2020年福建省高三毕业班3月质量检查测试 文数

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M 文科数学试题 第 1 页（共 19 页） 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 文科数学答题分析 1．已知集合  28xAx，  1,2,3B  ，则 AB A． 1 B． 1,2 C． 2,3 D． 1,2,3 【答案】B． 【考查意图】本小题以集合为载体，考查指数不等式的解法、集合的运算等基础知识，考查 运算求解能力，考查数学运算核心素养，体现基础性和综合性． 【答题分析】只要掌握指数不等式的解法，求出集合 A ，再根据集合的定义及交集运算便 可求解；或者根据集合的定义、交集运算的含义，利用特殊值代入验证，排除错误选项，亦 可解决问题． 解法一：因为 322x  ，所以  3A x x ＜ ，故 AB ，故选 B． 解法二：验证法，由3 A ，排除 C，D；由 2 AB ，排除 A，故选 B． 【错因分析】 选择 A 答案，解不等式 28x ＜ 出错，得到 2x ＜ ，导致错误； 选择 C 答案，解不等式 28x ＜ 出错，得到03x＜ ＜ ，导致错误； 选择 D 答案，审题不认真，将 28x ＜ 误为 28x≤ ，导致错误；或者交集运算时，端点的取舍 出错． 【难度属性】属于容易题． 2．复数 z 的共轭复数 z 满足  1 i 2iz ，则 z  A． 2 B． 2 C． 2 2 D． 1 2 【答案】B． 【考查意图】本小题以复数为载体，考查复数的模、共轭复数概念及复数四则运算等基础知 识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现基础性． 【答题分析】只要掌握复数代数形式的四则运算法则，理解共轭复数的概念及复数的模的概 念和求法，即可解决问题；或者利用复数模的运算性质，亦可解决问题． 解法一：      2i 1 i2i 2 2i 1i1 i 1 i 1 i 2z         ，得 1 iz ， 2z  ，故选 B． 解法二：由  1 i 2iz 得 1 i 2iz    ，所以 2i 21iz  ，从而 2z  ，故选 B． 【错因分析】 选择 A 答案，运用复数代数形式求模的公式时，忘记开方，导致错误； 选择 C 答案，概念不清，误认为 1z z ，导致错误； 选择 D 答案，概念不清，误认为 1z z ，且计算不细心，忘记开方，导致错误． 【难度属性】属于容易题． M 文科数学试题 第 2 页（共 19 页） 3．若   3sin 5   ，则 cos2  A． 24 25 B． 7 25 C． 7 25 D． 24 25 【答案】C． 【考查意图】本小题以三角化简求值为载体，考查诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查 运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算素养，体现基础性和综合性． 【答题分析】只要掌握三角函数诱导公式及二倍角公式即可解决问题． 解法一：由 ，得 3sin 5  ．所以 2 7cos2 1 2sin 25   ，故选 C． 解法二：    2 7cos2 cos 2π 2 1 2sin π 25        ，故选 C． 【错因分析】 选择 A 答案，公式记忆出错，误认为  sin π sin   ，cos2 2sin cos   导致错误； 选择 B 答案，公式记忆出错，误认为 2cos 2 2sin 1，导致错误； 选择 D 答案，公式记忆出错，误认为cos2 2sin cos   ，导致错误． 【难度属性】属于容易题． 4．设 ,xy满足约束条件 0, 2 0, 1 0, xy xy y      ≥ ≤ ≤ 则 2z x y的最大值为 A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】D． 【考查意图】本题以线性规划问题为载体，考查可行域及目标函数的最值等基础知识，考查 运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性． 【答题分析】先画出可行域，做出目标函数对应的直线 2y x z   ，经操作确认，当动直线 过点 (2,1)C 时，截距 z 取得最大值；也可以通过直接求出可行域的边界交点，代 入求出目标函数在边界交点的值，通过比较知道点C 为最优解 解法一：易知该可行域是一个以 (0,0)O ， (1,1)B ， (2,1)C 为顶点的 三角形区域(包括边界)．当动直线 2y x z   过点 时，截距 z 取得最大值 5，故选 D． 解法二：依题意求出三条直线交点 (0,0)O ， (1,1)B ， (2,1)C ，代入 目标函数 2z x y，求出相应函数值，并通过比较知道点 为最 优解，故选 D． 【错因分析】 选择 A 答案，审题不清，误认为题目所求是最小值； 选择 B 答案，对图形特征理解不到位，把最大值点判断成 (1,1)B 出错； 选择 C 答案，混淆点 (2,1)C 的横纵坐标代入 导致出错． 【难度属性】属于容易题． 5．已知 0.60.3a  ， 0.50.3b  ， 0.50.4c  ，则 A． abc B． a c b C．b c a D．c b a y x y=-2x+z y=1 x-2y=0 x-y=0 O CB M 文科数学试题 第 3 页（共 19 页） 【答案】D． 【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，考查幂函数、指数函数的性质等基础知识，考 查抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查数学抽象素 养，体现基础性和综合性． 【答题分析】只要掌握指数函数及幂函数的性质，便可利用 0.3xy  的单调性可判断 ab＜ ， 利用 0.5yx 的单调性判断bc＜ ，再根据不等式的传递性即可解决问题；或根据指数函数、 幂函数的性质，分别比较 a b ， b c 与“1”的大小，再由 ,,abc均为正数，根据不等式基本性质 便可解决问题． 解法一：由指数函数 在定义域内单调递减，得 ab＜ ，由幂函数 在定义域内 的单调递增，得 cb＞ ，故选 D． 解法二：因为 6 50.3 1a b  ＜ ，且 0.53 14 b c   ＜ ，又因为 都为正数，得c b a＞ ＞ ，故选 D． 【错因分析】 选择 A 答案，错以为指数函数 是增函数，幂函数 是减函数； 选择 B 答案，错以为 0.6 0.50.3 0.4ac＞ ，导致错误； 选择 C 答案，错以为幂函数 是减函数，导致bc＞ 的错误判断． 【难度属性】属于容易题． 6．首项为 2 ，公比为3的等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，则 A．