2017-2018学年北京101中学下学期高二年级期中考试数学试题（理科）-解析版
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北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．下列导数公式正确的是（ ）
A. （xn）'=nxn B. （）'= C. （sinx） '=-cosx D. （ex） '=ex
【答案】D
【解析】分析：熟练记忆求导公式。
详解：根据求导公式，A选项 ，所以A错误。
B选项（）'=
C选项（sinx） '= cosx
D选项（ex） '=ex
所以选D
点睛：本题考查了几种常见的求导公式，要熟练掌握，属于简单题。
2．下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（ ）
X
0
1
2
3
P
a
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：离散型随机变量的各概率和为1，即可求出的值。
详解：根据离散型随机变量概率分布的特征，
所以求得
所以选A
点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列及其特征，主要是各概率和为1的应用，属于简单题。
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={
两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据条件概率的计算公式， ，可先分别求出与。
详解：
根据条件概率的运算
所以选C
点睛：本题考查了条件概率的应用，关键是掌握好条件概率的计算公式，属于简单题。
4．若dx=1-ln3，且a>1，则a的值为（ ）
A. -3 B. 1n3 C. D. 3
【答案】C
【解析】分析：由微积分基本定理，可求出，列出方程组即可求得的值。
详解：根据微积分基本定理
所以 ，所以
所以选C
点睛：本题考查了微积分基本定理的应用，主要是求出原函数，根据积分的上限下限求其值。除了微积分基本定理，还可以用面积法求积分值。
5．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3=，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（ ）
A. k3+1 B. （k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3
C. （k+1）3 D.
【答案】B
【解析】分析：当项数从到时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
详解：当 时，等式左边
当时，等式左边
所以增加的项为
所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。
6．函数y=ex（x2-3）的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据特殊值，可排除错误选项。
详解：根据函数y=ex（x2-3），当 时，函数值
当 时，函数值，且
所以可排除A、B、D。
所以选C
点睛：本题考查了根据函数解析式选择正确的函数图像，利用特殊值法可快速排除错误选项。关键是特殊值的选择，要具有特征性，属于简单题。
7．①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|>或|f（2）|>．以下说法正确的是（ ）
A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确
C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确
【答案】A
【解析】分析：反证法应用时，要对结论进行否定；或命题的否定为且命题。
详解：①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，假设应为p+q <2，所以①错误；
②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时假设应为|f（1）|>且|f（2）|>，所以②错误。
所以选A
点睛：点睛：本题考查了反证法的应用，掌握反证法就是对结论否定，注意否定的形式即可，属于简单题。
8．若函数y=f（x）对任意x∈（-，）满足f'（x）cosx-f（x）sinx>0，则下列不等式成立的是（ ）
A. f（-）
f（-）
C. f（-）>f（-） D. f（-）0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_________.
【答案】（，）．
【解析】分析：根据平行曲线的定义，求出表达式；通过分离参数，分析出在（2,3）上的单调性，即可求出的取值范围。
详解：因为 与 是在（0，+）上的平行曲线，且|AB|≠0，所以可将的图像上下平移得到的图像。
因为 ，设，因为 ，代入可得
所以
令，分离参数 ，得。令
因为在（2,3）上存在唯一零点，即 与在（2,3）有且仅有一个交点。
因为在 时，
所以在上单调递增。
若满足即 与在（2,3）有且仅有一个交点
所以 ，代入
即 的取值范围为
点睛：本题考查了新定义，导函数的综合应用，分离参数法在综合型题目中的应用，应用函数的单调性求其值域等知识点，综合性强，属于难题。
评卷人
得分
三、解答题
15．已知函数f（x）=（1-2x）（x2-2）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若直线y=4x+b是函数y=f（x）图象的一条切线，求b的值．
【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（-，1），单调递减区间为（-，-），（1，+），
极小值为f（-）=-，极大值为f（1）=1．（2）b=-2或-
【解析】分析：（1）求出导函数f'（x）=-6x2+2x+4．令f'（x）= 0，求出极值点，列出表格即可求得单调区间和极值。
（2）设出切点，根据切点既在直线上又在导函数上，可求得切点的坐标；代入直线方程即可求出b的值。
详解：（1）因为f'（x）=-2（x2-2）+（1-2x）·2x=-6x2+2x+4．
令f'（x）=0，得3x2-x-2=0，解得x=-或x=1．
x
（-,-）
-
（-,1）
1
（1,+）
f'（x）
-
0
+
0
-
g（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f（x）的单调递增区间为（-，1），单调递减区间为（-，-），（1，+），
极小值为f（-）=-，极大值为f（1）=1．
（2）因为f'（x）=-6x2+2x+4，
直线y=4x+b是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），
贝f'（x0）=-6x+2x0+4=4，
解得x0=0或x0=．
当x0=0时，f（x0）=-2，代入直线方程得b=-2，
当x0=时，f（x0）=-，代入直线方程得b=-．
所以b=-2或-．
点睛：本题考查了导函数与单调性和切线方程的关系，导函数等于切线的斜率等，属于简单题。
16．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．
（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：
（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】分析：（1）根据独立事件，可以求出没有人倾向于选择实体店的概率；利用对立事件的概率，可以求出解。
（2）根据离散型随机变量的概率分布，列出分布列，即可求出数学期望。
详解：（1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，
则P（A）=1-P（）=1-=．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，且P（X=k）=，
则P（X=0）=，P（X=1）= ，
P（X=2）=，P（X=3）=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E（X）=0×+l×+2×+3×=．
点睛：本题考查了排列组合数的运算，对立事件的概率，离散型随机变量的概率分布和数学期望，属于简单题。
17．已知点Pn（an,bn）满足an+1=an·bn+l ，bn+l =（nN*）且点P1的坐标为（1,-1）.
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上．
【答案】（1）2x+y-1=0（2）见解析
【解析】试题分析：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝. a2＝a1·b2＝.
∴点P2的坐标为(，)
∴直线l的方程为2x＋y＝1. …………….3分
(2)①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．…………….4分
②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，…………….6分
则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)…………….8分
＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，命题也成立． ……………. 10分
由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，
即点Pn在直线l上． …………….12分
考点：本题主要考查数列的递推公式，数学归纳法，直线方程。
点评：本题将数列问题、直线方程、数学归纳法有机结合在一起，不偏不怪，是一道不错的题目。
18．已知函数f（x）=-a2 lnx+x2-ax（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的单调性：
（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）a∈（-e，-2）．
【解析】分析：（1）根据函数定义域，求f'（x）=，根据a 的取值情况分类讨论导数的符号，研究其单调性。
（2）根据（1）中单调区间，判断有两个零点的条件，列出不等式组求出a的范围即可。
详解：（1）f（x）的定义域为（0，+）．
由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）
可知f'（x）=，
所以若a>0，则当x∈（0，a）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈（a，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增；
若a=0，则当f'（x）=2x>0在（0，+）内恒成立，函数f（x）单调递增；
若a<0，则当x∈（0，-）时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-，+）时，f'（x）>0，则函数f（x）单调递增．
（2）若a>0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增．
若a<0，f（x）在（0，-）单调递减，在（-，+）单调递增．
由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有或
得a无解或a∈（-e，-2）.
综上，a∈（-e，-2）．
点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，对含参问题进行讨论分析其单调性；利用零点存在定理，判定零点存在的条件。在高考中，导数的综合应用也是压轴大题，属于难点。