,求 MA MB 的值. 解:(1)直线l 的极坐标方程为 πsin 33       , 化简得 3 cos sin 6 0      , 化为直角坐标方程为 3 6 0x y   . ……………2 分 将曲线 1C : 4cos 4sin x y      ,( 为参数),消参得 2 2 16x y  , 依题意变换后得曲线 2C : 2 2 116 4 x y  . ……………5 分 (2)由题意知 ( 2 3 0)M - , 在直线l 上,又直线l 的倾斜角为 π 3 , 所以直线l 的参数方程为 12 3 2 3 2 x t y t       , , (t 为参数) ……………7 分 设 A B, 对应的参数分别为 1t , 2t , 将直线l 的参数方程代入 2 2 116 4 x y  中,得 213 8 3 16 0t t   . ……………8 分 因为 M 在 2C 内,所以   恒成立, 由韦达定理得 1 2 16 13t t   , ……………9 分 所以 1 2 16| | | | | | 13MA MB t t   . ……………10 分 23.(10 分)设函数    4 0f x x a x a     . (1)当 1a  时,求不等式  f x x 的解集; (2)若   41f x a   恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)当 1a  时,   5 2 , 1 1 4 3,1 4 2 5, 4 x x f x x x x x x             , ……………1 分 当 1x  时,  f x x ,无解; 当1 4x  时,  f x x 可得 3 4x  ; 当 4x  时,  f x x 可得 4 5x  ; ……………4 分 故不等式  f x x 的解集为 3,5 . ……………5 分 (2)      4 4 4f x x a x x a x a          , ……………6 分 4 44 1 aa a a      . ……………7 分 当 0a  或 4a  时,不等式显然成立; ……………8 分 当 0 4a  时, 1 1a  ,则1 4a  . ……………9 分 故 a 的取值范围为   ,0 1,  . ……………10 分
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