2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）

2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）

‎2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．必有1个 B．1个或2个 C．至多1个 D．可能2个以上 ‎2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6‎ ‎4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：‎ x ‎6‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ 则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（　　）‎ A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7‎ ‎5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么 f（2018）=（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．﹣1‎ ‎6．（5分）若0＜m＜1，则（　　）‎ A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0‎ C．1﹣m＞（1+m）2 D．‎ ‎7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．‎ ‎8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）‎ ‎9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（　　）‎ A． B．48π C．24π D．16π ‎11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（　　）‎ A．[，1） B．[，1） C．[，1） D．[，1]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）的展开式中有理项系数之和为　 　．‎ ‎14．（5分）函数y=的单调递增区间是　 　．‎ ‎15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　 　．‎ ‎16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．‎ ‎（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面BCE；‎ ‎（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．‎ ‎（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．‎ ‎21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．‎ ‎（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ‎（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；‎ ‎（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．必有1个 B．1个或2个 C．至多1个 D．可能2个以上 ‎【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，‎ 则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，‎ 当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；‎ 当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=∅，没有元素；‎ ‎∴A∩B中元素的个数至多一个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由，‎ 得==，‎ ‎∴z=，‎ ‎∴复数z的虚部是﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6‎ ‎【解答】解：向量是互相垂直的单位向量，且，‎ 则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：‎ x ‎6‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ 则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（　　）‎ A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7‎ ‎【解答】解：根据表中数据，得；‎ ‎=（6+5+10+12）=，‎ ‎=（6+5+3+2）=4，‎ 且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，‎ 所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，‎ 即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么 f（2018）=（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．﹣1‎ ‎【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，‎ 若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，‎ 那么 f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若0＜m＜1，则（　　）‎ A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0‎ C．1﹣m＞（1+m）2 D．‎ ‎【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=logmx是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m＞1﹣m＞0，∴logm（1+m）＜logm（1﹣m）；∴A不正确；‎ ‎②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴logm（1+m）＜0；∴B不正确；‎ ‎③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；‎ ‎④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 截面是等腰梯形FHDE，‎ ‎∵正方体的棱长为2，‎ ‎∴FH=，DE=，梯形的高为．‎ ‎∴该截面的面积为S=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）‎ ‎【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，‎ 则f′（﹣1）f′（1）＜0，‎ 即（1﹣a）（5﹣a）＜0，‎ 解得1＜a＜5，‎ 另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，‎ 当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】.解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，‎ ‎△BCD中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2‎ ‎∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．‎ 如图，作，，则 ‎ CC′=x﹣1，C′B=y，‎ Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC2=CC'2+C′B2，‎ 即 6=（x﹣1）2+y2，②‎ 由①②可得 x=1+，y=．‎ 那么：x+y=1+2‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△‎ ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（　　）‎ A． B．48π C．24π D．16π ‎【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，‎ 把A、B、C、D扩展为三棱柱，‎ 上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，‎ AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，‎ 所以AE=．‎ AO=．‎ 所求球的体积为：==32．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：由x2=4y，对其求导得．‎ 设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为kPA=，kPB=．‎ 由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），‎ 联立解得P，‎ 因为P在l上，所以=﹣1，‎ 所以kPA•kPB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．‎ 所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（　　）‎ A．[，1） B．[，1） C．[，1） D．[，1]‎ ‎【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得 f（m）+f（n）=1⇒，f（mn）=1﹣=1﹣，‎ 又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，‎ ‎∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）的展开式中有理项系数之和为　32　．‎ ‎【解答】解：由，得通项，‎ ‎∴当r=0、2、4、6时，Tr+1为有理项，‎ 此时有理项系数之和为=．‎ 故答案为：32．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）函数y=的单调递增区间是　[0，]　．