数学卷·2018届黑龙江省大庆市杜蒙县高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省大庆市杜蒙县高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省大庆市杜蒙县高二（上）12月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．点（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎3．空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 ‎4．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（　　）‎ A．只有一条 B．无数条 C．是平面α内的所有直线 D．不存在 ‎5．下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是（　　）‎ A．2x﹣y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y+1=0 D．x+y﹣1=0‎ ‎6．直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程不可以用下面哪种形式写出（　　）‎ A．点斜式 B．斜截式 C．截距式 D．一般式 ‎7．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎8．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相离 C．相切 D．内含 ‎9．若直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，则m、n的关系是（　　）‎ A．m﹣n﹣2=0 B．m+n﹣2=0 C．m+n﹣4=0 D．m﹣n+4=0‎ ‎10．P是圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上点，则点P到直线3x+4y﹣2=0的最大距离是（　　）‎ A．2 B．5 C．8 D．9‎ ‎11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，直线l：x﹣y=0，则C关于l的对称圆C′的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+（y+2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣1）2+（y+2）2=5‎ ‎12．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）‎ ‎13．若直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行，则实数a的值为　　．‎ ‎14．已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），则这个三角形的最大边边长是　　，最小边边长是　　．‎ ‎15．若球O内切于棱长为2的正方体，则球O的表面积为　　．‎ ‎16．若圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，则实数m的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．‎ ‎（1）求OC所在直线的斜率；‎ ‎（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．‎ ‎18．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．‎ ‎19．如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm．‎ ‎（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积；‎ ‎（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面CB1D1；‎ ‎（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．‎ ‎21．已知直线l在y轴上的截距为﹣2，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程．‎ ‎22．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．‎ ‎（1）求实数a、b间满足的等量关系；‎ ‎（2）求线段PQ长的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省大庆市杜蒙县高二（上）12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．点（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：点（1，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的方程求出斜率，再由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的值．‎ ‎【解答】解：∵直线l的方程为y=x+1，∴斜率为1，又倾斜角α∈[0，π），∴α=45°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据空间两条直线的位置关系矩形判断．‎ ‎【解答】解：在空间，两条直线的位置关系有：相交、平行和异面；其中两条直线平行或者相交可以确定一个平面，‎ 所以空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是平行或者异面；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（　　）‎ A．只有一条 B．无数条 C．是平面α内的所有直线 D．不存在 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】若直线a与平面α不垂直，有三种情况：直线a∥平面α，直线a⊂平面α，直线a与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a垂直的直线的条数，能够得到结果．‎ ‎【解答】解：若直线a与平面α不垂直，‎ 当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；‎ 当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；‎ 直线a与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．‎ ‎∴若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是（　　）‎ A．2x﹣y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y+1=0 D．x+y﹣1=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】将直线化成斜截式，易得已知直线的斜率k1=﹣2，因此与已知直线垂直的直线斜率k2==．由此对照各个选项，即可得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵直线2x+y+1=0的斜率为k1=﹣2‎ ‎∴与直线2x+y+1=0垂直的直线斜率k2==‎ 对照A、B、C、D各项，只有B项的斜率等于 故选：B ‎　‎ ‎6．直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥‎ x轴，则直线l的方程不可以用下面哪种形式写出（　　）‎ A．点斜式 B．斜截式 C．截距式 D．一般式 ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】l∥x轴，可得直线l的方程为y=1．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：∵l∥x轴，则直线l的方程为y=1．‎ 则直线l的方程不可以用下面截距式写出．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，‎ 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，‎ 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，‎ 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相离 C．相切 D．内含 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2﹣2x﹣6y+1=0分别化为标准方程得：‎ ‎（x+2）2+（y+1）2=4，（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，‎ 故圆心坐标分别为（﹣2，﹣1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3，‎ ‎∵圆心之间的距离d==5，R+r=5，‎ 则两圆的位置关系是相外切．‎ 故选：C．．‎ ‎　‎ ‎9．若直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，则m、n的关系是（　　）‎ A．m﹣n﹣2=0 B．m+n﹣2=0 C．m+n﹣4=0 D．m﹣n+4=0‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，所以可知：圆心在直线上．‎ ‎【解答】解：直线mx+2ny﹣4=0始终平分圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的周长，所以可知：圆心在直线上．‎ 由圆的一般方程圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，得知：（x﹣2）2+（y+1）2=9，圆心O（2，﹣1），半径r=3；‎ 圆心在直线上，即：2m﹣2n﹣4=0⇒m﹣n﹣2=0‎ 故选：A ‎　‎ ‎10．P是圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上点，则点P到直线3x+4y﹣2=0的最大距离是（　　）‎ A．2 B．5 C．8 D．9‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出元新到直线的距离，则原上的点P到直线l：3x﹣4y﹣5=0的距离的最大值可求．‎ ‎【解答】解：由（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，可知该圆的圆心为（5，3），半径为3．‎ 则圆心到直线l：3x+4y﹣2=0的距离为．‎ 所以圆上的点P到直线l：3x+4y﹣2=0的距离的最大值是3+5=8．