2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式达标检测新人教A版选修4-5
第一讲 不等式和绝对值不等式
达标检测
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若a>b>c,则-( )
A.大于0 B.小于0
C.小于等于0 D.大于等于0
解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0,
∴<,∴->0.故选A.
答案:A
2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
解析:∵a+b>0,b<0,
∴a>-b>0,0>b>-a,
∴a>-b>b>-a.
答案:C
3.若logxy=-2,则x+y的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析:由logxy=-2得y=,而x+y=x+=++≥3=3=.
答案:A
4.已知|x-a|
0,b>0,a+b=1,则的最小值是( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:
=
==+1,
∵a+b=1,∴2≤1.
∴ab≤,∴≥9.
答案:D
11.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-1]∪[4,+∞)
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[1,2]
D.(-∞,1]∪[2,+∞)
解析:因为-4≤|x+3|-|x-1|≤4,且|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意x恒成立,
所以a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0,
解得a≥4,或a≤-1.
答案:A
12.设0时,原不等式转化为4x≤6⇒x≤;
当-≤x≤时,原不等式转化为2≤6,恒成立;
当x<-时,原不等式转化为-4x≤6⇒x≥-.
由上综合知,原不等式的解集为.
法二:原不等式可化为|x-|+|x+|≤3,其几何意义为数轴上到,-两点的距离之和不超过3的点的集合.数形结合知,当x=或x=-时,到,-两点的距离之和恰好为3,故当-≤x≤时,满足题意,则原不等式的解集为.
答案:
14.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是________.
解析:因为x,a,b,y成等差数列,所以x+y=a+b,
又x,c,d,y成等比数列,所以xy=cd,===++2≥2+2=4,当且仅当x=y时,取等号.
答案:4
15.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.
解析:(x+y)=1+a++≥1+a+2,
∴1+a+2≥9,即a+2-8≥0,故a≥4.
答案:4
16. 下面四个命题:①若a>b,c>1,则alg c>blg c;
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②若a>b,c>0,则alg c>blg c;
③若a>b,则a·2c>b·2c;
④若a0,则>.
其中正确命题有________.(填序号)
解析:②不正确,因为00,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.
解析:∵6=x+3y+4z=++y+y+y+4z≥6,
∴x2y3z≤1(当=y=4z时,取“=”).
∴x=2,y=1,z=时,x2y3z取得最大值1.
18.(12分)已知ab≠0,且a>b,试比较与的大小.
解析:-=,
∵ab≠0,a>b,∴b-a<0,
如果ab<0,>0,∴>,
如果ab>0,<0,∴<.
19.(12分)解不等式|2x-4|-|3x+9|<1.
解析:①当x>2时,原不等式等价于
⇒x>2.
②当-3≤x≤2时,原不等式等价于
⇒-0,b>0,求证:≥9.
证明:因为a>0,b>0,所以
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a+b+≥3=3>0. ①
同理可证a2++≥3>0. ②
由①,②结合不等式的性质得
≥3×3=9,
当a=b=1时,取等号.
21.(13分)已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解析:(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)法一:当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|=
所以当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上所述,g(x)的最小值为5.
从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立.
则m的取值范围为(-∞,5].
法二:当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5).
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.
从而,若f(x)+f(x+5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为
(-∞,5].
22.(13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L
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路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
解析:设点P的坐标为(x,y).
(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,
x∈R,y∈[0,+∞).
(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.
①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.
因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)
当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.
又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)
当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立,
所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.
d2(x)=2|y|+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.
故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.
②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.
综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
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