2017-2018学年广东省湛江第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年广东省湛江第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 广东省湛江第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )‎ A． 结论正确 B． 大前提不正确 C． 小前提不正确 D． 全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．‎ 考点：本题考查了演绎推理的运用 点评：熟练掌握演绎推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题 ‎2．“”是“函数在上单调递增”的（ ）．‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，当时， 恒成立，即递增，但当时， 恒成立， 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”，故选A．‎ ‎3．下列计算错误的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分的性质、几何意义、运算法则求解 ‎【详解】‎ 在A中， ，‎ 在B中，根据定积分的几何意义， ，‎ 在C中， ，‎ 根据定积分的运算法则与几何意义，易知+=，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了定积分的计算，求定积分的方法有三种：定义法（可操作性不强），微积分基本定理法和利用定积分的几何意义求定积分.‎ ‎4．已知三个方程：①②③ (都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( 　)‎ A． ①②③ B． ①② C． ①③ D． ②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数方程转化为普通方程，且注意变量的范围，进而判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①化为普通方程为x2=y ‎②化为普通方程为x2=y ‎③化为普通方程为x2=y，（-1≤x≤1），可得①②表示同一曲线，故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程和普通方程的互化，由参数方程化为普通方程，消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.‎ ‎5．已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且导函数 的图象如图所示，则不等式的解集是(　　)‎ A． (－3，0) B． (－3，5)‎ C． (0，5) D． (－∞，－3)∪(5，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依题意得，当x>0时，f ′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．又f(−3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(−3，5)，选B．‎ ‎6．已知在正三角形ABC中,若D是BC边的中点,G是三角形ABC的重心,则.若把该结论推广到空间,则有:在棱长都相等的四面体ABCD中,若三角形BCD的重心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则等于 ( )‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先利用类比推理得到结论，再利用几何体的体积公式进行证明.‎ 详解：在棱长都相等的四面体中，‎ 且的中心为，‎ 则面，;‎ 因为四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，‎ 所以点为内切球的球心，是内切球的半径，‎ 则,‎ 则，‎ 则.‎ 点睛：本题考查类比推理、几何体的体积公式等知识，意在考查学生的类比思想和空间想象能力.‎ ‎7．在极坐系中点与圆 的圆心之间的距离为(　　)‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将极坐标与极坐标方程化为直角坐标与方程，利用两点之间的距离公式求解.‎ ‎【详解】‎ 点P化为直角坐标P 即P ‎ 圆即 x2+y2=2x，即  （x-1）2+y2=1，故圆心为（1，0），‎ 故点与圆 的圆心之间的距离为 ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标与直角坐标的互化，以及两点间的距离公式的应用，极坐标与直角坐标转化公式：cos=x ，sin=y ，2=x2+y2，根据情况，直接代入转化或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以，再代入公式.‎ ‎8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数f′（x）=3x2+2ax+a+6，由函数f（x）有两个极值点，可知△=4a2-12（a+6）＞0，进而求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ f′（x）=3x2+2ax+a+6，‎ ‎∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x-3有两个极值点，‎ ‎∴△=4a2-12（a+6）＞0，解得a＜-3或a＞6．‎ ‎∴实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（6，+∞）．‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的导数与极值，三次函数的单调性与极值可借助于其导函数（二次函数）来分析.‎ ‎9．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 (　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出当n=k时，左边的代数式，以及当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果 ‎【详解】‎ 当n=k时，左边的代数式为 ，‎ 当n=k+1时，左边的代数式为 ，‎ 用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为 ‎ ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了数学归纳法，要注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，解答关键是代入计算，而不是主观判断.‎ ‎10．