3 2 2nnaS B． 22nnaS C． 22nnaS D． 34nnaS 【答案】A． 【考查意图】本小题以数列为载体，考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式等知识，考查 运算求解能力，考查化归与转化思想、特殊与一般思想，考查数学运算素养，体现基础性． 【答题分析】只要掌握数列等比数列的通项公式及前 n 项和公式，得到 123n na  ， 31n nS ， 再通过消去3n 即可得到正确选项；或由公比不为 1 的等比数列求和公式，推出 na 与 nS 之间 的关系即可；或通过等比数列的前两项进行验证，排除错误选项，亦可解决问题． 解法一：依题意有 123n na  ，  1 1 311 n n n aq S q     ，再将 33 2 n na 代入 nS 化简，得到 3 2 2nnaS，故选 A． 解法二：利用等比数列前 n 项和公式 111 11 n n n a a qa a qS qq ，把 1 2, 3aq代入化简，得 到3 2 2nnaS，故选 A． 解法三：将 1 2a  ， 1 2S  代入四个选项，排除 B 选项；再将 226, 8aS代入，排除 C，D， 故选 A． 【错因分析】 选择 B 答案，公式记忆出错，得到 23n na  ，或者等比数列前 项和公式记成 1 1 n n aaS q   ， M 文科数学试题 第 4 页（共 19 页） 导致错误； 选择 C 答案，错将等比数列前 n 项和公式记成 1 1 n n aaS q   ，且运算出错； 选择 D 答案，将等比数列前 n 项和公式记成 1 n n a a qS q  ，且运算出错． 【难度属性】属于容易题． 7．函数   321 3f x x x ax   的大致图象不可能是 【答案】C． 【考查意图】本小题以三次函数图象为载体，考查导数及其应用等基础知识；考查运算求解 能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想，考查直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答题分析】只要掌握应用导数研究函数的图象与性质的方法，通过求导并令导数为零，得 到若该函数存在极值点，则极值点必是 2 20x x a   的两根 12,xx，且 12 2xx   ，再结合 图象特征便可得到答案． 解：   2 2f x x x a    ，令   0fx  ，可得 ，若函数存在极值点 12,xx，则 12 2xx   ，又选项 C 的图象的极值点之和为正数，不可能是  fx的图象，故选 C． 【错因分析】 选择 A 答案，误以为三次函数必有两个极值点； 选择 B 答案，审题不认真，误把“不可能是”看作“可能是”，并通过取特殊值 0a  ，得到 图象为 B，导致错误； 选择 D 答案，审题不认真，误把“不可能是”看作“可能是”，并通过取特殊值 2a  ，得到 图象为 D，导致错误． 【难度属性】属于中档题． 8．2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗 队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中. 为 分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线 工作者子女在线辅导功课．今欲随机安排甲、乙 2 位志愿者为 1 位小学生辅导功课共 4 次，每位志愿者至少辅导 1 次，每次由 1 位志愿者辅导，则甲恰好辅导 2 次的概率为 A． 1 3 B． 2 7 C． 3 7 D. 4 7 【答案】C． 【考查意图】本小题以重大时事为背景，设计题型考查古典概型等基础知识，考查运算求解 M 文科数学试题 第 5 页（共 19 页） 能力、抽象概括能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学建模、 数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 【答题分析】只要正确列举出所有基本事件，应用古典概型的概率公式，即可解决问题． 解：由题意得所有不同方案有（甲，乙，乙，乙），（乙，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，乙）， （乙，乙，乙，甲），（甲，甲，乙，乙），（乙，乙，甲，甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲， 甲，乙），（甲，乙，甲，乙），（乙，甲，乙，甲），（乙，甲，甲，甲），（甲，乙，甲，甲）， （甲，甲，乙，甲），（甲，甲，甲，乙）．一共 14 个基本事件，其中（甲，甲，乙，乙）（乙， 乙，甲，甲）（甲，乙，乙，甲）（乙，甲，甲，乙）（甲，乙，甲，乙）（乙，甲，乙，甲） 共 6 个符合题意的基本事件，故所求的概率为 63 14 7 ，故选 C． 【错因分析】 选择 A 答案，误以为事件“甲恰好辅导 1 次”，“甲恰好辅导 2 次”，“甲恰好辅导 3 次”为 基本事件，或者误认为这三类事件所包含的基本事件个数相同，导致错误； 选择 B 答案，误以为事件“甲恰好辅导 1 次”，“甲恰好辅导 2 次”，“甲恰好辅导 3 次”所 包含的基本事件个数分别为 4,2,1，导致错误； 选择 D 答案，误认为 A 事件：“甲恰好辅导 2 次”与 B 事件：“乙恰好辅导 2 次”为对立事件，    1P A P B ，导致错误． 【难度属性】属于中档题． 9．已知函数   2 sinf x x 和   2 cosg x x  0  图象的交点中，任意连续三个交点 均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到  y g x 的图象，只需把  y f x 的图 象 A．向左平移1个单位 B．向左平移 2  个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移 2  个单位 【答案】A． 【考查意图】本小题考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算素养，体现基础性和综合性． 【答题分析】只要根据题意正确作出草图：等腰三角形的底边平行于 x 轴，且斜边长为函数  fx最小正周期．再求出相邻交点的纵坐标，得到该等腰直角三角形斜边上的高为 2，故 该三角形的斜边为 4，即 的最小正周期为 4，利用  siny A x与  cosy A x 的函数图象特征，即可得出结论；或者求得 π 2  ，再利用诱导公式，便可得到    1g x f x． 解法一：由题意得该等腰三角形的底边平行于 轴，且斜边长为函数 最小正周期．令    f x g x ，解得 0 4 π π 4 kx   ， k Z ，故两函数图象交点的坐标为   00,x f x ．