2020高中数学 课时分层作业7 椭圆及其标准方程 新人教A版选修2-1

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2020高中数学 课时分层作业7 椭圆及其标准方程 新人教A版选修2-1

课时分层作业(七)  椭圆及其标准方程 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.椭圆+=1的焦点坐标为(  )‎ A.(5,0),(-5,0)     B.(0,5),(0,-5)‎ C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0)‎ C [c2=169-25=144.c=12,故选C.]‎ ‎2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是(  )‎ A.x2+=1‎ B.+y2=1或x2+=1‎ C.+y2=1‎ D.以上都不对 A [设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),‎ 则 ‎∴ ‎∴椭圆的方程为x2+=1.]‎ ‎3.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于(  ) ‎ ‎【导学号:46342065】‎ A.5       B.4‎ C.3 D.1‎ B [由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=‎2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选B.]‎ ‎4.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是(  )‎ A.圆 B.椭圆 5‎ C.线段 D.直线 B [|PF1|+|PO|=|MF1|+|MF2|=(|MF1|+|MF2|)=a>|F1O|,因此点P的轨迹是椭圆.]‎ ‎5.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(3,+∞)‎ B.(-∞,-2)‎ C.(3,+∞)∪(-∞,-2)‎ D.(3,+∞)∪(-6,-2)‎ D [由于椭圆的焦点在x轴上,‎ 所以即 解得a>3或-6<a<-2,故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为____________. ‎ ‎【导学号:46342066】‎ +=1 [由题意知,解得则b2=a2-c2=3,‎ 故椭圆的标准方程为+=1.]‎ ‎7.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF‎1F2的面积为9,则b=________.‎ ‎3 [依题意,有 可得‎4c2+36=‎4a2,即a2-c2=9,故有b=3.]‎ ‎8.已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.‎ ‎(x+1)2+y2=16 [如图,依题意,|PF1|+|PF2|=‎2a(a是常数且a>0).‎ 又|PQ|=|PF2|,‎ ‎∴|PF1|+|PQ|=‎2a,‎ 即|QF1|=‎2a.‎ 由题意知,a=2,b=,c===1.‎ ‎∴|QF1|=4,F1(-1,0),‎ 5‎ ‎∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,‎ ‎∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.]‎ 三、解答题 ‎9.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.‎ ‎[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,‎ ‎∴‎2a=4,a2=4,‎ ‎∵点是椭圆上的一点,‎ ‎∴+=1,‎ ‎∴b2=3,∴c2=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ 焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).‎ ‎10.已知点A(0,)和圆O1:x2+(y+)2=16,点M在圆O1上运动,点P在半径O‎1M上,且|PM|=|PA|,求动点P的轨迹方程. ‎ ‎【导学号:46342067】‎ ‎[解] 因为|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4,‎ 所以|PO1|+|PA|=4,‎ 又因为|O‎1A|=2<4,‎ 所以点P的轨迹是以A,O1为焦点的椭圆,所以c=,a=2,b=1.‎ 所以动点P的轨迹方程为x2+=1.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为(  )‎ A.         B.. C. D. C [设M(x0,y0),由F1(-,0),F2(,0)得=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),‎ 5‎ 由·=0得x+y=3,‎ 又+y=1,解得y0=±.‎ 即点M到x轴的距离为,故选C.]‎ ‎2.如图223,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为__________.‎ 图223‎ +=1 [设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b,‎ ‎∴|BF|=a.∵∠OFB=,∴=,a=2b.‎ ‎∴S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b=(2b-b)b=2-,‎ 解得b2=2,则a=2b=2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为+=1.]‎ ‎3.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,-4),则k的值为________. ‎ ‎【导学号:46342068】‎ k= [易知k>0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.]‎ ‎4.如图224所示,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=________.‎ 图224‎ 5‎ ‎2 [设正三角形POF2的边长为c,则c2=,‎ 解得c=2,从而|OF2|=|PF2|=2,‎ 连接PF1(略),由|OF1|=|OF2|=|OP|知,PF1⊥PF2‎ 则|PF1|===2 所以‎2a=|PF1|+|PF2|=2+2,即a=+1‎ 所以b2=a2-c2=(+1)2-4=2.]‎ ‎5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆C相交于A,B两点(如图225所示),∠F‎1F2B=,△F‎1F2A的面积是△F‎1F2B面积的2倍.若|AB|=,求椭圆C的方程.‎ 图225‎ ‎[解] 由题意可得S=2S,‎ ‎∴|F‎2A|=2|F2B|,‎ 由椭圆的定义得 ‎|F1B|+|F2B|‎ ‎=|F‎1A|+|F‎2A|=‎2a,‎ 设|F‎2A|=2|F2B|=‎2m,‎ 在△F‎1F2B中,由余弦定理得 ‎(‎2a-m)2=‎4c2+m2-2·‎2c·m·cos⇒‎ m=.‎ 在△F‎1F2A中,同理可得m=,‎ 所以=,解得‎2a=‎3c,‎ 可得m=,|AB|=‎3m==,c=4.‎ 由=,得a=6,b2=20,‎ 5‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ 5‎
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