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，直线l：x﹣y=0，则C关于l的对称圆C′的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+（y+2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣1）2+（y+2）2=5‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】求出已知圆的圆心和半径，设出对称圆的圆心C′（ a，b），由 CC′⊥l，且CC′的中点在直线l上，可得 ‎×1=﹣1，且﹣=0，解得 a、b 的值，即可得到对称圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，故圆心C（1，2），半径等于．‎ 设C′（ a，b），则有 CC′⊥l，且CC′的中点在直线l上．‎ 故有×1=﹣1，且﹣=0，解得 a=2，b=1．‎ 又对称圆和已知的圆半径相同，故对称圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos＜，＞，可得答案．‎ ‎【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）‎ ‎∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）‎ 设异面直线A1E与GF所成角的为θ，‎ 则cosθ=|cos＜，＞|=0，‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）‎ ‎13．若直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行，则实数a的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】根据两条直线平行，斜率相等，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行，‎ ‎∴1=﹣，‎ ‎∴a=﹣2，显然两条直线不重合．‎ 故答案为﹣2．‎ ‎　‎ ‎14．已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），则这个三角形的最大边边长是　　，最小边边长是　　．‎ ‎【考点】两点间距离公式的应用．‎ ‎【分析】利用两点间的距离公式分别求得三边的长，判断出最大和最小边的长度．‎ ‎【解答】解：|P1P2|==，|P2P3|==，|P1P3|==，‎ ‎∴最大的边长为，最短的边为 故答案为：，．‎ ‎　‎ ‎15．若球O内切于棱长为2的正方体，则球O的表面积为　4π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，由此能求出其表面积．‎ ‎【解答】解：棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，‎ 表面积=4πr2=4π．‎ 故答案为4π．‎ ‎　‎ ‎16．若圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，则实数m的值为　﹣3　．‎ ‎【考点】圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】由圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，知圆心C（2，﹣1），过点C作y轴的垂线交y轴于点D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，由此能求出实数m．‎ ‎【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x+2y+m=0，‎ ‎∴（x﹣2）2+（y+1）2=5﹣m，‎ 圆心C（2，﹣1），‎ 因为∠ACB=90°，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，‎ 在等腰直角三角形BCD中，‎ CD=BD=2，‎ ‎∴5﹣m=CB2=4+4，‎ 解得m=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．‎ ‎（1）求OC所在直线的斜率；‎ ‎（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．‎ ‎【考点】直线的点斜式方程；斜率的计算公式；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率即可；‎ ‎（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），‎ ‎∴OC所在直线的斜率为．‎ ‎（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．‎ ‎∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．‎ ‎　‎ ‎18．已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上．求圆C的方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意，设圆的圆心为（3b，b），则有|3b|=4，求得b的值，可得圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：∵圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②半径为4；③圆心在直线x﹣3y=0上，‎ 设圆的圆心为（3b，b），则|3b|=4，∴b=±，‎ 故要求的圆的方程为（x﹣4）2+=16，或（x+4）2+=16．‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm．‎ ‎（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积；‎ ‎（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）利用勾股定理计算棱锥的高VM，代入棱锥的体积公式计算；‎ ‎（2）∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，在Rt△VDM中计算sin∠VDM．‎ ‎【解答】解：（1）∵正四棱锥V﹣ABCD中，ABCD是正方形，‎ ‎∴MC=AC=BD=3（cm）．‎ 且S正方形ABCD=AC×BD=18（cm2）．‎ Rt△VMC中，VM==4（cm）．‎ ‎∴正四棱锥的体积为V==（cm3）．‎ ‎（2）∵VM⊥平面ABCD，∴∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，‎ ‎∵VD=VC=5，‎ 在RT△VDM中，sin∠VDM=．‎ 所以直线VD与底面ABCD所成角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD，AB的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面CB1D1；‎ ‎（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能证明直线EF∥平面CB1D1．‎ ‎（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，从而CC1⊥B1D1，由此能证明B1D1⊥平面CAA1C1，从而能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．‎ ‎【解答】（1）证明：连结BD，在△ABD中，‎ E、F分别为棱AD、AB的中点，故EF∥BD，‎ 又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…‎ 又B1D1⊂平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，‎ 所以直线EF∥平面CB1D1．…‎ ‎（2）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，‎ 则A1C1⊥B1D1…‎ 又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，‎ 则CC1⊥B1D1，…‎ 又A1C1∩CC1=C1，A1C1⊂平面CAA1C1，CC1⊂平面CAA1C1，‎ 所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1⊂平面CB1D1，‎ 所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…‎ ‎　‎ ‎21．已知直线l在y轴上的截距为﹣2，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△‎ OAB内接于圆C，求圆C的一般方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）设直线l的方程为y=kx﹣2，利用两直线垂直斜率相乘为﹣1来求出另一条直线的斜率即可；‎ ‎（2）由于△OAB是直角三角形，所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为．‎ ‎【解答】解：（1）设直线l的方程为y=kx﹣2．‎ 直线x﹣2y﹣1=0的斜率为，所以k=﹣2．‎ 直线l的方程为y=﹣2x﹣2．‎ ‎（2）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．‎ 由于△OAB是直角三角形，‎ 所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为；‎ 由A（﹣1，0），B（0，﹣2）得C（﹣，﹣1），|AB|=；‎ 故，解得D=1，E=2，F=0．‎ 圆C的一般方程为：x2+y2+x+2y=0．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．‎ ‎（1）求实数a、b间满足的等量关系；‎ ‎（2）求线段PQ长的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）因为Q是切点，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2，列出等式即可；‎ ‎（2）点P在直线l：2x+y﹣3=0 上．|PQ|min=|PA|min ，即求点A 到直线 l 的距离；‎ ‎【解答】解：（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有 ‎|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2‎ 又由已知|PQ|=|PA|，故：（a2+b2）﹣12=（a﹣2）2+（b﹣1）2‎ 化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b﹣3=0．‎ ‎（2）由（1）知，点P在直线l：2x+y﹣3=0 上．‎ ‎∴|PQ|min=|PA|min ，即求点A 到直线 l 的距离．‎ ‎∴|PQ|min═=‎ ‎　‎