相邻两 个交点的纵坐标分别为 π2 sin π 4k ， 5π2 sin π 4k ，所以该等腰直角三角形的斜边上 的高为 π 5π2 sin π 2 sin π 244h k k              ，故该等腰直角三角形的斜边长为 4，故 M 文科数学试题 第 6 页（共 19 页）   2 sinf x x 最小正周期为 4，根据 与   2 cosg x x 的图象关系可得 只需把  y f x 的图象向左平移 1 4 个周期即可得到  y g x 的图象． 解法二：由题意得该等腰三角形的底边平行于 x 轴，且斜边长为函数  fx最小正周期．令    f x g x ，解得 0 4 π π 4 kx   ， k Z ，故两函数图象交点的坐标为   00,x f x ．相邻两 个交点的纵坐标分别为 π2 sin π 4k ， 5π2 sin π 4k ，所以该等腰直角三角形的斜边上 的高为 π 5π2 sin π 2 sin π 244h k k              ，故该等腰直角三角形的斜边长为 4，因此 最小正周期为 4，即 2π 4  ，解得 π 2  ，所以   π2 sin 2 xfx   ，    π π2 cos 2 sin 122 xg x x          ，所以只需要把  y f x 图象向左平移 1 个单位得到  y g x 的图象，故选 A． 解法三：由题意得该等腰三角形的底边平行于 轴，且斜边长为函数 最小正周期．设    1 1 2 2, , ,x y x y 为两函数图象的相邻交点，令 ，可得sin cosxx ，再利用 22sin cos 1xx，解得 1 2sin 2x  ， 2 2sin 2x  ．故该等腰直角三角形的斜边上的 高为 1 2 1 22 sin sin 2y y x x    ，所以该三角形的斜边长为 4，故 的 最小正周期为 4，即 ，解得 ，所以 ，    π2 sin 12g x x ， 所以只需要把 图象向左平移 1 个单位得到 的图象，故选 A． 【错因分析】 选择 B 答案，对图象平移认识不清，误认为   π π2 sin 22 xgx  图象与   π2 sin 2 xfx   图象的相位之差的绝对值即为平移的大小，导致错误； 选择 C 答案，对图象平移认识不清，混淆了图象平移的方向，导致错误； 选择 D 答案，对图象平移认识不清，误认为相位之差的绝对值即为平移的大小，且混淆了 图象平移的方向，导致错误． 【难度属性】属于中档题． 10. 设O 是坐标原点， F 是椭圆   22 22: 1 0xyC a bab    的一个焦点，点 M 在C 外，且 3MO OF ，P 是过点 M 的直线l 与C 的一个交点， PMF△ 是有一个内角为120 的等腰 三角形，则C 的离心率等于 A． 3 4 B． 3 3 C． 31 4  D． 3 2 【答案】B． 【考查意图】本小题考查椭圆方程及椭圆的简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、 M 文科数学试题 第 7 页（共 19 页） 推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算素养，体现基础性和综 合性． 【答题分析】只要掌握椭圆方程及椭圆的简单几何性质，可得该椭圆的另一个焦点 1F 恰为 MF 的中点，根据图形的特征，可得 PM PF ，由此推得 1PF x 轴，即 1PFF△ 为直角三 角形，进而得到各边的长度比，再根据椭圆的定义及性质求得离心率；或者在得到 1PF x 轴 后，求出点 P 坐标，利用 MP 的斜率得到 ,,abc的关系式，并化为关于离心率e 的方程，再 通过求解方程解决问题． 解法一：不妨设    1 ,0 , ,0F c F c 为 C 的左、右焦点，可得  3 ,0Mc ．由椭圆的几何性质知 PF a c，点 M 在 C 外， 所以 FM a c，所以 PF FM ，又在等腰 PMF△ 中顶角 为钝角，故 : : 1:1: 3PF PM FM  ，如图．因为 1F 为线段 MF 的 中 点 ， 故 1PF x 轴 ， 即 1PF F△ 为 直 角 三 角 形 且 11: : 1: 3 : 2PF F F PF  ，所以 1 1 23 23 FFce a PF PF   ，故选 B． 解法二：不妨设 为 的左、右焦点，可得 ．由椭圆的几何性质知 ，点 在 外，所以 ，所以 ，又在等腰 中顶角为 钝角，故 ，如图．因为 为线段 的 中点，故 轴，不妨设 P 的坐标为 2 ,bc a  ．由直线 MP 的 倾斜角为 30 ，得其斜率为 3 3 ，计算可得 232b ac ，即  2232a c ac 方程的两边同时除以 2a ，得 23 2 3 0ee   ，解得 3 3e  或 3e  （舍 去），故选 B． 【错因分析】 选择 A 答案，审题不认真，把 3MO OF 错看为 3MO FO ，导致对图形判断出错，误以为 P 为椭圆的短轴端点，误认为 PF a ， 4 3 cPF  ，导致错误； 选择 C 答案，无法正确作出草图，误以为 11: : 1: 2: 3PF F F PF  ，且对离心率概念不清， 误以为 1 1 13 24 PF PFe FF  ，导致错误； 选择 D 答案，审题不认真，把 错看为 ，导致对图形判断出错，误以为 为椭圆的短轴端点，误认为 ， 1 2 3 cPF  ，导致错误． 【难度属性】属于中档题． M 文科数学试题 第 8 页（共 19 页） 11. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古代高超 的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密 切联系. 图 2 为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图， 图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬 至） 日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线） 的夹角等于黄赤交角. 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 23 41 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是 A．公元前 2000 年到公元元年 B．公元前 4000 年到公元前 2000 年 C．公元前 6000 年到公元前 4000 年 D．早于公元前 6000 年 【答案】D． 【考查意图】本小题以我国传统文化“历律同源”为背景，借助出土文物骨笛的年代估算设 计试题，考查解三角形、两角差的正切公式等基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考 查数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养；体现综合性和应用性． 