2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (江苏卷) 精校版（含答案）

2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (江苏卷) 精校版（含答案）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(江苏卷)‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 数学I 试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，那么________．‎ ‎2．若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为________．‎ ‎3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．‎ ‎4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为________．‎ ‎5．函数的定义域为________．‎ ‎6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．‎ ‎7．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．‎ ‎9．函数满足，且在区间上，‎ ‎，则的值为________．‎ ‎10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．‎ ‎11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．‎ ‎13．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为________．‎ ‎14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为________．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（14分）在平行六面体中，，．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎16．（14分）已知，为锐角，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求，均在线段上，，均在圆弧上．设与所成的角为．‎ ‎（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；‎ ‎（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎18．（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，，圆的直径为．‎ ‎（1）求椭圆及圆的方程；‎ ‎（2）设直线与圆相切于第一象限内的点．‎ ‎①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；‎ ‎②直线与椭圆交于，两点．若的面积为，求直线的方程．‎ ‎19．（16分）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．‎ ‎（1）证明：函数与不存在“点”；‎ ‎（2）若函数与存在“点”，求实数的值；‎ ‎（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．‎ ‎20．（16分）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎（1）设，，，若对，2，3，4均成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若，，，证明：存在，使得对，3，，均成立，并求的取值范围（用，，表示）．‎ 数学II （附加题）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4—1：几何证明选讲]‎ 如图，圆的半径为2，为圆的直径，为延长线上一点，过作圆的切线，切点为．若，求的长．‎ B．[选修4—2：矩阵与变换]‎ 已知矩阵．‎ ‎（1）求的逆矩阵；‎ ‎（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．‎ C．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线l被曲线截得的弦长．‎ D．[选修4—5：不等式选讲]‎ 若，，为实数，且，求的最小值．‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（10分）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎23．（10分）设，对1，2，···，的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序，，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的表达式(用表示)．‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 答 案(江苏卷)‎ 数学I 试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．【答案】‎ ‎2．【答案】2‎ ‎3．【答案】90‎ ‎4．【答案】8‎ ‎5．【答案】‎ ‎6．【答案】‎ ‎7．【答案】‎ ‎8．【答案】2‎ ‎9．【答案】‎ ‎10．【答案】‎ ‎11．【答案】‎ ‎12．【答案】3‎ ‎13．【答案】9‎ ‎14．【答案】27‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）在平行六面体中，．‎ 因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）在平行六面体中，四边形为平行四边形．‎ 又因为，所以四边形为菱形，‎ 因此．又因为，，所以．‎ 又因为，平面，平面，‎ 所以平面．因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎16．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，，所以．‎ 因为，所以，因此，．‎ ‎（2）因为，为锐角，所以．‎ 又因为，所以，‎ 因此．因为，所以，‎ 因此，．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连结并延长交于，则，所以．‎ 过作于，则，所以，‎ 故，，‎ 则矩形的面积为，‎ 的面积为．‎ 过作，分别交圆弧和的延长线于和，则．‎ 令，则，．‎ 当时，才能作出满足条件的矩形，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为，‎ 设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，‎ 则年总产值为 ‎，．‎ 设，，‎ 则．‎ 令，得，当时，，所以为增函数；‎ 当时，，所以为减函数，‎ 因此，当时，取到最大值．‎ ‎18．【答案】（1）椭圆的方程为；圆的方程为；‎ ‎（2）①点的坐标为；②直线的方程为．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆的焦点为，，‎ 可设椭圆的方程为．又点在椭圆上，‎ 所以，解得，因此，椭圆的方程为．‎ 因为圆的直径为，所以其方程为．‎ ‎（2）①设直线与圆相切于，则，‎ 所以直线的方程为，即．‎ 由，消去，得．（*）‎ 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以．‎ 因为，，所以，．‎ 因此，点的坐标为．‎ ‎②因为三角形的面积为，所以，从而．‎ 设，，由（*）得，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 解得（舍去），则，因此的坐标为．‎ 综上，直线的方程为．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）的值为；‎ ‎（3）对任意，存在，使函数与在区间内存在“点”．‎ ‎【解析】（1）函数，，则，．‎ 由且，得，此方程组无解，‎ 因此，与不存在“”点．‎ ‎（2）函数，，则，．‎ 设为与的“”点，由与且与，‎ 得，即，（*）‎ 得，即，则．‎ 当时，满足方程组（*），即为与的“”点．‎ 因此，的值为．‎ ‎（3）对任意，设．‎ 因为，，且的图象是不间断的，‎ 所以存在，使得，令，则．‎ 函数，，‎ 则，．‎ 由且，得 ‎，即（**），‎ 此时，满足方程组（**），即是函数与在区间内的一个“点”．‎ 因此，对任意，存在，使函数与在区间内存在“点”．‎ ‎20．【答案】（1）的取值范围为；‎ ‎（2）的取值范围为，证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由条件知：，．‎ 因为对，2，3，4均成立，‎ 即对，2，3，4均成立，‎ 即，，，，得．‎ 因此，的取值范围为．‎ ‎（2）由条件知：，．‎ 若存在，使得（，3，，）成立，‎ 即（，3，，），‎ 即当，3，，时，满足．‎ 因为，则，‎ 从而，，对，3，，均成立．‎ 因此，取时，对，3，，均成立．‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值 ‎（，3，，）．‎ ‎①当时，，‎ 当时，有，从而．‎ 因此，当时，数列单调递增，‎ 故数列的最大值为．‎ ‎②设，当时，，‎ 所以单调递减，从而．‎ 当时，，‎ 因此，当时，数列单调递减，‎ 故数列的最小值为．‎ 因此，的取值范围为．‎ 数学II （附加题）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．【答案】2‎ ‎【解析】连结，因为与圆相切，所以．‎ 又因为，，‎ 所以．‎ 又因为，从而为斜边的中点，所以．‎ B．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，，‎ 所以可逆，从而．‎ ‎（2）设，则，所以，‎ 因此点的坐标为．‎ C．【答案】直线被曲线截得的弦长为．‎ ‎【解析】因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以曲线的圆心为，直径为4的圆．‎ 因为直线的极坐标方程为，‎ 则直线过，倾斜角为，‎ 所以为直线与圆的一个交点．‎ 设另一个交点为，则．‎ 连结，因为为直径，从而，‎ 所以．因此，直线被曲线截得的弦长为．‎ D．【答案】4‎ ‎【解析】由柯西不等式，得．‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时，不等式取等号，此时，，，‎ 所以的最小值为4．‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，以为基底，建立空间直角坐标系．因为，‎ 所以，，，，，．‎ ‎（1）因为为的中点，所以，‎ 从而，，‎ 故．‎ 因此，异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎（2）因为为的中点，所以，‎ 因此，，．‎ 设为平面的一个法向量，则即，‎ 不妨取，设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎23．【答案】（1）2，5；（2）时，．‎ ‎【解析】（1）记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有 ‎，，，，，，‎ 所以，．‎ 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．‎ 因此，．‎ ‎（2）对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，‎ 所以．逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．‎ 为计算，当1，2，…，的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．‎ 因此，．当时，‎ ‎，‎ 因此，时，．‎