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文档介绍
2020高中数学 课时分层作业7 椭圆及其标准方程 新人教A版选修2-1
课时分层作业(七) 椭圆及其标准方程 (建议用时:40分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.椭圆+=1的焦点坐标为( ) A.(5,0),(-5,0) B.(0,5),(0,-5) C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0) C [c2=169-25=144.c=12,故选C.] 2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是( ) A.x2+=1 B.+y2=1或x2+=1 C.+y2=1 D.以上都不对 A [设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 则 ∴ ∴椭圆的方程为x2+=1.] 3.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( ) 【导学号:46342065】 A.5 B.4 C.3 D.1 B [由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选B.] 4.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 5 C.线段 D.直线 B [|PF1|+|PO|=|MF1|+|MF2|=(|MF1|+|MF2|)=a>|F1O|,因此点P的轨迹是椭圆.] 5.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( ) A.(3,+∞) B.(-∞,-2) C.(3,+∞)∪(-∞,-2) D.(3,+∞)∪(-6,-2) D [由于椭圆的焦点在x轴上, 所以即 解得a>3或-6<a<-2,故选D.] 二、填空题 6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为____________. 【导学号:46342066】 +=1 [由题意知,解得则b2=a2-c2=3, 故椭圆的标准方程为+=1.] 7.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________. 3 [依题意,有 可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.] 8.已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________. (x+1)2+y2=16 [如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0). 又|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|=2a, 即|QF1|=2a. 由题意知,a=2,b=,c===1. ∴|QF1|=4,F1(-1,0), 5 ∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆, ∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.] 三、解答题 9.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标. [解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4, ∴2a=4,a2=4, ∵点是椭圆上的一点, ∴+=1, ∴b2=3,∴c2=1, ∴椭圆C的方程为+=1. 焦点坐标分别为(-1,0),(1,0). 10.已知点A(0,)和圆O1:x2+(y+)2=16,点M在圆O1上运动,点P在半径O1M上,且|PM|=|PA|,求动点P的轨迹方程. 【导学号:46342067】 [解] 因为|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4, 所以|PO1|+|PA|=4, 又因为|O1A|=2<4, 所以点P的轨迹是以A,O1为焦点的椭圆,所以c=,a=2,b=1. 所以动点P的轨迹方程为x2+=1. [能力提升练] 1.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( ) A. B.. C. D. C [设M(x0,y0),由F1(-,0),F2(,0)得=(--x0,-y0),=(-x0,-y0), 5 由·=0得x+y=3, 又+y=1,解得y0=±. 即点M到x轴的距离为,故选C.] 2.如图223,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为__________. 图223 +=1 [设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b, ∴|BF|=a.∵∠OFB=,∴=,a=2b. ∴S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b=(2b-b)b=2-, 解得b2=2,则a=2b=2. ∴所求椭圆的方程为+=1.] 3.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,-4),则k的值为________. 【导学号:46342068】 k= [易知k>0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.] 4.如图224所示,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=________. 图224 5 2 [设正三角形POF2的边长为c,则c2=, 解得c=2,从而|OF2|=|PF2|=2, 连接PF1(略),由|OF1|=|OF2|=|OP|知,PF1⊥PF2 则|PF1|===2 所以2a=|PF1|+|PF2|=2+2,即a=+1 所以b2=a2-c2=(+1)2-4=2.] 5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆C相交于A,B两点(如图225所示),∠F1F2B=,△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|=,求椭圆C的方程. 图225 [解] 由题意可得S=2S, ∴|F2A|=2|F2B|, 由椭圆的定义得 |F1B|+|F2B| =|F1A|+|F2A|=2a, 设|F2A|=2|F2B|=2m, 在△F1F2B中,由余弦定理得 (2a-m)2=4c2+m2-2·2c·m·cos⇒ m=. 在△F1F2A中,同理可得m=, 所以=,解得2a=3c, 可得m=,|AB|=3m==,c=4. 由=,得a=6,b2=20, 5 所以椭圆C的方程为+=1. 5查看更多