2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试

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2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试

同步精选测试 等差数列前n项和的综合应用 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.等差数列前n项和为Sn,若a3=4,S3=9,则S5-a5=(  )‎ A.14   B‎.19  ‎  C.28   D.60‎ ‎【解析】 在等差数列{an}中,a3=4,S3=‎3a2=9,∴a2=3,S5-a5=a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=2×7=14.‎ ‎【答案】 A ‎2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是(  )‎ A.S7 B.S‎8 C.S13 D.S15‎ ‎【解析】 a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3(a1+6d)=‎3a7=3×=×=S13.‎ 于是可知S13是常数.‎ ‎【答案】 C ‎3.已知等差数列的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的项为(  )‎ A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 ‎【解析】 由得 所以故|a6|>|a7|.‎ ‎【答案】 C ‎4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(  ) ‎ ‎【导学号:18082091】‎ A.63 B‎.45 C.36 D.27‎ ‎【解析】 ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.‎ ‎【答案】 B ‎5.若数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N+),则当n≥2时,下列不等式成立的是(  )‎ A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1‎ 5‎ C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1‎ ‎【解析】 由an= 解得an= 所以an=5-4n,‎ 所以na1=n,nan=5n-4n2.‎ 因为na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0,‎ Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,‎ 所以na1>Sn>nan.‎ ‎【答案】 C 二、填空题 ‎6.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S5=15,则Sn=________. ‎ ‎【导学号:18082092】‎ ‎【解析】 法一:由 得 解得a1=1,d=1,∴Sn=n×1+×1=n2+n.‎ 法二:设Sn=An2+Bn,∵S3=6,S5=15‎ ‎∴即 解得A=,B=,∴Sn=n2+n.‎ ‎【答案】 n2+n ‎7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足50,‎ ‎∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.‎ 故当n=5或6时,Sn最大.‎ ‎【答案】 5或6‎ 三、解答题 ‎9.已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0.‎ 5‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值?‎ ‎【解】 (1)由a1=9,a4+a7=0,‎ 得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2,‎ ‎∴an=a1+(n-1)·d=11-2n.‎ ‎(2)法一:a1=9,d=-2,‎ Sn=9n+·(-2)=-n2+10n ‎=-(n-5)2+25,‎ ‎∴当n=5时,Sn取得最大值.‎ 法二:由(1)知a1=9,d=-2<0,∴{an}是递减数列.‎ 令an≥0,则11-2n≥0,解得n≤.‎ ‎∵n∈N+,∴n≤5时,an>0,n≥6时,an<0.‎ ‎∴当n=5时,Sn取得最大值.‎ ‎10.若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn. ‎ ‎【导学号:18082093】‎ ‎【解】 ∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n.‎ 当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an ‎=na1+d=13n+×(-4)‎ ‎=15n-2n2;‎ 当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|‎ ‎=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)‎ ‎=S4-(Sn-S4)=2S4-Sn ‎=2×-(15n-2n2)‎ ‎=2n2-15n+56.‎ ‎∴Tn= ‎[能力提升]‎ ‎1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=(  )‎ A.12 B‎.14 C.16 D.18‎ ‎【解析】 Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,‎ S4=a1+a2+a3+a4=40,‎ 所以4(a1+an)=120,a1+an=30,‎ 5‎ 由Sn==210,得n=14.‎ ‎【答案】 B ‎2.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(  )‎ A.6 B‎.7 C.8 D.9‎ ‎【解析】 因为an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有 所以所以≤k≤.‎ 因为k∈N+,所以k=7.‎ 故满足条件的n的值为7.‎ ‎【答案】 B ‎3.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.‎ ‎【解析】 设等差数列{an}的项数为2n+1,‎ S奇=a1+a3+…+a2n+1‎ ‎= ‎=(n+1)an+1,‎ S偶=a2+a4+a6+…+a2n= ‎=nan+1,‎ 所以==,‎ 解得n=3,所以项数2n+1=7,‎ S奇-S偶=an+1,‎ 即a4=44-33=11为所求中间项.‎ ‎【答案】 11 7‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.‎ ‎(1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;‎ ‎(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围,并求{Sn}的最大(或最小)的项;‎ ‎(3){Sn}有多少项大于零?‎ ‎【解】 (1)Sn=na1+d=12n+×(-2)=-n2+13n.图象如图.‎ 5‎ ‎(2)Sn=-n2+13n=-+,n∈N+,‎ ‎∴当n=6或7时,Sn最大;当1≤n≤6时,{Sn}单调递增;当n≥7时,{Sn}单调递减.‎ ‎{Sn}有最大值,最大项是S6,S7,S6=S7=42.‎ ‎(3)由图象得{Sn}中有12项大于零.‎ 5‎
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