正方形的四个顶点 分别在抛物线和 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( 　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何槪型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1），‎ ‎∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，‎ 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：‎ ‎ ‎ 则根据几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了几何槪型的概率的计算，考查了定积分的几何性质，利用定积分求阴影部分的面积是解决本题的关键.‎ ‎11．设函数，以下结论一定错误的是(　　)‎ A． B． 若，则的取值范围是.‎ C． 函数在上单调递增 D． 函数有零点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，依次验证各选项.‎ ‎【详解】‎ A.函数f（x）=ex-e-x，则f′（x）=ex+e-x= ，‎ 当且仅当，即x=0时取“=”，∴A正确；‎ B.由f′（x）＞0知，f（x）是定义域R上的增函数，‎ 由f（x2-2x-2）＜e-e-1=f（1），得x2-2x-2＜1，‎ 解得-1＜x＜3，即x的取值范围是（-1，3），∴B错误；‎ C.根据导数，可知函数y=f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴C正确；‎ D.f（0）=e0-e0=0，∴f（x）有零点，∴D正确．‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的导函数，以及利用导数研究函数的单调性和函数零点问题，考查了基本不等式的应用；利用导数研究函数单调性的关键是准确判断导数的符号.‎ ‎12．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）‎ A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令函数g（x）=，易得当时，导函数g′（x）>0,根据函数的单调性和函数的奇偶性，判断不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎∵x＞0时，g′（x）= ∴g（x）在（0，+∞）递增，‎ ‎∵f（-x）=f（x），∴g（-x）= -g（x），∴g（x）是奇函数，g（x）在（-∞，0）递增，‎ ‎∵g（2）= ∴0＜x＜2时，g（x）＜0，x＞2时，g（x）＞0，‎ 根据函数的奇偶性，g（-2）= -g（2）=0，-2＜x＜0时，g（x）＞0，x＜-2时，g（x）＜0，,‎ 综上所述，不等式的解集为-2＜x＜0或x＞2‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，解题的关键是构造函数，利用导函数判断函数的单调性，结合奇偶性和零点，判断不等式的取值范围.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．观察下列等式: ‎ ‎…‎ 照此规律, 第n个等式可为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察给出的前三个等式的结构特征，归纳得到第n个等式 ‎【详解】‎ 每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，‎ 由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n-1）．‎ 所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理.‎ ‎14．已知直线参数方程为 (t为参数)，直线与圆交于B、C两点,则线段BC中点直角坐标________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程，转化为普通方程，再求解.‎ ‎【详解】‎ 直线参数方程为 (t为参数)，转化为普通方程：，‎ 圆转化为普通方程为 ，‎ 将直线方程代入圆的方程中，整理得 ，‎ 设交点为 ，中点坐标 ，‎ 则 ，‎ ‎ ，‎ 即则线段BC中点直角坐标为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用. 参数方程转化为直坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以，再代入公式.‎ ‎15．已知函数,若函数在点处的切线平行于x轴，则实数b的值是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求g（x）的导数，可得x=0处，切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，得方程，解方程可得b的值.‎ ‎【详解】‎ 函数g（x）=f（x）+sin2x=x3+2ax2+bx+a2+sin2x 则g′（x）=3x2+4ax+b+2cos2x，‎ 可得g（x）在x=0处的切线的斜率为b+2，由题意可得b+2=0，可得b=-2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过导数求切线的斜率，考查了两直线平行的条件：斜率相等；解答本题的关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程.‎ ‎16．若函数图象的对称中心为，记函数的导函数为，则有，设函数,则________．‎ ‎【答案】 0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数f（x）=x3-3x2+2的对称中心为（1，0），利用f（x）的对称性得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，解得，且，‎ 即函数的图象关于点对称，‎ 因为，‎ 则 ‎，故答案为0．‎ ‎【点睛】‎ 本题以新定义的形式考查了函数的对称性判断与应用，考查了函数的导函数，关键是理解题目所给出的信息，求出对称中心，合理应用函数的性质解题..‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，‎ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程； ‎ ‎(Ⅱ)设直线l和圆C相交于A,B两点，求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）运用代入法将直线参数方程转化为普通方程， 代入极坐标与普通坐标的转化公式，即可得直线l的极坐标方程；利用 得圆的普通方程，进而可得圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将圆C的极坐标方程代入直线的极坐标方程，求得θ=0或 ，由扇形和三角形的面积公式，计算即可得到所求面积 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程为 （1）‎ 将代入（1）得 化简得直线l的方程为,‎ 圆C的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ） 解得：A(2,0) , B(2, ),‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程和参数方程、直角坐标方程的互化，考查了曲线的交点、扇形与三角形面积计算公式；在极坐标和参数方程中，常将极坐标方程和参数方程转化为直角坐标解决，以减少对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误；也可直接通过极坐标和参数方程来解决，更为简捷方便.‎ ‎18．已知数列的前n项和．‎ ‎（1）计算，，，； ‎ ‎（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从n=1依次代入Sn与an的关系式，即可求出a1，a2，a3，a4；‎ ‎（2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，归纳推理出数列的通项公式，采用数学归纳法来证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得 当时，有；‎ 当时，有； 同理可得 . ‎ ‎（2）猜想：.‎ ‎ 证明：①当时，由（1）得，等式成立,‎ ‎②假设当时，成立,‎ 则 当时，有 ‎ ,‎ ‎ , 即 当时，等式也成立,‎ ‎ 综合①②可知 对一切都成立 ‎【点睛】‎ 本题考查了数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个数列与自然数集N相关性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，先验证P（n）在n=1时成立；然后在 P（k）（k为任意自然数）成立的假设下，若可推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立.‎ ‎19．（1）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立． ‎ ‎（2）求证：‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用反证法证明；（2）利用分析法的证明 ‎【详解】‎ 证明：（1）假设＜2和＜2都不成立，即2和2同时成立．‎ ‎∵x>0且y＞0，∴，且．‎ 两式相加得，∴．这与已知条件矛盾，‎ ‎∴＜2和＜2中至少有一个成立． ‎ ‎（2）原式子等价于2，‎ 两边平方得到 恒成立，得证．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的证明，考查了反证法以及分析法应用；证明不等式的基本方法：1、比较法 ，2、综合法，3、分析法，4、放缩法.‎ ‎20．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)．设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q公斤与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．‎ ‎(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；‎ ‎(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少时，该工厂的每日利润y最大？并求最大值．‎ ‎【答案】（1） (25≤x≤40) ；（2）最大利润为100e4元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件“日销售量与（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为 ，根据日利润每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围． （2）先对函数进行求导，求出极值点，讨论极值是否在范围内，利用单调性求出函数的最值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设日销量 (k≠0)，则＝100，‎ ‎∴k＝100e30，‎ ‎∴日销量，‎ ‎∴ (25≤x≤40)．‎ ‎(2)当t＝5时，，.‎ 由y′≥0得x≤26，由y′≤0，得x≥26，‎ ‎∴y在区间[25,26]上单调递增，在区间[26,40]上单调递减，∴当x＝26时，ymax＝100e4，‎ 即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元．‎ ‎【点睛】‎ 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．‎ ‎21．(本小题共13分)‎ 已知函数()=In(1+)-+(≥0)。‎ ‎(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求()的单调区间。‎ ‎【答案】（I）（II）当时，得单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ 当时得单调递增区间是.‎ 当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎【解析】‎ 略 ‎22．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； ‎ ‎(Ⅱ)若，证明： ，总有.‎ ‎【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导数，若函数存在单调递减区间,则导函数存在小于0的取值区间，不等式变形后，问题转化为存在取值区间，求出a的范围即可；‎ ‎（Ⅱ）问题转化为证对∀x∈恒成立，构造辅助函数g（x）=e2x+1-（2x+2），x∈[−1，]，求导，利用函数单调性证明；构造辅助函数h(x)＝，求导，根据函数单调性证明；并且g（x）和h（x）不能同时取等号，即可证明不等式，恒成立.故原不等式恒成立.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意得， ‎ 若函数存在单调减区间，则。‎ 即存在取值区间，即存在取值区间，‎ 所以.‎ ‎ (Ⅱ)当时，‎ 由有，从而，‎ 要证原不等式成立，只要证对恒成立 即证明对恒成立 首先令，由，可知，‎ 当时单调递增，当时单调递减，‎ 所以，有 构造函数，，‎ 因为，‎ 可见，在时，，即在上是减函数，‎ 在时，，即在上是增函数，‎ 所以,在上，，所以.‎ 所以，，等号成立当且仅当时， ‎ 综上：，由于取等条件不同，‎ 故，所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，构造合适的函数是解决恒成立问题的关键. 过程繁琐，属于难题