【答题分析】只要能从题目中获取有效信息、合理运用图形，构建三角形，计算出夏至（或 冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角的正切值，再 根据表格提供的数据确定相应的年代范围，便可解决问题． 解：由题意可画示意图，如右，其中 AO BO （ BO 代表骨笛）， 得到 10.00AO  ， 9.40BC  ， 16.00BO  ，故求得 6.6OC  ， 设黄赤交角为 ，由题意得 BAC CAD     ， 故可得， BAO CAO     ，其中 16tan 1.610BAO   ； 6.6tan 0.6610CAO   ，所以   tan tantan tan 1 tan tan BAO CAOBAO CAO BAO CAO            ， 代入数据得 1.6 0.66 0.94tan 0.4571 1.6 0.66 2.056    ，对照年代表格，由0.455 0.457 0.461＜ ＜ ，得 该骨笛的年代早于公元前 6000 年，故选 D． 图 1 图 3 图 2 M 文科数学试题 第 9 页（共 19 页） 【错因分析】 选择 A 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误； 选择 B 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误； 选择 C 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误． 【难度属性】属于难题． 12.已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 5AB  ， 3AD  ， 1 4AA  ，过点 A 且与直线CD 平行 的平面 将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面  变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是 A． 3 2 B．2 C． 21 10 D．7 2 6 【答案】C． 【考查意图】本小题考查柱体的截面、内切球、导数的应用等知识，考查空间想象能力、推 理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转 化思想、特殊与一般思想，考查数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养，体 现综合性、应用性和创新性． 【答题分析】在理解题意、作出图形的基础上，合理选择平面 运动过程中的某个几何量 （如：平面 与平面 ABCD 的夹角 ）为变量，建立两个球的半径之和关于该变量的函数 关系式，并利用导数研究该函数的最大值，从而解决问题． 解：设平面 与平面 ABCD 的夹角 ， tan 2 t  ，  0,1t  ．记与平面 ABCD 相切的球半 径为 1r ，另一个球的半径为 2r ，则 1 13 r tr  ，解得 1 3 1 tr t  ，同理可得， 2 22rt ． 注意到两个球的直径都不超过 3，得 1 2 30,2 30,2 r r     ＜ ≤ ＜ ≤ 解得 1 ,14t   ． 设 12y r r，可得 3 221 tytt   ， 1 ,14t   ． 设   3 221 tg t tt   ，其导函数    2 3 2 1 gt t    ， 当 1 14 t≤ ＜ 时，   0gt ＜ ，所以  gt在 1 ,14   单调递减，当 1 4t  时，取到最大值 21 10 ，故选 C． 【错因分析】 选择 A 答案，审题不清，误求最小值，导致错误； 选择 B 答案，无法理解题意，误认为当平面 为长方体的对角面时取到最大值，导致错误； 选择 D 答案，求出半径之和关于 的解析式后，未考虑变量的范围，导致取最大值时出错． 【难度属性】属于难题． M 文科数学试题 第 10 页（共 19 页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．向量  1,2AB  ，  2,3AC  ，若向量  ,2xa 与 BC 共线，则 x  ． 【答案】2． 【考查意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的线性运算、共线向量等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性． 【答题分析】利用平面向量的坐标运算求出 BC ，再根据共线向量的充要条件得到关于 x 的 方程，解方程可求得 2x  ． 解：因为向量  1,2AB  ，  2,3AC  ，所以  1,1BC AC AB   ，又因为向量  ,2xa 与  1,1BC  共线，所以 1 2 1 0x    ，所以 2x  ． 【错因分析】考生可能出现的错误有：概念不清，误认为CB AC AB，导致错误；或者 混淆两向量共线与垂直的条件，导致错误；或者计算错误． 【难度属性】属于容易题． 14．若双曲线   22 221 0, 0xy abab    的一个焦点  5,0F ，一条渐近线的斜率为 3 4 ，则 a  ． 【答案】4． 【考查意图】本小题以双曲线为载体，考查圆锥曲线的简单几何性质等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算素养，体现基础性． 【答题分析】只要掌握双曲线方程及其几何性质便可由焦点坐标得 5c  ，又由其渐近线的 斜率得到关于 ,ab的方程，结合 2 2 2c a b便可求得结果． 解：因为双曲线的一个焦点为  5,0F ，则 5c  ．注意到该双曲线焦点在 x 轴上，且一条渐 近线的斜率为 3 4 ，得 3 4 b a  ，即 2 2 9 16 ab  ，又因为 2225ab，可解得 4a  ． 【错因分析】考生可能出现的错误有：概念不清，混淆双曲线方程中 ,,abc的关系，导致出 错；或者混淆焦点在 x 轴上与焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程及斜率，导致错误；或者 计算错误． 【难度属性】属于容易题． 15． ABC△ 的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc， 2 3A  ， 7a  ．若 ABC△ 的面积为15 3 4 ， 则其周长是 ． 【答案】15 ． 【考查意图】本小题以解三角形为载体，考查正余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考 查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算素养，体现基础性和综合性． 