高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义

高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．(2013烟台模拟)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是(　　)‎ A. B. ‎ C. D．π ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，∴a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，θ＝.‎ ‎2．(2012泉州四校二次联考)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)‎ A．－8 B．8 ‎ C．－8或8 D．6‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.‎ ‎3．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 ‎ C．重心 D．垂心 ‎[答案]　D ‎[解析]　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.‎ 同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．‎ ‎4．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－‎2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由(a－2b)·a＝0及(b－‎2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝，θ＝.‎ ‎5．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ‎[答案]　C ‎[解析]　由－·＝·＋·，‎ 得·(－)＝·(－)，‎ 即·＝·，∴·＋·＝0，‎ ‎∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，‎ 所以△ABC是直角三角形，故选C.‎ ‎6．如图，O、A、B是平面上的三点，向量＝a，＝b，设P为线段AB的垂直平分线上任意一点，向量＝p.若|a|＝4，|b|＝2，则p·(a－b)等于(　　)‎ A．1 B．3 ‎ C．5 D．6‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由图知⊥，则·＝0，p＝＝＋＝(＋)＋，‎ 则p·(a－b)＝·(a－b)＝(a＋b)·(a－b)＋·(a－b)＝(a2－b2)＋·＝(|a|2－|b|2)＋0＝(42－22)＝6.‎ 二、填空题 ‎7．(2013·安徽文)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　本题主要考查了向量运算及夹角分式运用．‎ ‎∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，‎ ‎∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋‎4a·b，‎ ‎∴a·b＝－|b|2，‎ ‎∴cos〈a·b〉＝＝＝－.‎ ‎8．(2011～2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________；|‎2a－b|＝________.‎ ‎[答案]　　2 ‎[解析]　由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，‎ 则a·b＝3.‎ 设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，‎ 又θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ 因为|‎2a－b|2＝‎4a2－‎4a·b＋b2＝28，‎ 所以|‎2a－b|＝2.‎ ‎9．(江西高考)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　|a－b|＝ ‎＝＝.‎ 三、解答题 ‎10．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：‎ ‎(1)a·b；(2)(‎3a)·；‎ ‎(3)(3b－‎2a)·(‎4a＋b)．‎ ‎[解析]　(1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60.‎ ‎(2)(‎3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36.‎ ‎(3)(3b－‎2a)·(‎4a＋b)＝12b·a＋3b2－‎8a2－‎2a·b＝‎10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.‎ ‎11．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问：当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？‎ ‎[解析]　∵(ka－b)⊥(a＋2b)，‎ ‎∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，‎ 即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，‎ ‎∴k＝.∴当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．‎ ‎12．设向量a、b的夹角是x，|a|＝，|b|＝3，m是b在a方向上的投影，求函数y＝|a|m的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　由题意得m＝|b|cosx＝3cosx，‎ ‎∴y＝|a|m＝()3cosx.‎ 由0≤x≤π，得－3≤3cosx≤3，‎ ‎∴≤y≤8.故ymax＝8，ymin＝.‎