2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试
同步精选测试 等差数列前n项和的综合应用
(建议用时:45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.等差数列前n项和为Sn,若a3=4,S3=9,则S5-a5=( )
A.14 B.19 C.28 D.60
【解析】 在等差数列{an}中,a3=4,S3=3a2=9,∴a2=3,S5-a5=a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=2×7=14.
【答案】 A
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
【解析】 a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3(a1+6d)=3a7=3×=×=S13.
于是可知S13是常数.
【答案】 C
3.已知等差数列的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的项为( )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
【解析】 由得
所以故|a6|>|a7|.
【答案】 C
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
【导学号:18082091】
A.63 B.45 C.36 D.27
【解析】 ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.
【答案】 B
5.若数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N+),则当n≥2时,下列不等式成立的是( )
A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1
5
C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1
【解析】 由an=
解得an=
所以an=5-4n,
所以na1=n,nan=5n-4n2.
因为na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0,
Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,
所以na1>Sn>nan.
【答案】 C
二、填空题
6.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S5=15,则Sn=________.
【导学号:18082092】
【解析】 法一:由
得
解得a1=1,d=1,∴Sn=n×1+×1=n2+n.
法二:设Sn=An2+Bn,∵S3=6,S5=15
∴即
解得A=,B=,∴Sn=n2+n.
【答案】 n2+n
7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5
0,
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.
故当n=5或6时,Sn最大.
【答案】 5或6
三、解答题
9.已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0.
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(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值?
【解】 (1)由a1=9,a4+a7=0,
得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2,
∴an=a1+(n-1)·d=11-2n.
(2)法一:a1=9,d=-2,
Sn=9n+·(-2)=-n2+10n
=-(n-5)2+25,
∴当n=5时,Sn取得最大值.
法二:由(1)知a1=9,d=-2<0,∴{an}是递减数列.
令an≥0,则11-2n≥0,解得n≤.
∵n∈N+,∴n≤5时,an>0,n≥6时,an<0.
∴当n=5时,Sn取得最大值.
10.若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
【导学号:18082093】
【解】 ∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n.
当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=na1+d=13n+×(-4)
=15n-2n2;
当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)
=S4-(Sn-S4)=2S4-Sn
=2×-(15n-2n2)
=2n2-15n+56.
∴Tn=
[能力提升]
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=( )
A.12 B.14 C.16 D.18
【解析】 Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,
S4=a1+a2+a3+a4=40,
所以4(a1+an)=120,a1+an=30,
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由Sn==210,得n=14.
【答案】 B
2.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】 因为an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有
所以所以≤k≤.
因为k∈N+,所以k=7.
故满足条件的n的值为7.
【答案】 B
3.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.
【解析】 设等差数列{an}的项数为2n+1,
S奇=a1+a3+…+a2n+1
=
=(n+1)an+1,
S偶=a2+a4+a6+…+a2n=
=nan+1,
所以==,
解得n=3,所以项数2n+1=7,
S奇-S偶=an+1,
即a4=44-33=11为所求中间项.
【答案】 11 7
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.
(1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围,并求{Sn}的最大(或最小)的项;
(3){Sn}有多少项大于零?
【解】 (1)Sn=na1+d=12n+×(-2)=-n2+13n.图象如图.
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(2)Sn=-n2+13n=-+,n∈N+,
∴当n=6或7时,Sn最大;当1≤n≤6时,{Sn}单调递增;当n≥7时,{Sn}单调递减.
{Sn}有最大值,最大项是S6,S7,S6=S7=42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零.
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