【答题分析】只要由三角形面积公式 1 sin2ABCS bc A△ ，得 15bc  ；再利用余弦定理得到 ,,abc的关系式 2 2 2a b c bc   ，并结合已知条件求得 8bc，所以周长为 15． 解：由面积公式可得 13sin24ABCS bc A bc△ ，又由题意知 15 3 4ABCS △ ，得 15bc  ． 根据余弦定理 ，可得 2 2b c bc a   ，由 7a  ， 15bc  ，解得 2 64bc， 即 ，所以周长为 15abc   ． 【错因分析】考生可能出现的错误有：未能掌握三角形面积公式、余弦定理导致无从下手； M 文科数学试题 第 11 页（共 19 页） 或者计算不合理，无法顺利求出 8bc，导致半途而废；或其它计算错误，导致错误． 【难度属性】属于中档题． 16．已知  fx是定义在 R 上的偶函数，其图象关于点 1,0 对称．以下关于 的结论： ①  fx是周期函数； ②  fx在 0,2 单调递减； ③  fx满足    4f x f x； ④   cos 2 xfx  是满足条件的一个函数． 其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【考查意图】本小题以抽象函数为载体，考查函数周期性、奇偶性、对称性、单调性及三角 函数的图象性质等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力，考查数形结合思想、特 殊与一般思想，考查数学抽象、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性． 【答题分析】只要利用偶函数的性质及函数的对称中心，求得函数的一个周期及其图象的对 称轴，即可判断①②，再通过对满足条件的具体函数的验证即可判断③④． 解：因为  fx为偶函数，则    f x f x ，其图象关于点 1,0 对称，故有    2f x f x    ， 故    2f x f x   ，故有      42f x f x f x     ，即  fx是以 4 为周期的周期函数， 故①正确；由      4f x f x f x    ，把 x 替换成 x 可得    4f x f x，故②正确；   cos 2 xfx  是定义在 R 上的偶函数，  1,0 是它的一个对称中心，可得④正确．又因为取   cos 2 xfx  时满足题设条件，但它在 0,2 单调递增，故③错误． 【错因分析】对函数性质掌握不足，无法把函数的奇偶性、对称性准确地转化为代数表示， 并加以正确推理，从而导致①或②不能正确判断；直接用④中的函数   cos 2 xfx  验证③， 导致对③的判断错误． 【难度属性】属于中档题． 17．（ 12 分） 在数列 na 中， 1 2a  ， 2 6a  ，且 2 +12 +2n n na a a  ，设 1n n nb a a． （1）证明数列 nb 是等差数列，并求 nb ； （2）设 nS 为数列 1 na    的前 n 项和，求 nS ． 17（1） 【考查意图】本小题考查递推数列、等差数列通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综 合性； 【解法综述】只要掌握等差数列的定义，懂得本题即证 1nnbb  为定值，再利用 把 1nnbb  转化为 21,,n n na a a的关系，并结合已知条件即可得到 1nnbb  为定值．进而根据等 差数列的通项公式求出 nb ，从而解决问题． 【错因分析】不会根据定义证明一个数列是等差数列；或无法根据已知条件将 1nnbb  转化 M 文科数学试题 第 12 页（共 19 页） 为 21,,n n na a a的关系实现证明目的；或等差数列通项公式记忆出错． 【难度分析】属于容易题． 17（2） 【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查累加法、列项法等基础知识，考查运算求解能 力，考查化归与转化思想，考查数学运算素养，体现基础性与综合性． 【解法综述】只要掌握累加法，便可通过“配凑”求出 na 的通项公式，再用裂项相消的方法， 求出 1 na    的前 n 项和，从而解决问题． 思路：由（1）知 1 22nna a n    ，运用累加法得  1na n n，再运用裂项相消的方法， 求出 1 na    的前 n 项和，从而解决问题． 【错因分析】不会用累加法求数列 na 的通项公式；不会用裂项相消法求数列 1 na    的前 n 项 和；累加过程、裂项过程出错等． 【难度属性】属于中档题． 18．（ 12 分） 如图 1，直角梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， 90D  ， 3BC  ， 1AD DC．把 ACD△ 沿着 AC 翻折至 1ACD△ 的位置，点 1D 平面 ABC ，连结 1BD ，如图 2． （1）当 1 22BD  时，证明：平面 1ACD  平面 1ABD ； （2）当三棱锥 1D ABC 的体积最大时，求点 B 到平面 1ACD 的距离． 图 1 图 2 18（1） 【考查意图】本小题以折叠问题为载体，考查线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识， 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性； 【解法综述】只要能正确分析几何量之间关系，利用勾股定理的逆定理证得 11CD BD ，再 根据直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理即可得证． 思路：先根据勾股定理的逆定理得出 11CD BD ，并结合在翻折过程中始终有 11CD AD ， 根据线面垂直的判定可证得 1CD  平面 1ABD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面 平面 ． 【错因分析】考生可能存在的错误：无法从几何量关系中发现和证明 11CD BD ，导致无从 入手；或空间想象能力有限，未能把握折叠过程中的不变量，不能发现 11CD AD ，导致思 M 文科数学试题 第 13 页（共 19 页） 频率 组距 家庭人均年纯收入（千元） 0.32 0.28 0.16 0.12 0.08 87653 4O 2 0.04 路受阻；或概念不清，定理掌握不到位，不会用线面垂直的判定定理证明 1CD 平面 1ABD ； 或不会用面面垂直的判定定理证明平面 1ACD  平面 1ABD ；或证明过程逻辑条理混乱，表 达不清． 【难度属性】属于容易题． 18（2） 【考查意图】本小题以折叠问题为载体，考查线面垂直、面面垂直的判定和性质、空间点到 平面的距离、三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力， 考查函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合 性和创新性． 