2018-2019学年山西省临汾第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年山西省临汾第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省临汾第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】复数 ，根据共轭复数的概念得到，共轭复数为：。‎ 故答案为：D。‎ ‎2．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则在内的概率为（ ）‎ A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意知服从正态分布，，则由正态分布图象的对称性可知，，故选B．‎ ‎【考点】正态分布．‎ ‎3．设，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用计算出定积分的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（ ）‎ A．105 B．210 C．240 D．630‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有种，再从剩余的人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有种，所以不同的安排方案共有种方法，故选B．‎ ‎【考点】排列、组合的应用．‎ ‎5．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D。‎ ‎6．观察下列各式：…，则的末四位数字（ ）‎ A．8125 B．5625 C．3125 D．0625‎ ‎【答案】A ‎【解析】计算出的值，由此找到规律，进而求得的末四位数字.‎ ‎【详解】‎ 由于，末四位为，末四位的周期为，故，末四位和一样，为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查分析问题的能力，属于基础题.‎ ‎7．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 为“三个人去的景点不相同”， 为“甲独自去一个景点”，则概率 等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，n(B)＝22＝12，n(AB)＝＝6.‎ ‎∴P(A|B)＝.‎ 点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎8．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若240，则展开式中x的系数为（ ）‎ A．300 B．150 C．－150 D．－300‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入，解出的值，进而求得展开式中的系数.‎ ‎【详解】‎ 令，得，故，解得.二项式为，展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.‎ ‎9．已知，，且，，，则的值一定（ ）‎ A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．正负都可能 ‎【答案】A ‎【解析】解：f（a）+f（b）+f（c）=a3+b3+c3+a+b+c ‎∵a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0‎ ‎∴a+b+c＞0又a3+b3+c3="1/" 2 （a3+b3+c3+a3+b3+c3）‎ a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）[（（a-1 /2 b）2+3 /4 b2]‎ a，b不同时为0，a+b＞0，故a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）[（（a-1/ 2 b）2+3/ 4 b2]＞0‎ 同理可证得c3+a3＞0，b3+c3＞0‎ 故a3+b3+c3＞0‎ 所以f（a）+f（b）+f（c）＞0‎ ‎10．已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得函数的导数，然后利用二次函数的性质列不等式组，然后利用线性规划的知识，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，导函数为二次函数，开口向上，故，即，，画出不等式组表示的可行域如下图所示，由图可知，分别在处取得最小值和最大值，即最小值为，最大值为，故的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数与极值点，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划求取值范围，综合性较强，属于难题.‎ ‎11．已知随机变量满足，，若，则（ ）‎ A． ， ‎ B． ， ‎ C． ， ‎ D． ， ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 由于，不妨设.故,，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.‎ ‎12．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，利用导数和已知条件判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．某处有水龙头3个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则_______（用数字作答）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据二项分布概率计算公式计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 由于每个龙头被打开的概率为，根据二项分布概率计算公式有.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项分布的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．由曲线，直线，轴正半轴与轴正半轴所围成图形的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出图像，利用定积分计算出所求图形的面积.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，由图可知，所求面积.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定积分的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15．某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有______种（用数字作答）.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】将问题分成两类：一类是一个大人带两个儿童，一类是两个大人各带一个儿童.分别计算出方法数然后相加，得到总的方法数.‎ ‎【详解】‎ 一个大人带两个儿童时，大人的选法有种，故方法数有种. 两个大人各带一个儿童时，先排好大人，再排小孩，方法数有种.故总的方法数有种.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，考查排列数的计算，属于基础题.‎ ‎16．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】构造函数，利用函数的导数研究函数的单调区间以及极值、最值，结合恒成立，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意恒成立，即，构造函数，，令得，注意到图像在第一象限有且只有一个交点，设为，当时，，递增，当时，，递减.即在处取得极小值，也即是最小值.即，可得.则当时，不等式恒成立，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调区间以及极值、最值，考查恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1），可知，可得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.‎ 则，即，解得，‎ 所以数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1），可知，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，内角对边的边长分别是，已知，．‎ ‎（Ⅰ）若的面积等于，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，‎ 又因为的面积等于，所以，得． 4分 联立方程组解得，． 6分 ‎（Ⅱ）由题意得，‎ 即， 8分 当时，，，，，‎ 当时，得，由正弦定理得，‎ 联立方程组解得，．‎ 所以的面积． 12分 ‎19．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．‎ ‎（1）求物理原始成绩在区间的人数；‎ ‎（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．‎ ‎（附：若随机变量，则，，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析。‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为物理原始成绩，‎ 所以 ‎．‎ 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．‎ ‎（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．‎ 所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以数学期望．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．‎ ‎（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点，分别为和中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）作交于根据条件可证得为平行四边形，从而根据线面平行的判定，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，根据条件中的数据可求得平面平面PAB的一个法向量为，从而问题可等价转化为求与的夹角．‎ 试题解析：（1）作交于，∵点为中点，∴，∴，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴，如图所示，建立坐标系，则，，，‎ ‎，，∴，，设平面 的一个法向量为，∵，，∴，取，则，∴平面PAB的一个法向量为，∵，∴设向量与所成角为，‎ ‎∴，∴平面所成角的正弦值为．‎ ‎【考点】1．线面平行的判定；2．空间向量求空间角．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）利用椭圆的定义，可求出周长的表达式，当点是椭圆的上（或下）顶点时，面积有最大值为，列出等式，结合，求出椭圆方程；‎ ‎（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线与的交点的坐标，结合一元二次方程根与系数关系，得出结论。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得 ‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得，，，设直线的方程为，‎ ‎，，由，得，‎ ‎，，，‎ 直线的方程为，直线的方程为，‎ ‎，，‎ ‎，直线与的交点在直线上.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题。‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当，时，对任意，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】1通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎2原问题等价于，成立，可得，可得，即，‎ 设，，可得在单调递增，且 ‎，即可得不等式的解集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎1函数的定义域为．‎ 当时，，所以．‎ 当时，，所以函数在上单调递增．‎ 当时，令，解得：，‎ 当时，，所以函数在上单调递减；‎ 当时，，所以函数在上单调递增．‎ 综上所述，当，时，函数在上单调递增；‎ 当，时，函数在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎2对任意，，有成立，‎ ‎，‎ ‎，成立，‎ ‎，时，．‎ 当时，，当时，，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ ‎，，，‎ 设，，‎ ‎．‎ 在递增，，‎ 可得，‎ ‎，即，‎ 设，，在恒成立．‎ 在单调递增，且，‎ 不等式的解集为．‎ 实数b的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的应用，利用导数研究函数的单调区间，恒成立问题，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．‎