‎ ‎【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），‎ 由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，‎ 当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，‎ 由x∈[0，]可得x∈[0，]，‎ 故答案为：[0，]．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　4　．‎ ‎【解答】解：由题 O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，‎ 可得＜|m|＜．‎ 再根据题意可得O1A⊥AO2，‎ ‎∴m2=5+20=25，‎ ‎∴m=±5，‎ ‎∴利用，‎ 解得：AB=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是　（0，）　．‎ ‎【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），‎ 且f（x）是定义域为R的偶函数，‎ 令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），‎ 又f（﹣1）=f（1），‎ ‎∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），‎ ‎∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．‎ 当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，‎ 函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．‎ ‎∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，‎ 令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．‎ ‎∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，‎ 要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，‎ 则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，‎ 即loga3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，‎ 故答案为：（0，）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．‎ 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，‎ 所以an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），‎ 即=2，‎ 所以数列{an}是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故an=2n（n∈N*）．‎ ‎（2）=（n+1）•（）n，‎ 则Tn=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，‎ Tn=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，‎ 上面两式相减，可得 Tn=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，‎ ‎=1+﹣（n+1）•（）n+1，‎ 化简可得Tn=3﹣（n+3）•（）n．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．‎ ‎（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1‎ 解得a=0.03；‎ 又由最高矩形中点的横坐标为20，‎ 可估计盒子中小球重量的众数约为20，‎ 而50个样本小球重量的平均值为：‎ ‎=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）‎ 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．‎ ‎（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；‎ 则X～B（3，），‎ X=0，1，2，3；‎ P（X=0）=×（）3=；‎ P（X=1）=×（）2×=；‎ P（X=2）=×（）×（）2=；‎ P（X=3）=×（）3=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 即E（X）=0×=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面BCE；‎ ‎（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．‎ 由题意可得MP∥AD∥BC，‎ 因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，‎ 所以MP∥平面BCE，‎ 同理可证NP∥平面BCE．‎ 因为MP∩NP=P，‎ 所以平面MNP∥平面BCE，‎ 又MN⊂平面MNP，‎ 所以MN∥平面BCE．‎ ‎（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．‎ 由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，‎ 建立空间直角坐标系．‎ 令AB=2，则．‎ 所以．‎ 设平面MAB的法向量 则 令x=2，则 因为是平面ABE的一个法向量 所以 所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．‎ ‎（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；‎ ‎（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x0，y0），又 A（﹣2，0），F（﹣1，0）‎ 所以=，‎ 因为P点在椭圆上，‎ 所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，‎ 函数在[﹣2，2]单调递增，‎ 当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；‎ 当x0=2时，f（x0）取最大值为12．‎ 所以的取值范围是[0，12]．‎ ‎（2）由题意：‎ 联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0‎ 由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则．‎ ‎==0，‎ 所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0‎ 即，‎ ‎4k2﹣16km+7m2=0，‎ 所以或均适合①．‎ 当时，直线l过点A，舍去，‎ 当时，直线过定点．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．‎ ‎（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0‎ 在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，‎ 令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，‎ 所以a≤；‎ ‎（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为 a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）‎ f′（x）=﹣2x﹣1=‎ 令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．‎ 当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：‎ 所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）‎ 对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2‎ ‎①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]‎ 由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；‎ ‎②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]‎ 由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），‎ 综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．‎ ‎【解答】解：（1）由消去参数α，得 即C的普通方程为 由，得ρsinθ﹣ρcosθ①‎ 将代入①得y=x+2‎ 所以直线l的斜率角为．‎ ‎（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）‎ 即（t为参数），‎ 代入并化简得 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．‎ 则，所以t1＜0，t2＜0‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；‎ ‎（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．‎ ‎【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；‎ ‎②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜‎ ‎﹣1，此时不等式无解；‎ ‎③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．‎ 综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；‎ ‎（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，‎ 则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．‎ ‎∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|‎ ‎=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|‎ ‎=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，‎ 故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．‎ ‎　‎