【解法综述】只要懂得平面 1ACD  平面 ABC 时 1D ABCV  取得最大值，并由此求得 ，再 根据 11D ABC B ACDVV ，便可得到点 B 到平面 1AD C 的距离；或在明确平面 平面 时 取得最大值的基础上，利用面面垂直关系转化为线面垂直，找出点 B 到平面 1AD C 的垂线段，通过解三角形，在 ABC△ 中求出该线段的长度，亦可解决问题． 思路一：通过分析，发现平面 平面 时 取得最大值，此时三棱锥 1D ABC 的高为 2 2 ，且 1 2 4D ABCV   ，利用等体积 11D ABC B ACDVV 建立方程，可得 2 1 1 4 3 2 d   （ d 为点 B 到平面 1AD C 的距离），求解该方程即可求得 32 2d  ． 思路二：通过分析，发现平面 平面 时 取得最大值，过点 B 作 BN AC ， 垂足为 N ，根据面面垂直的性质可得此时 到平面 1AD C 的距离就是平面 ABC 内点 到 AC 的距离（ BN ），再在 ABC△ 中利用 1 2ABCS AC BN  △ 建立方程，求得 32 2BN  ． 【错因分析】考生可能存在的错误：不能将“三棱锥 1D ABC 的体积取得最大”转化为“平面 1AD C  平面 ABC ”；或无法正确求得三棱锥 1D ABC 的体积；或无法正确进行等积转化； 或未能发现当平面 1AD C  平面 ABC 垂直时， 到平面 1AD C 的距离就是 到 AC 的距离； 或计算错误． 【难度属性】属于中档题． 19. (12 分) 为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村 积极开展“精准扶贫”．工作经过多年的精心帮扶，截至 2018 年底，按照农村家庭人均年 纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康. 现从这些尚未实现小康的 家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图， 如图. 注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表． M 文科数学试题 第 14 页（共 19 页） （1）估计该地区尚未实现小康的家庭 2018 年家庭人均年纯收入的平均值； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，收集了当地最贫困 的一户家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入的数据，作出散点图如下. 根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相 关关系（记 2019 年 1 月、2 月……分别为 1x  ， 2x  ，…，依此类推）．试预测该家 庭能否在 2020 年实现小康生活． 参考数据： 6 1 7602ii i xy   ，6 7182xy ． 参考公式：线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a中，      1 2 1 ˆ n ii i n i i x x y y b xx        ， ˆˆa y bx ． 19（1） 【考查意图】本小题以“精准扶贫”为载体设计试题，主要考查频率分布直方图、样本的数字 特征等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，考 查数学抽象、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性与应用性． 【解法综述】只要能读懂频率分布直方图，结合平均值的公式进行计算即可求解． 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法从频率分布直方图中正确读取数据，导致频率求 错；未掌握由频率分布直方图求平均数的计算公式，导致错误能力；计算错误． 【难度属性】属于容易题． 19（2） 【考查意图】本小题主要考查回归直线、等差数列求和等基础知识，考查运算求解能力、数 据处理能力、应用意识，考查统计与概率思想、函数与方程思想，考查数据分析、数学运算 等核心素养，体现基础性、综合性与应用性． 【解法综述】只要合理运用参考公式、参考数据便可求得 x ， y ， ˆb ， ˆa ，从而求得回归直 线方程．再根据回归方程估算该家庭 2020 年人均纯收入，并与农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准做比较，便可解决． 思路：从散点图可以求得到时间代码的平均数 ，再结合参考数据求得 1 至 6 月份人均月纯 收入的平均数 y ，并将 6 1 6 2 1 ( )( ) ˆ () ii i i i x x y y b xx        变形为 6 1 6 22 1 6 ˆ 6 ii i i i x y x y b xx        ，代入数据，可得 ˆb 的 M 文科数学试题 第 15 页（共 19 页） 值．再把 x ， y ， ˆb 三个数据代入 ˆˆa y bx ，可得 ˆa 的值，从而得到回归方程．从所求的 回归方程可得，2020 年按月份顺序的家庭人均月纯收入的预测值构成等差数列，利用等差 数列求和公式即可求得 2020 年该家庭的年人均纯收入为 8424 元，高于对应的小康标准 8000， 从而解决问题． 【错因分析】考生可能存在的错误有：阅读理解能力不足，无法理解题意，导致无从入手； 或无法根据参考公式、参考数据求得解题所需的数据，导致计算中断；或无法把该家庭 2020 年人均纯收入转为当年 1~12 月的人均月纯收入的总和，导致思路中断；或计算错误． 【难度属性】属于中档题． 20．(12 分) 已知抛物线  2: 2 0 6C y px p   的焦点为 F ， A 为C 上一动点，点  4,0Q ，以线段 QA 为直径作⊙ M ．当⊙ 过 F 时， QAF△ 的面积为3. （1）求 C 的方程； （2）是否存在垂直于 x 轴的直线l ，使得l 被圆 M 所截得的弦长为定值？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由． 20（1） 【考查意图】本小题以抛物线为载体考查圆锥曲线的方程及其简单几何性质、圆的几何性质 等知识，考查运算求解能力、直观想象能力，考查函数方程思想、数形结合思想，考查直观 想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性． 【解法综述】只要能根据题意作出草图，并用 p 表示点 A 的坐标，再根据三角形的面积得 到关于 的方程，求得 p 的值，即可解决问题． 