2020高中数学 第三章用二分法求方程的近似解

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2020高中数学 第三章用二分法求方程的近似解

‎3.1.2 ‎用二分法求方程的近似解 学习目标:1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解.(难点)3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求得方程的近似解.(易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.‎ 思考:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?‎ ‎[提示] 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧 同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.‎ ‎2.二分法求函数零点近似值的步骤 ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(  )‎ ‎(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.(  )‎ ‎(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)×‎ ‎2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是(  )‎ A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001‎ C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001‎ B [据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.]‎ ‎3.已知函数y=f(x)的图象如图311所示,则不能利用二分法求解的零点是________.‎ 图311‎ - 5 -‎ x3 [∵x3左右两侧的函数值同号,故其不能用二分法求解.]‎ ‎4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________. ‎ ‎【导学号:37102358】‎ ‎(0,0.5) f(0.25) [∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴x0∈(0,0.5),故第二次应计算f(0.25).]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 二分法的概念 ‎ 已知函数f(x)的图象如图312所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(  )‎ 图312‎ A.4,4        B.3,4‎ C.5,4 D.4,3‎ D [图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以用二分法求解的个数为3,故选D.]‎ ‎[规律方法] 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合. ‎[跟踪训练]‎ ‎1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(  ) ‎ ‎【导学号:37102359】‎ A    B      C     D B [二分法的理论依据是零点存在性定理,必须满足零点两侧函数值异号才能求解.而选项B图中零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点.另外,选项A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点.]‎ - 5 -‎ 用二分法求函数零点的近似值 ‎[探究问题]‎ ‎1.用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?‎ 提示:当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分法步骤结束.‎ ‎2.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点有影响吗?‎ 提示:精确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点可能会不同.‎ ‎ 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度0.01). ‎ ‎【导学号:37102360】‎ 思路探究: ‎[解] 确定一个包含负数零点的区间(m,n),‎ 且f(m)·f(n)<0.因为f(-1)>0,f(-2)<0,‎ 所以可以取区间(-2,-1)作为计算的初始区间,‎ 当然选取在较大的区间也可以.用二分法逐步计算,列表如下:‎ 端点(中点)‎ 端点或中点 的函数值 取值区间 f(-1)>0,‎ f(-2)<0‎ ‎(-2,-1)‎ x0==-1.5‎ f(x0)=4.375>0‎ ‎(-2,-1.5)‎ x1==-1.75‎ f(x1)≈2.203>0‎ ‎(-2,-1.75)‎ x2==-1.875‎ f(x2)≈0.736>0‎ ‎(-2,-1.875)‎ x3==-1.937 5‎ f(x3)≈-0.097 4<0‎ ‎(-1.937 5,-1.875)‎ x4==-1.906 25‎ f(x4)≈0.328 0>0‎ ‎(-1.937 5,-1.906 25)‎ x5==-1.921 875‎ f(x5)≈0.117 4>0‎ ‎(-1.937 5,-1.921 875)‎ x6==-1.929 687 5‎ f(x6)≈0.010 5>0‎ ‎(-1.937 5,-1.929 687 5)‎ 由于|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 5<0.01,所以函数的一个负零点近似值可取为-1.929 687 5.‎ 母题探究:1.(变条件)求本例函数f(x)在区间[-2,-1]上精确度为0.1的一个零点近似值.‎ ‎[解] 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-3x2-9x+1的图象是连续的曲线,根据函数零点的存在性定理可知,它在区间[-2,-1]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:‎ - 5 -‎ 端点(中点)‎ 端点或中点的函数值 取值区间 f(-1)>0,f(-2)<0‎ ‎(-2,-1)‎ x0==-1.5‎ f(x0)=4.375>0‎ ‎(-2,-1.5)‎ x1==-1.75‎ f(x1)≈2.203>0‎ ‎(-2,-1.75)‎ x2==-1.875‎ f(x2)≈0.736>0‎ ‎(-2,-1.875)‎ x3==-1.937 5‎ f(x3)≈-0.097 4<0‎ ‎(-1.937 5,-1.875)‎ 由于|-1.875+1.937 5|=0.062 5<0.1,所以函数在区间[-2,-1]内的一个近似零点可取为-1.937 5.‎ ‎2.若将典例2函数改为“f(x)=x3+2x2-3x-‎6”‎,如何求该函数的正数零点?(精确度0.1)‎ ‎[解] 确定一个包含正数零点的区间(m,n),‎ 且f(m)·f(n)<0.‎ 因为f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,‎ 所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间,‎ 用二分法逐步计算,列表如下:‎ 端点(中点)‎ 端点或中点的函数值 取值区间 f(1)=-6<0,f(2)=4>0‎ ‎(1,2)‎ x1==1.5‎ f(1.5)=-2.625<0‎ ‎(1.5,2)‎ x2==1.75‎ f(1.75)≈0.234 4>0‎ ‎(1.5,1.75)‎ x3==1.625‎ f(1.625)≈-1.302 7<0‎ ‎(1.625,1.75)‎ x4==1.687 5‎ f(1.6875)≈-0.561 8<0‎ ‎(1.687 5,1.75)‎ 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1.所以函数的正数零点的近似值可取为1.687 5.‎ ‎[规律方法] 利用二分法求方程近似解的过程图示 - 5 -‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是(  )‎ A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到 B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点 C.应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点 D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解 D [二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确,故选D.]‎ ‎2.通过下列函数的图象,判断能用“二分法”求其零点的是(  ) ‎ ‎【导学号:37102361】‎ A     B     C     D C [在A中,函数无零点.在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的函数值符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且在交点两侧的函数值符号相反,所以C中的函数能用二分法求其零点.]‎ ‎3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(  )‎ A.[-2,1]        B.[-1,0]‎ C.[0,1] D.[1,2]‎ A [∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法逐次计算.]‎ ‎4.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间). ‎ ‎【导学号:37102362】‎ ‎(2,3) [因为f(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.]‎ ‎5.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:‎ x ‎1.00‎ ‎1.25‎ ‎1.375‎ ‎1.50‎ f(x)‎ ‎1.079 4‎ ‎0.191 8‎ ‎-0.360 4‎ ‎-0.998 9‎ 由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1).‎ ‎[解] 因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.‎ - 5 -‎
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