2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2

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2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2

‎2.3.1‎‎ 双曲线及其标准的方程 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.与椭圆+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(  )‎ A.-y2=1 B.-y2=1‎ C.-=1 D.x2-=1‎ 解析:椭圆的焦点F1(-,0),F2(,0).与椭圆+y2=1共焦点的只有A、D两项,‎ 又因为Q点在-y2=1上.‎ 故应选A.‎ 答案:A ‎2.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是(  )‎ A.-y2=1 B.x2-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:由题意可设双曲线方程为 -=1,‎ 又由中点坐标公式可得P(,4),‎ ‎∴-=1,解得a2=1.‎ 答案:B ‎3.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于(  )‎ A.11 B.9‎ C.5 D.3‎ 解析:由题意知a=3,b=4,c=5,由双曲线定义知,=|3-|PF2||=‎2a=6,∴|PF2|=9‎ 答案:B ‎4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos 6‎ ‎∠F1PF2等于(  )‎ A.    B.     C.     D. 解析:双曲线的方程为-=1,‎ 所以a=b=,c=2,‎ 因为|PF1|=2|PF2|,‎ 所以点P在双曲线的右支上,‎ 则有|PF1|-|PF2|=‎2a=2,‎ 所以解得|PF2|=2,|PF1|=4,‎ 所以根据余弦定理得 cos∠F1PF2==.‎ 答案:C ‎5.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为(  )‎ A. B. C. D. 解析:∵||PF1|-|PF2||=2,‎ ‎∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4,‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1||PF2|,‎ 由余弦定理知 ‎|PF1|2+|PF2|2-|F‎1F2|2=2|PF1||PF2|cos 60°,‎ 又∵a=1,b=1,‎ ‎∴c==,‎ ‎∴|F‎1F2|=‎2c=2,‎ ‎∴4+2|PF1||PF2|-8=|PF1||PF2|,‎ ‎∴|PF1||PF2|=4,‎ 设P到x轴的距离为|y0|,‎ S△PF‎1F2=|PF1||PF2|sin 60°‎ ‎=|F‎1F2||y0|,‎ ‎∴×4×=×2|y0|,‎ ‎∴y0==.‎ 6‎ 故选B.‎ 答案:B ‎6.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则实数k的值为________.‎ 解析:方程化为标准形式是-=1,‎ 所以--=9,‎ 即k=-1.‎ 答案:-1‎ ‎7.若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:根据焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),得满足题意的m需满足不等式组即 ‎∴m>5,∴m的取值范围为(5,+∞).‎ 答案:(5,+∞)‎ ‎8.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F‎1F2|,则△PF‎1F2的面积等于________.‎ 解析:由-=1知c=5,‎ ‎∴|F‎1F2|=‎2c=10,‎ 由双曲线定义知,‎ ‎|PF1|-|PF2|=6,‎ ‎∴|PF1|=6+|PF2|=16,‎ cos∠F1PF2= ‎==.‎ ‎∴sin∠F1PF2=.‎ ‎∴S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×16×10×=48.‎ 答案:48‎ ‎9.动圆M与两定圆F1:x2+y2+10x+24=0,F2:x2+y2-10x-24=0都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.‎ 6‎ 解析:将圆的方程化成标准式:‎ F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1,‎ F2:(x-5)2+y2=72,圆心F2(5,0),半径r2=7.‎ 由于动圆M与定圆F1,F2都外切,‎ 所以|MF1|=r+1,|MF2|=r+7,‎ ‎∴|MF2|-|MF1|=6,‎ ‎∴点M的轨迹是双曲线的左支,且焦点F1(-5,0),F2(5,0),‎ ‎∴c=5,且a=3,∴b2=c2-a2=52-32=16.‎ ‎∴动圆圆心M的轨迹方程为-=1(x<0).‎ ‎10.设双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.‎ ‎(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;‎ ‎(2)若∠F1MF2=60°时,△F1MF2的面积是多少?‎ 解析:(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=.‎ 设|MF1|=r1,‎ ‎|MF2|=r2(r1>r2).‎ 由双曲线定义,‎ 有r1-r2=‎2a=4,‎ 两边平方得r+r-2r1·r2=16,‎ 即|F‎1F2|2-4S△F1MF2=16,‎ 也即52-16=4S△F1MF2,‎ 求得S△F1MF2=9.‎ ‎(2)若∠F1MF2=60°.在△MF‎1F2中,由余弦定理得 ‎|F‎1F2|2=r+r-2r1r2cos 60°,‎ ‎|F‎1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,‎ 解得r1r2=36.‎ 求得S△F1MF2=r1r2sin 60°=9.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.“mn<‎0”‎是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由mn<0⇔m<0,n>0或m>0,n<0,‎ 所以mx2+ny2=1表示焦点可能在x轴上也可能在y轴上的双曲线;‎ 6‎ 而mx2+ny2=1表示焦点在x轴的双曲线则有m>0,n<0,‎ 故mn<0.‎ 故应选B.‎ 答案:B ‎2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若‎2a=8,那么△ABF2的周长是(  )‎ A.16 B.18‎ C.21 D.26‎ 解析:由题意结合双曲线定义得|AF2|=‎2a+|AF1|,|BF2|=‎2a+|BF1|.‎ 又|AF1|+|BF1|=|AB|=5,‎2a=8,‎ ‎∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AB|+‎4a+|AB|=16+2|AB|=26.‎ 答案:D ‎3.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=________.‎ 解析:如图,由椭圆定义知,‎ ‎|PF1|+|PF2|=2,‎ ‎∴(|PF1|+|PF2|)2=‎4m. ①‎ 由双曲线定义知,‎ ‎|PF1|-|PF2|=2,‎ ‎∴(|PF1|-|PF2|)2=‎4a, ②‎ ‎①-②得,|PF1|·|PF2|=m-a.‎ 答案:m-a ‎4.已知双曲线-=1的两焦点为F1,F2.‎ ‎(1)若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离;‎ ‎(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.‎ 解析:(1)不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,·=0,‎ 则MF1⊥MF2,‎ 设|MF1|=m,|MF2|=n,‎ 由双曲线定义知,m-n=‎2a=8, ①‎ 又m2+n2=(‎2c)2=80, ②‎ 由①②得m·n=8,‎ 6‎ ‎∵mn=4=|F‎1F2|·h,‎ ‎∴h=.‎ ‎(2)设所求双曲线C的方程为 -=1(-4<λ<16),‎ 由于双曲线C过点(3,2),‎ ‎∴-=1,‎ 解得λ=4或λ=-14(舍去).‎ ‎∴所求双曲线C的方程为-=1.‎ ‎5.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M、N为焦点,且过点P的双曲线方程.‎ 解析:∵△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,‎ ‎∴设|PN|=3k,|PM|=4k,‎ 则|MN|=5k.‎ 由3k+4k+5k=48得k=4.‎ ‎∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.‎ 以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.‎ 设所求双曲线方程为 -=1(a>0,b>0).‎ 由|PM|-|PN|=4得‎2a=4,a=2,a2=4.‎ 由|MN|=20得‎2c=20,c=10,∴b2=c2-a2=96.‎ ‎∴所求双曲线方程为-=1(x≠±2).‎ 6‎
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