思路：由题意 M 过点 F ，注意到 AQ 为直径，结合圆的几何性质得 AF x 轴，由此得到 点 A 的横坐标为 2 p ，又因为 A 在抛物线上，故不妨设 ,2 pAp  ．再根据 QAF△ 的面积为3 ， 得到关于 p 的方程，解得 2p  ，从而得到该抛物线方程为 2 4yx ． 【错因分析】考生可能存在的错误有：直观想象素养较低，无法根据题意作出草图，并从中 提取解题所需的数量关系，导致无从入手；或不能根据圆的几何性质确定点 A 的位置，导 致思路受阻；或不能将 的面积表示成 p 的代数式并建立方程；或计算错误． 【难度属性】属于中档题． 20（2） 【考查意图】本小题以动圆截直线的弦长问题为载体，设计存在探索型问题，考查直线与圆 的位置关系、垂径定理、弦长公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力、创新意识； 考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想；考查直观想象、数学运算等核心素 养，体现综合性和创新性． 【解法综述】只要假设存在满足题意的直线 xa ，根据垂径定理把弦长表示成关于点  11,A x y 的坐标的表达式，并利用 11,xy的关系合理消参，得到弦长关于 1,ax的表达式，再 结合式子的形式特征便可解决问题；或借助特殊与一般思想，先取定点 A 的两个特殊位置 及其对应的圆 M ，再利用这两个特殊圆截得直线 xa 的弦长相等得到“若存在满足题意的 直线，便只可能为 3x  ”，再证明此直线是符合题意的，亦可解决问题． M 文科数学试题 第 16 页（共 19 页） 思路一：假设直线 :l x a 存在，设点  11,A x y ，得 AQ 中点 114,22 xyM   ，从而得到圆心 M 到直线 l 的距离为 1 4 2 xda．利用垂径定理，用 11,,x y a 表示动圆 M 截 l 的弦长  22 1 1 116 4 4 4x y a x a     ，再利用 11,xy的关系消去 1y ，得到弦长关于 1,ax的表达式为   2 14 3 16 4x a a a   ，则当 1x 的系数为 0 即 3a  时，弦长为定值，从而求得 :3lx 方程． 思路二：假设存在满足题意的直线 :l x a ，先借助特殊与一般思想，取 A 运动过程中的两 个特殊位置  0,0A 与  4,4A ，可得当 时，  2 22: 4M xy   ，通过垂径定理求 得此时弦长为  22 4 2a ，同理当 时，求得弦长为  22 4 4 a ，根据题意建立 方程    222 4 2 2 4 4aa     ，并解得 3a  ，即若l 存在，则只可能为 3x  ．因为圆 M 截 所得的弦长为 2 114 12xy   ，利用 2 114yx ，消去参数 1y 得弦长为定值 23，所以 为满足题意的直线． 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法理解图形中动圆变化题意；无法把图形的几何关 系转化为代数方程；无法进行代数运算；无法通过特殊到一般的方法来解决问题；计算错误． 【难度属性】属于中档题． 21． (12 分) 已知函数   ln 2lnf x x a x x    ， 2a≥ ． （1）若 2a  ，求  fx的零点个数； （2）证明：  12, 3,9xx，    122 ln3f x f x≤ ． 21（1） 【考查意图】本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、导数及其应用基础知识，考查运 算求解能力、推理论证能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想，考查数学 抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性． 【解法综述】只要能应用分类与整合思想把原函数转化为分段函数，并利用导数研究该函数 的性质（单调性、极值等），得到该函数的最小值大于零，便可解决问题；或根据所给函数 的特殊性，研究并得到 2ln 0xx   ，也可解决问题． 思路一：按 20ex＜ ＜ 和 2ex≥ 分类讨论，将原函数转化为分段函数，对每段函数进行求导， 研究原函数的最值、单调性，求得原函数的最小值，比较最小值与 0 的关系，得到结论； 思路二：发现题干中的式子 ln 0xa ≥ ，对函数   2lng x x x   进行分析，通过求导研究 该函数的极值、单调性，求该函数的最小值，比较最小值与 0 的关系，得到结论； 【错因分析】考生可能存在的错误有：对含绝对值的函数直接求导；求导出错；分类讨论临 界点选取错误；不会根据函数的特殊性进行创新性解决问题． 【难度属性】属于中档题． 21（2） 【考查意图】本小题主要考查不等式证明、函数的单调性、导数及其应用等基础知识，考查 推理论证能力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归转化思想，考 查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性． M 文科数学试题 第 17 页（共 19 页） 【解法综述】只要运用分类与整合思想对参数进行分类，利用导数研究函数性质，将问题转 化为证明  3,9x ，    max min 2 ln3f x f x≤ ，便可解决问题；或先研究  fx在 3,9 的 单调性，求出该函数的最值，把问题转化为证明    max min 2 ln3f x f x≤ ，并通过对参数 进行分类讨论实现对上述不等式的证明． 思路一：要证  12, 3,9xx，    122 ln3f x f x≤ ，即证 ，    max min 2 ln3f x f x≤ ． 为此，将参数 a 分成① 2 ln 9a≤ ＜ 及② ln 9a≥ 两类进行讨论．当 2 ln9a ≤ 时，通过去绝 对值把  fx化为分段函数    3ln + , 3,e , ln , e ,9 . a a x x a x fx x x a x             并利用导数研究该函数的单调性 得  fx在 3,9 上单调递增，故    min 3f x f ，    max 9f x f ，即    max min 2+ln3f x f x ≤ ； 当 ln 9a≥ 时，   3ln +f x x x a   ，它在 3,9 上单调递增，求得  min 3ln3 3f x a    ，  max 6ln3 9f x a    ，进而得    max min =6 3ln3 2+ln3f x f x＜ ，综合两种情况，本题 得证． 思路二：要证 ，    122 ln3f x f x≤ ，即证 ，    max min 2 ln3f x f x≤ ． 分别在 e,a  、 3ea， 两个区间研究  fx的单调性，知 在 和 上 皆为单调递增，得到  fx在 3,9 上单调递增，进而可求得 ， 故    max min 2ln3 ln3 6 2ln3f x f x a a       ，再对上式中的参数 a 进行分类讨论，当 2 ln9a ≤ 时，    max min ln3+6 2 2+ln3f x f x a   ≤ ；当 ln 9a≥ 时    max min 2 ln3f x f x＜ ． 综合两种情况，本题得证． 【错因分析】考生可能存在的错误有：不会将证明 转化为证明    max min 2 ln3f x f x≤ ；不会利用导数求分段函数  fx在 3,9 上的最大值和最小值； 不能正确把握分类讨论的临界点． 【难度属性】属于难题． 22．[选修 44 ：坐标系与参数方程] (10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为  cos , sin x y      为参数 ．以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin   ． （1）求 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 1C 相切于第二象限的一点 P ，与 2C 交于 ,AB两点，且 7| | | | 3PA PB， 求直线l 的倾斜角． 22（1） 考查意图】本小题以曲线的参数方程和极坐标方程为载体，考查参数方程和普通方程、极坐 标方程和直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查 数学运算等核心素养，体现基础性． 【解法综述】只要直接利用同角三角函数的基本关系及极坐标与直角坐标的互换公式，便可 M 文科数学试题 第 18 页（共 19 页） 直接将 1C 的参数方程化为普通方程， 2C 的极坐标方程化为直角坐标方程． 思路：根据 22cos sin 1将 1C 的参数方程中两个方程的两边分别平方再相加，就可得到 1C 的普通方程 221xy；将极坐标与直角坐标的互换公式 2 2 2xy ， sin y 代入 2C 的的极坐标方程并进行等价变形，便得到 的直角坐标方程 22 143 xy． 【错因分析】考生可能存在的错误有：直角坐标与极坐标互化公式记忆不清（如：把 sin y 记为 sin x 等）；方程等价变形出错． 【难度属性】属于容易题． 22（2） 【考查意图】本小题考查直线参数方程中参数的几何意义，直线与圆、直线与椭圆的位置关 系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、 数形结合思想，考查直观想象、数学运算核心素养，体现基础性与综合性． 【解法综述】通过设直线 l 的倾斜角，并用倾斜角表示切点坐标，得到直线 l 的参数方程， 再将直线l 的参数方程代入曲线 2C 的直角坐标方程，利用韦达定理，并结合参数t 的几何意 义便可得到关于倾斜角的关系式，从而求出倾斜角． 思路：设出直线 l 的倾斜角为 0, 2   ，则切点 P 在曲线 1C 中的参数角为 2  ，由 此得到点 P 坐标为 cos ,sin ，从而l 的参数方程 sin cos cos sin xt yt        ，（t 为参数）.将直 线 l 的参数方程与曲线 2C 的直角坐标方程联立，再根据韦达定理得 2 12 2 cos 9= sin 3 tt     ，结合参 数 t 的几何意义可以得到 22 12 22 cos 9 9 cos 7| | | | | | 3sin 3 sin 3 PA PB t t         ，从而求出倾斜角 3  . 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能够由倾斜角设出 P 点坐标，不会利用直线参数 方程t 的几何意义解决问题；计算错误． 【难度属性】属于中档题． 23．[选修 45 ：不等式选讲] (10 分) 已知函数   2f x x a x b    ， a ，bR ． （1）若 1a  ， 1b  ，求不等式   5fx≤ 的解集； （2）若 0ab  ，且  fx的最小值为 2 ，求 21 ab 的最小值． 23（1） 【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查解含绝对值不等式、分段函数等基础知 识，考查运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想，函数与方程思想；考查数学 运算、直观想象等核心素养，体现基础性． 【解法综述】根据绝对值的定义，分区间讨论去掉绝对值符号，并解相应的不等式，再求各 部分解集的并集；或者分区间去绝对值符号，将函数写成分段函数形式，画出分段函数及 M 文科数学试题 第 19 页（共 19 页） 5y  图象，直观看出不等式   5fx≤ 的解集． 思路一：把 1a  ， 1b  代入原不等式，并将实数集 R 分为 ,1 ， 1,2 ， 2, 三部分 讨论，去绝对值符号后分别求解，再求各部分解集的并集，就得到原不等式的解集． 思路二：根据 ， 代入函数  fx的表达式，并根据绝对值的含义，去绝对值的符 号得到函数 的分段表示形式 2 3, 1, ( ) 1,1 2, 2 3, 2, xx f x x xx       ≤ ≥ 再作出函数  y f x 和 5y  的函数 图象，通过观察图象得到不等式的解集． 【错因分析】考生可能存在的错误有：分类讨论过程混乱导致失误；作函数图象时出错；计 算错误． 【难度属性】属于容易题． 23（2） 【考查意图】本小题以含绝对值的函数为载体，考查绝对值不等式、基本不等式等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想，考查数学运算、直观想象等核 心素养，体现基础性与综合性． 【解法综述】由绝对值三角不等式求得函数 的最小值，得到 ,ab的关系式，再据此对 所求对象 21 ab 进行合理变形，利用基本不等式求得最小值． 思路一：由绝对值三角不等式得到 的最小值为 2ab ，再由 0ab  及 的最小值为 2，得到 2 =2ab ，从而有  2 1 1 2 1 1 42 4 422 baaba b a b a b          ≥ ，并检验最小 值取得的条件． 思路二：由绝对值三角不等式得到 的最小值为 ，再由 及 的最小值为 2，得到 ，再利用 2 2 2 2a b a b a b   ≥ ，得到 1 2ab ≥ ，从而有 2 1 2 4a b ab ≥ ， 并检验最小值取得的条件． 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法由绝对值三角不等式得到  fx的最小值为 2ab ；不能由 0ab  及 的最小值为 2，得到 ；不能利用基本不等式求最小 值；未能注意 a ， b 的符号，导致取得最小值的条件出错；计算错误． 【难度属性】属于中档题．